二次函数单元测试卷(解析版)

二次函数单元测试卷（解析版）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．

（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2x =；（2）2

122

y x x =-

+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

【解析】 【分析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．

（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】

解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a

a

-＝2． （2）如图1中，

对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，

∴A(4，0)，

∵四边形OMAM′是正方形，

∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，

∴M((2，﹣2)，M′(2，2)

把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，

可得﹣2＝4a﹣8a，

∴a＝1

2

，

∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1

2(x﹣2)2+2＝﹣

1

2

x2+2x．

（3）如图3中，由题意OD＝2．

当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1

2

m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣

1

2

(m﹣

2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1

2

(m+2)2+2(m+2)]，

∵PQ∥OD，

∴1

2m2﹣2m＝﹣

1

2

(m﹣2)2+2(m﹣2)或

1

2

m2﹣2m＝﹣

1

2

(m+2)2+2(m+2)，

解得m ＝，

∴P

或(3或(1和， 当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣

32

)，

综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(3或(1)和

)或(1，﹣32

)． 【点睛】

本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

2．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2

0x +（b+1）x 0+b ﹣2

＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2

121

a +是线段AB 的垂

直平分线，求实数b 的取值范围．

【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣

4

≤b ＜0． 【解析】 【分析】

（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；

（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2

121

a +是线段AB 的垂

直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】

解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，

即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，

∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，

设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，

即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），

∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣

b a

， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122

x x

+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a

-）， ∵直线y ＝﹣x+2

121

a +是线段AB 的垂直平分线，

∴点（2b a -，2b

a -）在直线y ＝﹣x+2121

a +上， ∴2b

a -

＝21221

b a a ++

∴﹣b ＝

2

21

a a ≤

+4，（当a ＝2

时取等号）

∴0＜﹣b ≤

4

，

≤b ＜0，