时域模态分析及软件开发

[4] 特征系统实现算法（ 特征系统实现算法 （ ERA） 的原理
λr = e µ ∆t ⇒ µ r = σ r + iω r =
r
1 ln(λ r ) ∆t
这里，σr 是阻尼因子，ωr 是 r 阶固有 频率，阻尼比ξr 由下式给出：
ξr =
−σ r
ω r2 + σ r2
第 r 阶模态的振型{ψ}r 是矩阵[Φ]r 的 系统特征向量{φ}r 的可观部分，表示如下： {ψ}r =[C]{φ}r 可见 , 只要求出 [A][C] 便可进行模态参 数的识别。 下面是利用输出相应的相关函数和 Hankel 矩阵来求[A][C]。 相关函数 Rk 表示成下式： Rk=E({yk+m}{ym})T
式中,[Op]、[Cq]分别是离散状态空间方 程的 p 阶可观矩阵和 q 阶可控矩阵,分别为:
[C ] [C ][ A] , [O p ] = M p −1 [C ][ A] [C q ] = [[G ] [ A][G ] L [ A]q −1[G ]]
式中，[G]＝E({xk+1}{yk})T 对 Hankel 矩阵进行奇异值分解，再根 [Cq]的特点， 可以求得矩阵[A]、 据矩阵[Op]、 [C]，由此识别出系统模态参数。 随机子空间法适用于线性结构平稳激 励下参数的识别， 对输出噪声由一定的抗干 扰能力。其最大优点是不需要输入，仅通过 输出就可进行识别， 可用来进行响应模态分 析。本方法属于整体拟合法，拟合时同时考 虑多点的输出波形，当模态比较密集时，即 使模态频率比较接近， 也不会影响识别的精 度。拟合过程中需要用户选择 Hankel 矩阵 的阶数，当 Hankel 矩阵的阶数较高时，计 算量很大，比较费时。Hankel 矩阵的阶数选 定后，还需要确定状态方程的阶数，阶数太 低， 会造成模态丢失， 太高会出现虚假模态。 对于响应模态的识别， 随机子空间法是 目前最好的选择，仿真计算表明，随机子空 间法识别出的频率、 阻尼和振型的精度都非 常高。 特别是对于频域方法难于识别的阻尼 值，也能达到较高的精度，有很重要的应用 价值，值得应用推广。但其不足之处是由于 只有响应信号， 所以无法对各阶模态的质量 和刚度进行归一化处理。
[R1] [R2 ] [R ] [R ] 2 3 [Hp,q ] = M M [Rp ] [Rp+1]
[Rq ] L [Rq+1] = [O ][C ] p q O M L [Rp+q+1] L
1． 时域模态分析方法的基本原 理
随机子空间法（ 随机子空间法 （ SSI） 的原理 [1][2] 自由度为 n 的线性系统，其离散状态 空间方程表示如下： {xk+1}=[A] {xk}+{wk} {yk}=[C]{xk}+{vk} 式中，{xk}是 n 维状态向量，{yk}是 N 维输出向量， N 为响应点数， {wk} 和 {vk} 分别是均值为零的输入和输出白噪声，[A] 和[C]分别表示 n*n 阶状态矩阵和 N*n 阶输 出矩阵，系统的特性完全由特征矩阵[A]的 特征值和特征向量表示。特征矩阵[A]的特 征值分解如下： [A]=[Φ][Λ][Φ]-1 可用下 由Λ矩阵得到离散的特征值λr， 式求得系统的特征值μr：
图1
不是所有计算得到的模态频率都认 为是合适的，那样的话，n 阶的地方就一定 有 n/2 个模态，稳定图就无法看了。可从下 面几个方面对模态进行筛选。 从振型能量的 [6] 角度 ，以能量最大的振型为参照，振型能 量大于某个阈值的模态才认为是合理的。 从 模态阻尼的角度， 阻尼小于某个阈值的模态 才认为是合理的。从模态幅值相干值 (MAC)[3]的角度，模态幅值相干大于某个阈 值的模态才认为是合理的。 稳定图的好坏往往是体现时域模态 分析软件水平的关键。 一些快速算法，牺牲了幅值相干，是 不可取的。因为时域模态分析的时间，即使 很长，如 1、2 个小时，在整个模态试验过 程中，也只占很少一部分。而模态分析的精 度和可靠性，才是最关键的。 2.3 允许对模态频率和阻尼进行必要的综合 所谓对模态频率和阻尼进行综合， 及对 多组模态频率和阻尼， 筛掉一部分频率离散 性较大的模态， 对频率相近的模态踪合得出 一阶频率和阻尼。在 SSI 和 ERA 方法中， 如果通过保持参考测点不动， 分多组完成测 试，就会得到多组模态频率和阻尼，这时对 模态频率和阻尼进行综合是必须的， 用综合 得到的模态频率和阻尼提取出各组的振型， 再对参考测点进行振型归一， 即可得到整体 振型。PRONY 方法中，每个测点都可得到 一组频率和阻尼， 可选出一部分测点的分析 结果进行模态综合。
引言
近几年来， 基于环境激励的模态参数识 别方法越来越受到人们的重视。 如大型的桥 梁和建筑结构等， 环境激励往往是唯一有效 可行的激励方式。另外，工作状态下的模态 参 数 识 别 （ ODS ， Operation of Deflected System） ，也是目前的热门课题。以上两种 模态分析方法的共同特点， 都是只能测量响 应，激励未知，因此引出了时域模态分析这 一当前的热门课题[5]。 对于只有响应，激励未知的模态分析，
2．时域模态分析软件研发要点
2.1 允许对设置 Hankel 矩阵的阶数进行设 置。 计算工作量随着 Hankel 矩阵阶数增长， 成几何级数的增长。当矩阵较低，如 200*200，算完一张稳定图的时间可能不到 几分钟。当矩阵较高，如 1000*1000，算完 一张稳定图的时间可能要个把钟头。 模态阶 数较少、摸态不密集时，Hankel 矩阵阶数较 低，即可满足精度要求。模态阶数较多、摸 态密集时，Hankel 矩阵阶数要比较高，才可 满足精度要求。如经验不足，可先用低阶进 行试算，再逐渐提高矩阵的阶数，直到达到 理想结果。 2.2 完善的稳定图 稳定图用来确定状态方程的阶数， 阶数 太低，会造成模态丢失，太高会出现虚假模 态。 通过稳定图可以找到合适的阶数。 稳定图由两部分组成，如图 1 所示。 第一部分是频谱， 纵向以对数等高的方式显 示，横向频率以线性方式显示，在谱峰对应 的竖向位置，应当出现一排特征频率。第二 部分小叉叉是对应不同阶数计算模型得到
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自由度为 n 的线性系统，其离散状态 空间方程表示如下： {xk+1}=[A] {xk}+{wk} {yk+1}=[C]{xk+1} 式中，{xk}是 n 维状态向量，N 为响应 点数，{wk}是均值为零的输入白噪声，[A] 和[C]分别表示 n*n 阶状态矩阵和 N*n 阶输 出矩阵，系统的特性完全由特征矩阵[A]的 特征值和特征向量表示。 其拟合过程类似于 SSI ，所不同的是 Hankle 矩阵是由脉冲响应函数或自由响应 信号得到。脉冲响应函数可通过传递函数 的逆变换得到，自由响应信号可通过随机 减量法得到。 通过脉冲响应函数进行特征值实现算 法，除得到模态频率、阻尼和振型外，也 可得到模态质量和刚度。当模态频率较密 集，频域法识别有难度时，将传递函数逆 变换得到脉冲响应函数，用 ERA 方法进行 识别，可得到更为令人满意的结果。 通过随机减量法得到自由响应信号， 使用特征系统实现算法，其结果往往没有 SSI 的结果理想， 这是因为 SSI 方法中考虑 了输出噪声而 ERA 方法中没有考虑。建议 大家今后少用或不用随机减量法，凡是想 用随机减量法的地方，都改用 SSI 方法为 佳。
时域模态分析方法的研究及软件研发
刘进明 应怀樵 沈松 刘文峰 (东方振动和噪声技术研究所，北京，100085)
摘要 :时域模态分析方法是当前国内外热门的课题。本文对主要的几种时域模态分析方法进行了研究 总结。指出了时域模态分析方法的特点和存在的问题，并指出了编程中的一些要点，以及在使用时域模 态分析方法时的一些要领，同时给出了时域法和频域法的对比以及仿真计算结果。如果时域模态分析方 法的软件设计合理，使用得当，就能得到可靠的分析结果；使得时域模态分析方法不需要已知激励力、 能同时识别多阶很密集的模态等优点充分展示出来。 关键词： 关键词 ： 时域模态、特征系统实现算法、随机子空间法、复指数方法 中图分类号： 中图分类号 ： O324;O329.1;TH113.1
[4] 复指数法（ 复指数法（Prony）的原理 对每个响应信号建立 AR 自回归模型， 可建立系统的特征方程 根据自回归系数 ai ，
识别出每阶模态的留数，由此得到模态振 型。 复指数法不是整体拟合法， 无论取那一 测点，其总体的精度一般不如 SSI 方法。其 优点是可挑选部分响应点来综合得到模态 的频率和阻尼。当频率和阻尼求出后，再确 定各阶振型。 对于只有响应没有输入的情况， 即响应 模态分析，用特征值实现算法、随机子空间 法和复指数法都可进行模态分析， 特征系统 实现算法需要先用随机减量法准备自由衰 减函数。建议用随机子空间法为主，其余两 种方法可用作校核， 判断有无虚假模态和是 否丢失重要模态。
1
各阶的频率范围。第二是不怕密集模态。 时域模态分析也有其自身的一些缺陷， 如需要用户确定 Hankel 矩阵的阶数，需要 用户确定特征矩阵阶数， 容易漏掉模态或产 生虚假模态和计算量较大等。 通过合理的软 件设计，加上使用者掌握了使用要令，以上 缺陷是不难刻服的。
用 [Rk] 相关矩阵建立 p 行和 q 列的 Hankel 矩阵,(p≥q)如下:
我们首先假设激励为白噪声， 由此可推导出 模态分析的方法。目前，理论比较完善，实 践证明效果较好的方法， 第一是随机子空间 法（SSI） ，其次是特征系统实现算法(ERA)。 两者都属于时域模态分析的方法。 复指数法 （PRONY）也是时域模态分析方法中的一 种，可作为一种补充方法，用来校验前两种 分析方法的结果。 即使激励已知，将传递函数通过 FFT 逆变换得到脉冲响应函数， 用特征系统实现 算法 （ERA） 进行模态分析， 也有其优越性。 第一是能自动识别所有模态， 不用人工设定
Method Research and Software Developing of Time Domain Modal Analysis