线性代数各章小结 (4)

3.4.1 内容框图

3.4.2 基本要求

（1）知道矩阵的概念，掌握矩阵秩的计算方法。

（2）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

（3）理解非其次线性方程组有解的充分必要条件。

（4）熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

3.4.3内容概要

1)秩的定义

设矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的r+1阶子式（如果有的话）全等于零，称r 为矩阵A 的秩，记为r(A)=r.

注 若A 有r 阶子式非零，则 r(A)r ≥；若A 的所有r+1阶子式全为零，则()r A r ≤。

2）秩的性质

(1) ()

()T r A r A = (2) ()(),0r A r A λλ=≠其中；

(3) ()()()00;4min ,m n r A A r A m n ⨯=⇔=≤（）;

(5)设A 为方阵，则()0A r A n ≠⇔=

(6)初等变换不改变矩阵的秩，即

若B A ~则()()r A r B =

(7)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A 可逆时，有 ()()()();r AB r B r BA r B ==

3)秩的求法

（1） 用定义；

（2） 用初等变换；

（3） 用性质。

（4） 齐次线性方程组

齐次线性方程组0m n A x ⨯=

（1） 齐次线性方程组有解的条件：

x=0为Ax=0的平凡解；

当()r A n =（变量个数）时，0Ax =只有零解；

当()r A n <（变量个数）时，0Ax =有含()n r A -个参数的无穷多个解。

注0Ax =有非零解n A r <⇔)(.

(2)齐次线性方程组解的求法：

将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。

(3)解的性质：

若12,,...k ξξξ为0Ax =的解，则1122...k k t t t ξξξ+++仍为0Ax =的解，其中12,...,k t t t 为任意常数。

5）非齐次线性方程组

非齐次线性方程组()0m n A x b ⨯=≠

(1) 非齐次线性方程组有解的条件：

当()()r A b r A n ==M （变量个数）时，方程组有唯一解；

当()()r A b r A n =

(2) 非齐次线性方程组解的求法：

将增广矩阵()A b M 经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。

(3) 解的性质：

若12,ξξ为Ax b =的解，则12ξξ-为其导出方程组0Ax =的解。

注 12

2ξξ+为Ax b =的一个解，而12ξξ+不再时Ax b =的解。

注1 当A 为n 阶方阵时，满足

n P P P A I A A n A r Λ21~0)(=⇔⇔≠⇔=（初等矩阵乘积）

注2 求解非齐次方程组n n A x b ⨯=，在0A ≠时，可用

(1) 克莱默法则；

(2) 逆矩阵法1x A b -=

(3) 初等变换法()()x I b A 行~

注3 解矩阵方程AX B =在A 可逆时，可用1(1)X A B -=;(2)()()X I B A 行~.

解矩阵方程XA B =在A 可逆时，可用1-=BA X .

注4 带参数的线性方程组解的讨论尤为重要，在初等行变换时应尽可能用数字去消参数，避免参数出现在分母上，因为参数的取值可能导致分母为零。