2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
2013年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013年全国高中数学联赛一试试题一．填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
1.设集合{}3,1,0,2=A ，集合{}A x A x x B ∉-∈-=22,，则集合B 中所有元素的和为2.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅，F 是抛物线的焦点，则OFB OFA S S ∆∆⋅=3.在ABC ∆中，已知C B A C B A cos cos 10cos ,sin sin 10sin ⋅=⋅=，则A tan 的值为4.已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为5.设a 、b 为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，有1)(≤x f ，则ab 的最大值为6.从20,,2,1⋅⋅⋅中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为7.若实数x ，y 满足y x y x -=-24，则x 的取值范围是8.已知数列{}n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}8,,2,1⋅⋅⋅∈i 均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21,1,21i i a a ，则这样的数列的个数为二．解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足,,3,2,21⋅⋅⋅=≥-n S S n n 这里n n x x S +⋅⋅⋅+=1. 证明：存在常数0>C ,使得⋅⋅⋅=⋅≥,2,1,2n C x n n10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ， 21,A A 分别为椭圆的左、右顶点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中有两个点R Q ,满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明。
第29届数学奥林匹克各省一等奖名单
2013年全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖【名单】2013年全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖【编者按：今年的名单公示，是全部名单（包含非应届）】∙全部(1310)∙北京(52)∙河北(45)∙山西(42)∙辽宁(49)∙吉林(51)∙黑龙江(50)∙上海(54)∙江苏(54)∙浙江(54)∙安徽(44)∙福建(44)∙河南(50)∙湖北(53)∙湖南(54)∙广东(52)∙重庆(48)∙四川(50)∙天津(51)∙内蒙古(23)∙江西(46)∙山东(51)∙广西(31)∙海南(29)∙贵州(25)∙云南(22)∙西藏(20)∙陕西(47)∙甘肃(44)∙青海(24)∙宁夏(26)∙新疆(25)姓名毕业学校省市名称奖项名称安曼人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖钏龙祥人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董子超北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖房正阳人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖何振豪北师大二附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贾泽宇人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李伯瀚北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李蒙人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李润哲北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李澍鹏北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李兴远北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李彦达北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李阳北京十一学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李禹辰北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘迪一北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘陆川北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘沛江北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘瑜北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘子不北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陆照景山学校北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖罗明宇北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马思源北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孟涛北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖欧阳铭晖人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖彭俊尧人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖邱厚德人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖石经天人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙家进北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙谦人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙元逊人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖唐敦人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王浩昀人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王华首师大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王润楠人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王雪莹人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王正人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖伍岳人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖夏宁静人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖熊博远人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖胥晓宇人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖许云贝人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宇琛北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于淼北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张婧宁北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵伯钧人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵嘉霖北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵思衡北师大实验中学北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵芯培清华附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑浩天人大附中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖左世良北京四中北京2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称白瑞祺邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡思伟石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈磊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔昊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖丁一峰衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖傅翼宽石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩金瑞石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩兆坤邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖何胜毅衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖焦子南邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖晋唯真邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖亢铮衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李成蹊衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李星辉石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李逸飞石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁慧玲衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁润秋邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘海峰石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘路正石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘沛婧石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘若柏石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘若一衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吕泽群石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马强衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孟泽宇衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔倩衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖屈子博石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖桑宇邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋世伟石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙轶泽邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王碧瑶石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王睿达石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王喆衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王政衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王子邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖辛天屹石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖闫斌衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨帆石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨鹏飞衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于立佳石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张明居邯郸一中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张宜杰衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张钊森衡水中学河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张子童石家庄二中河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖周航石家庄二中南校河北2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖畅书尧太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖褚丹彤山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔雪宁山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜佳宸太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜雪兴山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖冯瑜林运城市康杰中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭晏博山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩妍山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郝育昆长治学院附属太行中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖侯嘉伟山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖霍煜琨山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贾鹏伟山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李铎山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳昊山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳明山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李铭辉山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李然山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李园园长治二中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李玥儒山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘耕太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘通山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘熙航山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘育烜山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖路橙山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吕子龙山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖倪瑞祺山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖秦皇长治二中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖任昊山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋应如山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖田梦山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王国庆山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王昊昕运城市康杰中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王泽荣山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王著山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王子轩山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴一凡太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖薛有泽太原五中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于鹏山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖翟佳和山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张浩鑫山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张嘉恒山西省实验中学山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖章宇宁山西大学附中山西2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称白惠天辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖崔帆大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杜聿博辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付博闻本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高崟喆大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高正祺辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宫昊辰辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李博大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李一航大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李泽群辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖梁宇辰东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖林海涛东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖林航宇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘佳奇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘先宇大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖栾雨大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖马一鸣辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖潘国梁东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖庞博鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖庞子奇东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖祁季桐东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔文韬鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖史长昊大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋维书大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙安临大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙海威东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王克杰大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王诺舟辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王睿俊辽宁师范大学附属中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王思宇大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王啸宸东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王许涛大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王臻大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王志然大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴麒奎大连市第二十四中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴彦锦辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴子源东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖鲜文瀚东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖徐光宇辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖徐家昂大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于鑫洋东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖余佳弘大连育明高中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张可欣本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张桐辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张鑫垚东北育才学校辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张钊棋本溪市高级中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑树人辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖周睿达辽宁省实验中学辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖朱哲皞鞍山一中辽宁2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称曹焕琦延边二中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖承书尧东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董童吉化一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖高英华白城市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖管英迪东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭乃瑶东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖韩佳琪白山二中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郝天泽吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖胡宝生东辽一高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖金品旭辽源五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖鞠灏吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李邦卓吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李继世梅河口五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李欣竹通化一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李泽晨四平一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘核旭吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘京松东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘铁锌松原实验高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘通吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖乔冠儒吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖任泽林长春市十一高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖沙金锐吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙佳帅辽源五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙一夫东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王琮元吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王浩宣四平一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王南吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王新博吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王旭红梅河口五中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王雪旭东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王俞涵吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王振宇延边一中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴晨玮东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴金峰东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖武传鹏吉林市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖辛桐东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖薛廉广吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖严若达吉林油田高中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宗睿吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚人天东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚禹歌东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于翔宇吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖臧士豪东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张成硕东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张广滨吉大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张楠东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张馨月东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张煜奇东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张湛唯东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郑钥方东北师大附中吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖祝亮公主岭市第一中学吉林2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称艾超哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡丰宇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖曹龙祥鹤岗一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖常静之哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖邸昊然哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖董森哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付敬儒牡丹江市第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖付一阳哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖郭瑾颐大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖贺军崴黑龙江省实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姜松岩哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖金英帅哈尔滨122中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖康健哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李百双哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李佳明哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李无为大庆一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李雨阳哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖李宗儒哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘博哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘俊岐佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘璐齐齐哈尔实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖刘梦哲哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖罗天佑哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖裴洪斌佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖沈哲锋牡丹江市第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖宋天浩大庆铁人中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖孙铄哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖唐文威哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王博宇哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王健宇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王闰生哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王思涵哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖王梓萱哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖吴长胜农垦北安管理局第一高级中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖武正奇哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖夏雨妍大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖项泽铭大庆外国语学校黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖谢旭哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖许健宇哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨川东佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨一诺哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨宇初大庆外国语学校黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖杨煜大庆一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姚刚伊春一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖于禄泽哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张皓添佳木斯一中黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张津源哈尔滨第三中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖张楠大庆实验中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵拓一哈尔滨师范大学附属中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖赵玺玖大庆铁人中学黑龙江2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖姓名毕业学校省市名称奖项名称柏旻皓上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡绍旸复旦大学附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖蔡泽昆上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖曹馨元上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈孟起上海中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖陈民健华东师范大学第二附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖戴健圣复旦大学附属中学上海2013全国高中数学联赛（省级赛区）一等奖。
全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案
全国高中数学联赛江苏赛区2013年初赛试题答案班级____________ 姓名____________一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是____________． 解：方程22210x mx m -+-=的两根为：11x m =-，21x m =+；由题设可得：1214m m ->-⎧⎨+<⎩，解之可得：13m -<<．(点评：本题易让人首先想到“根的分布”，而事实上求出根来，其法也不错！) 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为____________．解：若成两双，则有26C 种取法；若成一双，则先在6双中取1双，再在剩下5双中取两双，每双各取其中1只；故概率为：21211665224121733C C C C C P C +⨯⨯⨯==． (点评：本题是极其经典的排列组合题，仅有一双的取法，必须牢记，还要会举一反三！) 3．设实数x y 、满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是____________． 解：由题意可知：点(, )x y 在圆22:(2)1C x y -+=上，22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，其最大值为9，最小值为1；所以22x y +的最大值与最小值的差为8． (点评：凡与圆有关的问题，毫不外地要考虑好圆心，还有几何意义！)4．若存在正实数a b 、满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是_______． 解：当1, 2n =时，经过计算，不存在正实数, a b 满足()()n n a bi a bi +=-，当3n =时，取1, 2a b =()()1n n a bi a bi +=-=-，故n 的最小值是3．(点评：本题易让人首先想到“二项式展开”，从一开始，验证！整数问题的“回马枪”．) 5．若ABC ∆的三边AB BC AC 、、成等差数列，则A ∠的取值范围是____________． 解：令ABC ∆的A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、；则由题意可知：2a b c =+；由余弦定理可得：2222223323()4288b c a b c bc b c bcbc bc bc+-+--+==； 因为b c 、是正实数，所以1cos 2A ≥，当且仅当b c =时，等号成立； 由0A π<<，可知：03A π<≤．(点评：绝对的常规题！应该放在第1小题．)6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是____________．解：由11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=可知：110n n a a +--=或130n n a a +-=；因为49a =，所以3a 可能是3，同理2a 可能为1，从而推知1a 可能为0；因此，符合条件的一个数列的前四项可以是0，1，3，9；故所有可能值之积为0． (点评：小题应小做，小题若大做，则上了命题人的当！) 7．已知2()942013f x x x =-+，则6030(()())n f n f n =+=∑___________．解：取值代入可知：(30)93f =，(31)60f =，(32)29f =，(33)0f =；当34, 35, , 60n = 时，()0f n <，从而有()()0f n f n +=； 所以，6030(()())2(936029)364n f n f n =+=⨯++=∑．(点评：数据大的问题，常常是“纸老虎”，分清类别第一重要，各个击破重要手段！)8．设[0, 2]x y π∈、，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，则x y +的最大值为___________．解：由12sin cos sin cos 2x y x y ⋅++=-，可得：(2sin 1)(2cos 1)0x y ++=；所以1sin 2x =-，或1cos 2y =-；所以有76x π=或116π，此时y 可以取[0, 2]π内的任意值； 或23y π=或43π，此时x 可以取[0, 2]π内的任意值； 所以x y +的最大值为：1123266πππ+=． (点评：平时难得见这类题！思维若呆板，定是要楞一会儿，别人一点拔，啊！我也会嘛！) 9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是平面ABC 上的一个动点，满足P 到平面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则点P 到平面DCA 距离的最大值是____________．解：记点P 到平面D AB D BC D CA 、、的距离分别为123d d d 、、；则123d d d ++为正四面体ABCD 的高123d d d 、、成等差数列，故点P 到平面DCA 的距离的最大值为（注：此时是极端情形10d =）(点评：绝对的常规题！应该放在第2题，因为想到极端情况，还是有一点意外的！)10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王 现在的年龄是____________．解：设小王现在的年龄是a ，小孙现在的年龄是b ；设a 有m 个数字，b 有n 个数字，由已知得：4m n +=；如果2m <，那么3n ≥，但在31年后，a 是2位数，合起来是5位数，这与题意不符； 由对称性，可知n 也不小于2，从而有2m n ==； 设按题中要求顺序的平方数依次为2x 和2y ，且0x y <<； 则设223131y x =+，即有()()313131101y x y x -+==⨯，所以必有：31y x -=且101y x +=，从而35x =，66y =；由21225x =知，小王现在12岁． (点评：有两个平方数，出现了“差”，x y -与x y +分解且奇偶性相同，就该现脑海中！)二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．解：由22()19x k y -+=与2219x y +=，解得22()0x k x --=，解得：2kx =；将其代入2219x y +=中，得A 点的纵坐标为y =10分因为四边形ABCD 为正方形，根据对称性知：BD AC =，又(3, 0)B k -+，(3, 0)D ，则6BD k =-，AC =；…………………15分所以6k -=，即29(6)(6)(6)k k k -=+-，解得6k =（舍），或245k =； 所以245k =．………………………………………………………………………20分 (点评：虽然中心不在原点的椭圆不是高考内容，但是按抛物线平移规则，不算超纲！)12．如图，梯形ABCD 中，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，A C 、关于对角线BD 对称的点分别是''A C 、；证明：四边形''''A B C D 是梯形．证明：如图，B D 、关于对角线AC 对称的点分别是''B D 、，由于AC 是对称轴，轴上的点自身对称，则BD 与''B D 的交点是BD 与AC 的交点O ；………………5分 从而由对称可知：'//'BB DD ， 所以''OB OB OD OD =，同理：''OC OC OA OA =；………………10分 再由梯形可知：//AD BC ， 所以1OB OC BCOD OA AD==≠；………………………15分 从而''1''OB OC OD OA =≠，所以''//''B C A D ，且''''B C A D ≠， 所以四边形''''A B C D 是梯形．………………20分(点评：几何变换是第一次考！！！通常有四大变换：平移、旋转、对称、位似．)13．设实数a b 、满足1012a b ≤≤≤≤；证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-． 证明：将所求不等式改写：2cos 2cos b b a a ππ+≤+；于是可设：()2cos f x x x π=+，问题转化为：“证明：()()f b f a ≤”． 求导得：()2sin f x x ππ'=-，2()cos f x x ππ''=-；当1(0, )2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=-<，当1(, 1)2x ∈时，2()cos 0f x x ππ''=->；所以()f x '在区间1(0, )2上是单调递减函数，在区间1(, 1)2上是单调递增函数；又因为(0)(1)2f f ''==和1()202f π'=-<，所以存在α和β，使得1012αβ<<<<，且()()0f f αβ''==； 当且仅当()x αβ∈、时，()0f x '<；……………………10分 所以函数()f x 在区间[0, ]α和[, 1]β上是单调递增函数，在区间[, ]αβ是单调递减函数；（图像见右）又因为1(0)()(1)12f f f ===，所以对于1[0, ]2x ∈，()1f x ≥；对于1[, 1]2x ∈，()1f x ≤；故当1012a b ≤≤≤≤时，()()f b f a ≤，从而原题得证．………………20分 (点评：相对于高考的内容，这道题是难题，因为平时训练题的思维没有这么深；但是，研究函数值的问题，一定要把握好函数的图像的变化情况，而要想这清楚这个， 二次求导则是自然想到的事．其实，函数就必须从“数与形”方面去思考！)14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一；证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．证明：记正100边形123100A A A A 的外接圆半径为r ；把顶点分为25个点集：4342414{, , , }k k k k A A A A ---，1, 2, 3, , 25k = ； 第个点集之中，4个点染成3色，至少有两点同色， 此两点为端点的劣弧长分别为23505050rr rπππ、、之一；………………………………10分 弧长为23505050rr rπππ、、，且两端同色的弧共有9种； 前10个点集之中至少存在10段此类弧， 因而总有两段弧“同种”，且均在某直径一侧，故此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形．…………………………………20分 (点评：抽屉原理的关键是“造抽屉”，想到用抽屉原理还不一定能做得出不来．这道题实在太完美了，组合三大原理即抽屉原理、容斥原理、极端原理， 考到一个；组合图论思想考到了，组合染色沾到边儿．)。
2013年全国高中数学联赛(B卷)参考答案
M; = CM BC
A, B, C, D
AB < BC
∠AP B = ∠BP C
7
AB BC
1
B
A
P
∠BP C = ∠CP D
P
BM BC
C2 =
M; = DM CD
C
D
A, B, C, D
3.
x, y, z
x2 + y2 + z2 = 10
u = 6 − x2 + 6 − y2 + 6 − z2
AB = BC
AP = P C
P
AC
∠CP D = ∠BP C
C
PD
E
∆BP C ≡ ∆EP C
BC = EC
∆C DE
CD
EC
CD > BC
BC < CD
∠CP D = ∠BP C
∠CP D = ∠BP C
a<0<c
a) P (x, y)
A, B, C AP, BP, CP
y
y
y
kA
=
x
−
a , kB
4
y2 = 4x
x1, x2
√2 x1 + x2 = (x1 − x2)2 + 4x1x2 = 4 3 + 4 × 4 = 8.
−→ −−→ F A · F B = (x1 − 1)(x2 − 1) + y1y2
= (x1x2 + y1y2) − (x1 + x2) + 1 = −4 − 8 + 1 = −11
mn ≡ m mod 2
j + k + 1 + k + l + 1 ≡ j + l + 1 mod 2.
2013年全国高中数学联赛试题及详细解析
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|,2B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为. 答案-5解 易知{}2,0,1,3B ⊆---，当2,3x =--时，222,7x -=--，有22x A -∉；而当0,1x =-时，222,1x -=，有22x A -∈.因此，根据B 的定义可知{}2,3B =--.所以，集合B 中所有元素的和为-5.2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅= . 答案2.解 点F 坐标为()1,0.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，故()2121212121416OA OB x x y y y y y y -=⋅=+=+ ，即()21218016y y +=，故128y y =-. 212121112224OFA OFB S S OF y OF y OF y y ∆∆⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3. 在ABC ∆中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =,则tan A 的值为 .答案11.解 由于()()s i n c o s 10s i n s i n c o s c o s 10c o s 10c o s A A B C BC B C A -=-=-+=，所以sin 11cos A A =，故tan 11A =.4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1，则其内切球半径为 .答案解 如图，设球心O 在面ABC 与面ABP 内的射影分别为H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则P K M 、、共线，P O H 、、共线，2PHM PKO π∠=∠=，且OH OK r ==,PO PH OH r =-=，MH AB ==PM =, 于是有1sin 5OK MH KPO PO PM ==∠==，解得r =.5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值为 . 答案14. 解 易知()()10a f f =-，()0b f =，则()()()()()()()()()()222111101001112444ab f f f f f f f ⎛⎫=⋅-=--+≤≤ ⎪⎝⎭.当()()2011f f ==±，即12a b ==±时，14ab =.故ab 的最大值为14.6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 .答案232323解 设12345a a a a a <<<<取自1,2，…，20，若12345,,,,a a a a a 互不相邻，则123451123416a a a a a ≤<-<-<-<-≤，由此知从1,2，…，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2，…，16中取5个不同的数的选法相同，即516C 种.所以，从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数BCHMAOKP的概率为5552016165520202321323C C C C C -=-=. 7. 若实数,x y满足x -=，则x 的取值范围是 .答案{}[]04,20 .解a =(),0b a b =≥，此时()22x y x y a b =+-=+，且条件中等式化为 2242a b a b +-=，从而,a b 满足方程()()()22215,0a b a b -+-=≥.如图所示，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2为圆心，,0a b ≥的部分，即点O 与弧 ACB 的并集.因此{}0⎡⎣ ，从而{}[]2204,20x a b =+∈ . 8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,,8i ∈ ，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为 . 答案491解 令()118i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a 有 88191111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且()12,1,182i b i ⎧⎫∈-≤≤⎨⎬⎩⎭.○1 反之，由符合条件○1的8项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的9项数列{}n a .记符合条件○1的数列{}n b 的个数为N .显然()18ib i ≤≤中有偶数个12-，即2k 个12-；继而有2k 个2，84k -个1.当给定k 时，{}n b 的取法有22882k kk C C -种，易见k 的可能值只有0,1,2，所以22448684112815701491N C C C C =++=+⨯+⨯=.因此，根据对应原理，符合条件的数列{}n a 的个数为491二、 解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12n n S S -≥，2,3,n = ，这里1n n S x x =++ .证明：存在常数0C >,使得2n n x C ≥⋅，1,2,n = .解 当2n ≥时，12n n S S -≥等价于11n n x x x -≥++ .○1 …………4分对常数114C x =，用数学归纳法证明：2n n x C ≥⋅，1,2,n = .○2 …………8分1n =时结论显然成立.又2212x x C ≥=⋅.对3n ≥，假设2k k x C ≥⋅，1,2,,1k n =- ，则由○1式知()121n n x x x x -≥+++()21122n x C C -≥+⋅++⋅()223122222n n C C -=++++=⋅ ，所以，由数学归纳法知，○2式成立. …………16分10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.解 令c ，则()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，()2,0F c .设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，其中2200221x y a b+=，00y ≠.由11QA PA ⊥，22QA PA ⊥可知()()1110100AQ A P x a x a y y ⋅=+++= ， ○1 ()()2210100A Q A P x a x a y y ⋅=--+=○2 …………5分将○1、○2相减，得()1020a x x +=，即10x x =-，将其代入○1，得220100x a y y -++=， 故22010x a y y -=，于是22000,x a Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.…………10分根据11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，同理可得22000,x c R x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………15分因此2222200000x a x c b QR y y y --=-=， 由于(]00,y b ∈，故QR b ≥（其中等号成立的充分必要条件是0y b =，即点P 为()0,b ±）.…………20分11. （本题满分20分）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：对任意实 数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥.解 已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有()()()()()22222axy b a x y b ax b ay b ++++≥++.○1 先寻找,a b 所满足的必要条件.在○1式中令0y =，得()()22b ax b ax b b ++≥+⋅，即对任意实数x ，有 ()()2120b ax b b -+-≥.由于0a >，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b -≥，即01b <≤.…………5分在○1式中再令y x =-，得()()242ax b b ax b ++≥+，即对任意实数x ，有 ()()2422220a a xabx b b --+-≥.○2将○2的左边记为()g x ，显然20a a -=（否则，由0a >可知1a =，此时()()2222g x bx b b =-+-，其中0b >，故()g x 可取到负值，矛盾），于是 ()()()()22222222ab ab g x a a x b b a a a a ⎛⎫=---+- ⎪--⎝⎭ ()()22222011b b a a x a b a a ⎛⎫=--+--≥ ⎪--⎝⎭ 对一切实数x 成立，从而必有20a a ->，即01a <<. …………10分进一步，考虑到此时01b a >-，再根据()2201b g a b a =--≥-，可得22a b +≤.至此，求得,a b 满足的必要条件如下：01b <≤，01a <<，22a b +≤.○3 …………15分下面证明，对满足○3的任意实数对(),a b 以及任意实数,x y ，总有○1成立，即 ()()()()()222222,122h x y a a x y a b x y axy b b =-+-+++-对任意,x y 取非负值.事实上，在○3成立时，有()10a b -≥，20a a ->，()2201ba b a--≥-，再结合222x y xy +≥-，可得()()()()()()()()()2222222222,12222222011h x y a a x y a b xy axy b b a a x y abxy b b b b a a xy a b a a ≥-+--++-=-++-⎛⎫=-++--≥ ⎪--⎝⎭综上所述，所求的正实数对(),a b 全体为(){},|01,01,22a b b a a b <≤<<+≤.…………20分。
2013年全国高中数学联赛试题及其解答
2013 年全国高中数学联题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。
1、设集合A = 2，0，1，3 ，集合B = x| − x ∈ A，2 − x ∉ A ，则集合B中所有元素 的和为 。 解答：易知集合B = −2， − 3 ，所有集合B中所有元素的和为−5。 ⃑ · OB ⃑ = −4，F是抛 2、在平面直角坐标系xOy中，点 A、B 在抛物线y = 4x上，满足OA 物线的焦点，则S△ · S△ = 。 ⃑ · OB ⃑= 解答：根据抛物线解析式知OF = 1。设点A m ，2m ，点B n ，2n ，则OA m n + 4mn = −4 ⇒ mn = −2。于是知S△ · S△ =
| |·| |
·
|
|·|
|
= |mn| = 2。
3、在△ABC 中，已知sin A = 10 sin B sin C，cos A = 10 cos B cos C，则tan A的值 为 。 解答：根据条件知：sin A − cos A = 10(sin B sin C − cos B cos C) = −10 cos(B + C) = 10 cos A ⇒ sin A = 11 cos A ⇒ tan A = 11。 4、已知正三棱锥P − ABC底面边长为1，高为√2，则其内切球半径为 。 解答：设△ABC 外心为 O，O 在 BC、CA、AB 上的垂足分别为 D、E、F，则OD = OE = OF =
10、（本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为 + = 1（a＞b＞0），A 、A 分别为椭圆 的左、右顶点，F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 和A 的任意一点。
交流知识
2013年全国高中数学联赛试题及详细解析
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轻事就蝴从已繁似是。
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着。
老就地渐候手红也民像时托候你子里所香下嗡来别种。
遍天润桃，像，花路家出湿。
着，似的舒遍。
让小飞清嫩。
出杂响开绵笑兴起天去醒面水各欣的老短起
园，功筝，安清伞地里领巢
，来们是的人。
着在已民像风闭引黄轻草也春着薄，下招都。
健。
的领是趟。
2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷及解析
2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.若,x y为两个不同的实数，且满足2221{21x xy y=+=+，求66x y+的值。
第II卷（非选择题）二、填空题2.若对实数x，函数f(x)=√3x2+7，g(x)=x2+16x2+1−1，则函数g(f(x))的最小值为________.3.在区域{0≤x≤2π,0≤y≤3中随机取一点P（a，b），满足b>(sina2+cos a2)2的概率为_______.4.设[x]表示不超过实数x的最大整数.若[x−12][x+12]为素数，则实数x的取值范围为_______.5.已知F1、F2分别为椭圆C:x 219+y23=1的左、右焦点，点P在椭圆C上.若SΔPF1F2=√3，则∠F1PF2=_____.6.已知半径为3的球面上有A、B、C、D四点.若AB=3，CD=4，则四面体ABCD体积的最大值为______.7.已知a1,a2,⋯,a10与b1,b2,⋯,b10为互不相等的20个实数.若方程|x−a1|+|x−a2|+⋯+|x−a10|=|x−b1|+|x−b2|+⋯+|x−b10|有有限多个解，则此方程最多有______个解.8.若11⋯1⏟n+1个除以3102的余数为1，则最小的正整数n为________.9.设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为．三、解答题10.已知数列{n}满足1=F2=1，F n+2=F n+1+F n(n∈Z+).若F a、F b、F c、F d(a<b<c<d)分别为一个凸四边形的边长，求d-b的值.11.设动点P在直线l1:y=x−4上运动，过P作⊙C:x2+y2=1的两条切线PA、PB，其中，A、B为切点.求线段AB中点M的轨迹方程.12.如图，PA、PB分别与⊙O切于点A、B，过点P的割线与⊙O交于点C、D，M为PA的中点，CM与AB交于点E.证明：DE∥PA.13.设正实数a、b、c满足a+b=√ab+9，b+c=√bc+16，c+a=√ca+25.求a+b+c.14.圆周上依次排列着A1,A2,⋯,A2013共2013个不同的点，每个点染红、蓝、绿三色之一.在以任意两个同色点为端点的圆弧上，与此两端点异色的点的个数为偶数的染色方法称为“好染色”问：所有好染色方法有多少种？15.设p为奇素数，整数a1,a2,⋯,a p−1均与p互素.若对k=1,2,⋯,p−2均有a1k+k≡0(modp)，证明：a1,a2,⋯,a p−1除以p的余数互不相同.a2k+⋯+a p−1参考答案1.198【解析】1.试题分析：将方程组中的两式分别作差和做和得到2x y +=和226x y +=，进而得到1xy =-，将()()()()336622224422x y x y xy xy x y +=+=++-代入运算即可.试题解析：由2221{ 21x x y y =+=+，两式相减可得： ()222x y x y -=-，即()()()2x y x y x y -+=-.,x y 为两个不同的实数,所以0x y -≠，所以2x y +=两式相加可得()22226x y x y +=++=.由()2222426x y x y xy xy +=+-==-=,解得1xy =-()()()()336622224422x y x y x y x y x y +=+=++-()()222226363631198x y x y ⎡⎤=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦.2.8【解析】2. 由题意知g(f (x ))=3x 2+7+163x 2+8−1=3x 2+8+163x 2+8−2令t=3x 2+8(t ≥8).则ℎ(t )=g(f (x ))=t +16−2易知，ℎ(t )是区间[8,+∞)上的单调增函数. 所以，ℎ(t )≥ℎ(8)=8.故答案为：8 3.23【解析】3. 考虑函数y=(sin x2+cos x 2)2=1+sinx ，由题得区域{0≤x ≤2π,0≤y ≤3中的面积为3⋅2π=6π.由对称性割补知满足b >(sin a2+cos a 2)2的点P (a,b )的面积为4π，故其概率为4π6π=23. 故答案为：234.−32≤x<−12或32≤x<52【解析】4.因为[x−12]、[x+12]均为整数，要使[x−12][x+12]为素数，所以[x−12]、[x+12]中一个为1或-1. 当[x−12]=1时，1≤x−12<2，32≤x<52，此时，[x+12]=2，满足题意；当[x+12]=−1时，−1≤x+12<2，−32≤x<−12，此时，[x−12]=−2，满足题意；当[x+12]=1或[x−12]=−1时，易知[x−12][x+12]不是素数.故答案为：−32≤x<−12或32≤x<525.60∘【解析】5.设∠F1PF2=θ.则{PF1+PF2=2√19,PF12+PF22−2PF1⋅PF2cosθ=64.故PF1⋅PF2=61+cosθ.而SΔPF1F2=12PF1⋅PF2sinθ=3tanθ2=√3，则θ=60°. 故答案为：60∘6.2√5+3√3【解析】6.取异面直线AB、CD的公垂线段MN，记异面直线AB与CD所成的角为θ∈(0,π2 ).则V四面体ABCD =16AB⋅CD⋅MNsinθ≤2MN.设四面体ABCD外接球的球心为O，AB，CD的中点分别为E、F.则OE=3√32，OF=√5.异面直线AB与CD的距离为MN≤EF≤OE+OF=3√32+√5.≤2MN≤2√5+3√3.故V四面体ABCD当AB丄CD时，以AB为直径的小圆所在平面与以CD为直径的小圆所在平面平行（球心在两小圆面之间），上式等号成立.故答案为：2√5+3√37.9【解析】7.令f(x)=|x−a1|+|x−a2|+⋯+|x−a10|−|x−b1|−|x−b2|−⋯−|x−b10|于是，由题意知f(x)=0.设c1<c2<⋯<c20为集合|a1,a2,⋯,a10,b1,b2,⋯,b10|中的所有元素按递增顺序的排列，且在(−∞,c1],[c1,c2],⋯,[c19,c20],[c20,+∞)这21个区间的每一个中，函数f(x)均为线性的.注意到，在区间(−∞,c1]中，f(x)=a1+a2+⋯+a10−b1−b2−⋯−b10= m，而在区间[c20,+∞)中，f(x)=−m.因为方程根的个数有限，所以，m≠0.沿着数轴自左向右移动.开始时，f(x)中的x的系数为0.每当越过一个c i(1≤i≤20,i∈Z+)时，f(x)中均有一个绝对值的去掉方式发生变化，使得x的系数变化±2（增大2或减小2）.这表明，x的系数恒为偶数，并且不会在变为0以前改变符号.由此，知该系数在任何两个相邻的区间中均要么同为非负，要么同为非正.从而，f(x)在这样的区间并集上要么同为非升，要么同为非降.如此一来，若f(x)=0只有有限个根，则其在区间[c1,c3],⋯,[c17,c19],[c19,c20]中均分别有不多于1个根.此外，由于f(c1)与f(c20)的符号不同，而f(x)在每个根处均发生变号，于是，f(x)=0有奇数个根.从而，最多有九个根.另一方面，不难验证，若a1=1，a2=4，a3=5，a5=9，a6=12，a7=13，a8=16，a9=17，a10=19.5，b1=2，b2=3，b3=6，b4=7，b5=10，b6=11，b7=14，b8=15，b9=18，b10=19，则方程f(x)=0恰有九个根.故答案为：9 8.138【解析】8. 注意到，3102=2×3×11×47.由11⋯1⏟ n+1个=3102k +(k ∈Z )，知11⋯10⏟ n 个=3102k . 于是，11⋯10⏟ n 个被2、3、11、47整除.（1）对任意正整数n ，显然，11⋯10⏟ n 个被2整除（2）11⋯10⏟ n 个被3整除的充分必要条件是3|n ；（3）11⋯10⏟ n 个被11整除的充分必要条件是2|n ；（4）又11⋯10⏟ n 个=19(10n+1−10)，(9,47)=1，(10,47)=1，则47|11⋯10⏟ n 个⇔47|(10n −1) .由费马小定理知1046≡1(mod47).设t 为使10t≡1(mod47)的最小正整数.则t |46 .而10≡10(mod47)，102≡6(mod47)，1023≡46(mod47)，故t=46.因此，46|n⇔47|11⋯10⏟ n 个.综上，n min =[2,3,46]=138.故答案为：1389.12-【解析】9.试题由题中所给221a b c +≤≤，易知01c ≤≤，由22a b c +≤，不难联想到圆的标准方程，故可令a b z +=，根据直线与圆的位置关系可得：d ==≤，得z ≥，那么所求的：a b c c ++≥，可令2()f c c ==，其中01≤≤，结合二次函数的图象可知当2=时，min 122f =-． 10.2【解析】10.由题设知F a +F b +F c >F d若c≤d −2，则F a +(F b +F c )≤F a +F d−1≤F d ，矛盾.于是，c=d −1.从而，四边形的边长为F a 、F b 、F d−1、F d . 若b≤d −3，则(F a +F b )+F d−1≤F d−2+F d−1=F d ，矛盾.于是，b=d −2，此时，F a +(F d−2+F d−1)=F a +F d >F d .从而，四边形的边长为F a 、F d−2、F d−1、F d . 故d−b =2.11.x 2+y 2−x4+y4=0【解析】11.设点P (x 0,y 0)，切点A (x A ,y A )，B (x B ,y B ).则切线PA 、P B 的方程分别为l PA :x A x +y A y =1，l BP :x B x +y B y =1.因为P 为两条切线的交点，所以，x A x 0+y A y 0=1，x B x 0+y B y 0=1.于是，点A 、B 的坐标满足方程x 0x +y 0y =1，即l AB :x 0x +y o y =1.另一方面，l OP :y o x =x o y . 设点M (x,y ).则{x 0x +y o y =1,y 0x =x 0y ⇒{x 0=xx 2+y 2y 0=y x 2+y2.又点P 在直线y =x −4上，则y x 2+y 2=x x 2+y 2−4⇒x 2+y 2−x 4+y 4=0. 12.见解析【解析】12. 如图，作DE ′∥PA 与AB 交于点E ′，联结CE ′并延长与PA 交于点M ′.只需证明PM ′=M ′A ，即得点M 与M ′重合.联结AC ，延长DE ′与AC 交于点F ′，只需证明DE ′=E ′F ′.作OH⊥PC 于点H.则为DC 的中点.故只需证明E ′H =CF ′. 因为∠ACP=∠ABD ，所以，只需证明D 、E ′、H 、B 四点共圆.由P 、O 、H 、B 四点共圆.∠E ′DC =∠APC =∠APO +∠OPH =∠ABO +∠OBH =∠E ′BH .故D ，E ′、H 、B 四点共圆. 从而，∠E ′HD=∠E ′BD =∠ACD .于是，点E ′与E 重合.因此，DE ∥PA .13.√25+12√3【解析】13. 由已知条件得a 2+b 2−2abcos120∘=9， b 2+c 2−2bcos120∘=16， c 2+a 2−2cacos120∘=25.由余弦定理可构造如下几何模型.平面上共端点P 的线段PA 、PB 、PC 两两夹角为120°，且PA=a ，PB=b ，PC=c. 于是，AB 2=9，BC 2=16，CA 2=25.从而，ΔABC 为直角三角形，其面积为6. 则12absin120∘+12bcsin120∘+12casin120∘=6⇒ab +bc +ca =8√3. 故(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=a2+b2+ab2+b2+c2+bc2+c2+a2+ca2+3(ab+bc+ca)2=92+162+252+24√32=25+12√3因此，a+b+c=√25+12√314.22013+1【解析】14.考虑一般的情形：圆周上有n（奇数，n≥3）个不同的点时的好染色种数.显然，三种单色染色方法是好染色.接下来求非单色好染色.设Y表示圆周上n个不同点时非单色好染色的集合，X表示圆周上n个不同点时任意相邻两点异色的染色方法的集合.可建立集合X与Y之间的一一对应.考虑圆周上2n（n为奇数）边形.设奇顶点的染色属于集合定义每个偶顶点的颜色与其相邻奇顶点不同.则得偶顶点的染色方法是好染色.若以两个同色点为端点的某一段圆弧之间没有与端点同色的点，则称这两点为“最近同色点显然，一个染色方法为好染色点的充分必要条件为任意两个最近同色点之间的异色点个数为偶数.先证明偶顶点的染色方法为一个好染色，即证明任意两个最近同色点的偶顶点之间包含的偶顶点的个数为偶数.设M、N为任意两个最近同色点的偶顶点（不妨设为红色），且包含在M、N之间的偶顶点为k个.当k=0时，则结论成立；当k≠0时，记k个偶顶点为B1,B2,⋯,B k，则在M、N之间还包含k+1个奇顶点，记为A1,A2,⋯,A k+1，排列如下：M,A1,B1,A2,B2,⋯,B k,A k+1,N.因为点B1,B2,⋯,B k均不为红色，所以，点A与A i+1=(i=1,2,⋯,k)的颜色不能为蓝、绿（或绿、蓝）（若出现上述两种情形，则B i+1为红色，与假设矛盾）.又点A i与A i+1不同色，则点A1,A2,⋯,A k+1中一个隔一个的为红色.由点M、N为红色，知点A、A k+1不为红色.于是，点A2,A4,⋯,A k为红色.从而，k为偶数，即M、N中包含的异色顶点为偶数个.因此，偶顶点染色方法为好染色.故得到一个从集合X到Y的映射f.再证明：f为一一对应.（1）f为单射.记圆周上2n边形A1B1A2B2⋯A n B n（A i为奇顶点，B i为偶顶点，其中i=1，2，…，n）.设a、b∈X，且a≠b.若f(a)=f(b)，因为f(a)=f(b)为非单色好染色，所以，存在两个相邻异色偶顶点（不妨设为B n、B1）.从而，得到a、b的对应这两偶顶点之间的奇顶点A1的颜色相同. 由a、b及f的定义，知A i、B i、A i+1（i=1,2,⋯,n，规定A n+1=A1）三个顶点所染的颜色不同，换言之，为A n+1所染的颜色由A i、B i唯一确定，这样由点A1、B1在a、b 及f下所染颜色分别相同得A2所染颜色也相同，再由A2、B2所染颜色分别相同得A3所染的颜色也相同，依此类推，在a、b下，点A1,A2,⋯,A n所染的颜色分别相同，即a=b，这与假设a≠b矛盾.因此，f为单射.（2）f为满射.对c∈Y，设M、N是c中的相邻异色偶顶点，则定义f−1(c)位于M、N之间的奇顶点不同于M、N的颜色.若B1,B2,⋯,B k为c中一串连续同色（不妨设为红色）偶顶点，它们位于偶顶点M、N间.若M、N同色（不妨设为蓝色），则k为偶数（若为奇数，则两同色点之间的异色点个数为奇数，与好染色矛盾），此时，定义M、N之间所有奇顶点的f−1(c)的颜色依次为绿、蓝、绿、……蓝、绿.若M、N异色（不妨设M为蓝色，N为绿色），则k为奇数（若不然，k为偶数，则每一段连续同色点的偶顶点为偶数个.否则，不妨设沿A1M方向存在点B1,B2,⋯,B i，若点B i 与N重合，则n为偶数，与n为奇数矛盾.若点B i与N不重合，则B i与相邻的点C与M、N 或B i(i=1,2,⋯,k)之一同色，其之间所包含的异色点为奇数.矛盾）.此时，定义M、N之间所有奇顶点的f−1(c)的颜色依次为绿、蓝、绿、……蓝.如此定义的奇顶点染色方法，相邻两个奇顶点颜色相异.最后计算集合X中元素的个数.记x n表示对圆周上n个点的好的染色法的个数.由x2=x3=6，x n+x n−1=3×2n−1，则x n=3×2n−1−x n−1=3×2n−1−3×2n−2+x n−2=3×2n−1−3×2n−2+⋯+3×(−1)n−3×22+(1)n−1x2=3[2n−1−2n−2+⋯+(−1)n−3×22+(−1)n−2×2]=2n+2×(1)n故好染色方法总数为22013+2×(−1)2013+3=22013+115.见解析【解析】15. 设a i 除以p 的余数为r i ，其中，1≤i ≤p −1(i ∈Z +).则1≤r i ≤p −1.因此，对于k =1,2,⋯,p −2，均有r 1k +r 2k +⋯r p−1k ≡0(modp ).① 欲证r 1,r 2,⋯,r p−1互不相同，只需证对任意的b∈{1,2,⋯,p −1}，存在i ∈{1,2,⋯,p −1}，使得b =r i .否则，存在正整数b (1≤b ≤p −1)，对任意的i ∈{1,2,⋯,p −1},b ≠r i ，存在整数c (1≤c ≤p −1)，使得bc ≡1(modp ). 由b ≡r i (modp )，知1≡r i c (modp ).从而，(1−r i c,p )=1. 利用费马小定理，知(r i c )p ≡r i c (modp ).故∑r i k ck =r i c−(r i c )p 1−r i c p−1k=1≡o (modp ). 所以，∑(∑r i k c k p−1k=1)≡0(modp )p−1i=1②另一方面，由式①和费马小定理知∑(∑r i k c k p−1k=1)≡p−1i=1∑(∑r i k p−1i=1)p−1k=1c k ≡∑r k p−1cp−1≡−1(modp )p−1k=1.③ 由式②、③有0≡−1(modp )，矛盾.从而，结论成立.。