河北省武邑中学2017届高三下学期期中考试数学(理)试题

河北武邑中学2016-2017学年高三年级下学期期中考试数学试题（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.已知全集{|21}x A x =<，{|20}B x x =-<，则()U C A B = （ ）A ．{|2}x x >B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|2}x x ≤ 2.设i 是虚数单位，复数z 满足2(12)34z i i ⋅+=+，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.命题“0x R ∃∈，20010x x -->”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x --≤B ．x R ∀∈，210x x -->C ．0x R ∃∈，20010x x --≤D ．0x R ∃∈，20010x x --≥4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）A ．18B ．20 C.21 D ．255.已知向量(1,2)a = ，(2,)b m =- ，若//a b ，则|23|a b +等于（ ）A D. 80 6.设2a =，lg9b =，92sin5c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >> 7.按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M 处的条件可为（ ）A ．8k ≥B ．8k < C.16k < D ．16k ≥8.函数12()()cos 12xxf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线22(0)y px p =>的准线上，则p 等于（ ）A ．．1 10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13 C. 12 D ．2311.若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则函数2z ax by =+当且仅当在点(2,1)-处取得最大值的概率为（ ）A ．34 B ．56 C.16 D ．1412.已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(1)()k x f x -<，对任意的1x >恒成立，则k 的最大值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．5第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.13.若3,0()1,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((2))f f -= ．14.设0sin a xdx π=⎰，则6(的展开式中常数项是 ． 15.正三棱柱111ABC A B C -底面ABC ∆的边长为3，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 ．16.已知数列{}n a 满足21232n n a a a a = *()n N ∈，且对任意*n N ∈都有12111nt a a a +++< ，则实数t 的取值范围为 ． 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量(sin ,1)a x =-，1,)2b x =- ，函数()()2f x a b a =+⋅- .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，其中A为锐角，a =1c =，且()1f A =，求ABC ∆的面积S .18.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分为五个级别，[0,2)T ∈畅通；[2,4)T ∈基本畅通；[4,6)T ∈轻度拥堵；[6,8)T ∈中度拥堵；[8,10]T ∈严重拥堵.早高峰时段（3T ≥），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.19. 如图，四边形ABCD 中，BCD ∆为正三角形，2AD AB ==，BD =AC 与BD 中心O 点，将ACD ∆沿边AC 折起，使D 点至P 点，已知PO 与平面ABCD 所成的角为60︒.（1）求证：平面PAC ⊥平面PDB ； （2）求已知二面角A PB D --的余弦值.20. 设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为 1F ，2F ，点A 在椭圆上，且满足2120AF F F ⋅=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r+=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由. 21. 已知函数ln ()a xf x x+=在点(,())e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直. （1）若函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值，求实数m 的取值范围；（2）求证：当1x >时，1()21(1)(1)x xf x e e x xe ->+++. 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中曲线221:1C x y +=经伸缩变换222x xy y⎧=⎨=⎩后得到曲线2C ，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线3C 的极坐标方程为86sin ρρθ-=-.（1）求曲线2C 的参数方程和3C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线2C 上的一点，又M 向曲线3C 引切线，切点为N ，求||MN 的最大值. 23.选修4—5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c R ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.河北武邑中学2016-2017学年高三年级下学期期中考试数学试题（理科）（答案）一、选择题：1-5:BDACB 6-10:ADCBB 11、12：AB二、填空题13.9 14.-160 15.2350 16.2[,)3+∞ 三、解答题17.解：（1）()()2f x a b a =+⋅-，||2a a b =+⋅-= 21sin 1cos 22x x x ++-，1cos 21222x x -=+-=12cos 22x x -sin(2)6x π=-，由222262k x k πππππ-+≤-≤+()k z ∈，函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k z ∈.（2）()sin(2)16f A A π=-=， 因为[0,]2A π∈，52(,)666A πππ-∈-，所以.262A ππ-=，3A π=，又2222cos a b c bc A =+-，则2b =，从而1sin 2S bc A ==18.解：（1）(0.20.16)15018+⨯⨯=，这50路段为中度拥堵的有18个. （2）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =， 事件B 至少一个路段严重拥堵，则()(1())0.729P B P A =-=.()1()0.271P B P B =-=，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271.（3）由频率分布直方图可得：分布列如下表：()300.1360.44420.36600.139.96E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟. 19.解：（1）易知O 为BD 的中点，则AC BD ⊥， 又PO ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，AC ⊂ 平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PDB .（2）过P 作DB 的垂线，垂足为H ，则PH 垂直平面ABCD ，60PHO ∠=︒，以OB 为x 后，OC 为y 轴，过O 垂直于平面ABC 向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,1,0)A -，B ，3()2P ， 易知平面PBD 的法向量为(0,1,0)n =，,0)AB =，3()2AP = ， 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则由n AB n AP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得0302n AB y n APx y z ⎧⨯=+=⎪⎨⨯=++=⎪⎩，取(1,n = ， cos ,7m n <>== ， 二面角A PB D --的余弦值为7. 20.解：（1）2120AF F F ⋅=， 212AF F F ∴⊥，A 在椭圆上，220221y c a b ∴+=，解得20b y a=，22222c b a a b c=⎧⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩，解得28a =，24b =， ∴椭圆:C 22184x y +=. （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将l ：4y kx m =代入:C 22184x y +=，整理得：222(12)4280k x kmx m +++-=， 0∆> ，22840k m ∴⋅+>，且122412km x x k +=+，21222812m x x k -=+，1212()()y y kx m kx m ∴=++=221212()k x x km x x m +++=222812m k k-+， OP OQ ⊥ ，12120x x y y ∴+=，即2222228801212m m k k k --+=++，22388m k -∴=， 由23808m ->和2840k m -+>，得283m >即可. l 与圆222x y r +=相切，222||813m r k ∴==+， 存在圆2283x y +=符合题意. 21.解：（1）因为ln ()a x f x x +=，所以21ln '()a x f x x --=.得21'()f e e=-，所以221a e e-=-，得1a =，得1ln ()x f x x +=，2ln '()(0)xf x x x=->.当(0,1)x ∈时，'()0f x >，()f x 为增函数；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 为减函数.所以函数()f x 仅当1x =时，取得极值.又函数()f x 在区间(,1)m m +上存在极值，所以11m m <<+，所以01m <<，故实数m 的取值范围是(0,1).（2）当1x >时，1()21(1)(1)x xf x e e x xe ->+++，即为11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++⋅>++.令(1)(ln 1)()x xg x x ++=，则2[(1)(ln 1)](1)(ln 1)'()x x x x x g x x ++-++=2ln x xx -=，再令()ln x x x ϕ=-，则11'()1x x x x ϕ-=-=.又因为1x >，所以'()0x ϕ>.所以()x ϕ在(1,)+∞上是增函数.又因为(1)1ϕ=，所以当1x >时，'()0g x >，所以()g x 在区间(1,)+∞上是增函数.所以当1x >时，()(1)2g x g >=，故()211g x e e >++. 令12()1x x e h x xe -=+，则112(1)(1)'()2(1)x x x x x e xe xe e h x xe --+-+=⋅+122(1)(1)x x x e e xe --=+.因为1x >，所以12(1)0(1)x x x e e xe --<+.当1x >时，'()0h x <.故函数()h x 在区间(1,)+∞上是家函数，又2(1)1h e =+，所以当1x >时，2()1h x e <+，即得()()1g x h x e >+，即1()21(1)(1)x xf x e e x x e ->+++.22.解：（1）将212x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入1C 得2214x y +=，所以2C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. 由86sin r r q=-得26sin 8r r q -=，3C ∴的直角坐标方程为22(3)1x y +-=.（2）3C 表示以3(0,3)C 为圆心，以1为半径的圆，||MN =设(2cos ,sin )M ϕϕ，则3||MC ====1sin 1ϕ-≤≤ ，3max ||4MC ∴=.根据题意可得max ||MN ==23.解：（1）由于3,(1)()31,(11)3(1)x x f x x x x x --≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩，所以max ()(1)2k f x f ==-=.（2）由已知22222a cb ++=，有2222()()4a b bc +++=， 因为222a b ab +≥（当a b =取等号），222b c bc +≥（当b c =取等号），所以2222()()4a b b c +++=≥2()ab bc +，即2ab bc +≤，故max [()]2b a c +=.。