1.3.2函数的奇偶性(课件稿)
1.3.2奇偶性
解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为 （-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = -5x = -f(x)
所以函数f(x)=5x为奇函数.
(2)f(x) = (x -1)2 .
（2）对于函数 f(x) = (x -1)2的定义域为:
（-∞，+ ∞ ）
2、两个性质：
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
3.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称， 然后在找f(x)与f(-x)间的关系． 4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规 律： 奇+奇=奇 偶+偶=偶
奇X奇=偶
偶X偶=偶
-2 -1
3 2 1
-2 -1
o1 2 3
2
o1 2 3
f(x) = x
f(x) = x
相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？
x
-3
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
f(x)=x2 9
x
-3
-2 2
-1 1
0 0
1 1
2 2
3 3
f(x) = x 3
从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？ 由此得到f(-x)=(-x)2=x2 ，即f(-x)=f(x) 由此得到 f(-x) = -x = f(x) ，即f(-x)=f(x) 即相应两个函数值相同 对于R内任意的一个x，都有f(-x)=(-x)2=x2 =f(x)，这时我们称函数f(x)=x2 为偶函数.
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
人教版高一数学必修一函数的奇偶性课件PPT
总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地 挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个 课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有 一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高 效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。 那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的 状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间 被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知 道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领 先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）
确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相反
思考6:函数
是奇函数吗？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
1.3.2 函数的奇偶性
1.3.2函数的奇偶性 教学目标：理解函数的奇偶性 教学重点：函数奇偶性的概念和判定 教学过程： 1、通过对函数xy 1=，2x y =的分析，引出函数奇偶性的定义 2、函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；（3）)()()(x f x f x f ⇔=-是偶函数，)()()(x f x f x f ⇔-=-是奇函数；（4）0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ,0)()()()(=-+⇔-=-x f x f x f x f ；（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3、判断下列命题是否正确(1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。
如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。
一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如,，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。
（3）是任意函数，那么与都是偶函数。
此命题错误。
一方面，对于函数， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。
如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。
（4）函数是偶函数，函数是奇函数。
此命题正确。
由函数奇偶性易证。
（5）已知函数是奇函数，且有定义，则。
此命题正确。
由奇函数的定义易证。
（6）已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。
《函数的奇偶性》函数 PPT教学课件
解:(1)∵由
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
(4)设 f(x)=(x-2)
∵由
+2
-2
≥ 0,
思维辨析
当堂检测
+2
.
-2
得 x≤-2 或 x>2,
-2 ≠ 0,
∴函数的定义域为(-∞,-2]∪(2,+∞),
不关于原点对称.
∴f(x)=(x-2)
+2
既不是奇函数也不是偶函数.
课前篇
自主预习
一
二
3.做一做
(1)下列函数是偶函,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函数中,既是奇函数又是减函数的为(
A.y=x-1
B.y=3x2
1
C.y=2
答案:D
D.y=-x|x|
)
课前篇
探究三
思维辨析
当堂检测
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4;当
x∈(0,+∞)时,f(x)=
.
解析:方法一:由于是填空题,故可采用直接代换法,将x用-x代替,
D.f(x)=x2+x4
答案:AD
当堂检测
)
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
2.有下列说法:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②若y=f(x)是奇函数,则由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R;
第一章 1.3.2 第1课时 奇偶性的概念【教师版】本
第一章 1.3.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上.(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1.奇(偶)函数的定义域关于原点对称.2.重要性质(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性.(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.(√)2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.(×)3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.(×)4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.(√)题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝1x； (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )， ∴f (x )＝1x是奇函数. (2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数.(3)f (x )＝x x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝x x －1既不是奇函数，也不是偶函数. (4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}.∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数.反思感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，－x 也一定属于定义域.其次验证f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )是否成立.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0. 解 (1)函数f (x )的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )＝x 是非奇非偶函数.(2)f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称.f (－x )＝1－x 2－x＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.(3)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数.题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A.13B.98C.1D.无法确定 (2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.答案 (1)B (2)7解析 (1)由题意可知2b －5＋2b －3＝0，即b ＝2.又f (x )是奇函数，故f (－x )＋f (x )＝0，所以2ax 2＋2c ＝0对任意x 都成立，则a ＝c ＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝18＋2×12＝18＋1＝98. (2)令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )是奇函数，∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2，又f (－3)＝－3，∴g (3)＝5.又f (3)＝g (3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7.延伸探究1.本例(1)的条件改为“f (x )＝ax 2＋bx ＋b ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数”，求f ⎝⎛⎭⎫12的值.解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0，∴a ＝13，b ＝0， ∴f (x )＝13x 2＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝112＋1＝1312. 2.把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值.解 令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，易知g (x )为奇函数，∴f (d )＝g (d )＋2＝10，即g (d )＝8.所以f (－d )＝g (－d )＋2＝－g (d )＋2＝－8＋2＝－6.反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数.(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )(f (x )为奇函数)或f (－x )＝f (x )(f (x )为偶函数)列式，比较系数即可求解.跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.答案 1解析当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2＋x，即ax2＋x＝x2＋x，∴a＝1.题型三奇、偶函数图象的应用例3定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图.(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题.解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性. 跟踪训练3已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出函数f(x)在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).1.下列函数是偶函数的是( )A.y ＝xB.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1,1]答案 B2.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称 答案 C解析 ∵f (x )＝1x－x 是奇函数， ∴f (x )＝1x－x 的图象关于原点对称. 3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )考点 函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解答案 B4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案 5解析函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等.∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.5.若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________.考点函数奇偶性的应用题点由二次函数为偶函数求参数值答案 2解析∵f(x)为偶函数，∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1.下列函数中奇函数的个数为( )①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x 2. A.1 B.2 C.3 D.4答案 C2.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(2，－3)答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上，∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上.3.设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x ).4.f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A.f (－x )＋f (x )＝0B.f (－x )－f (x )＝－2f (x )C.f (－x )·f (x )≤0D.f (x )f (－x )＝－1 考点 函数的奇偶性概念题点 函数奇偶性概念的理解答案 D解析 由于f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，①由此可推出A，B，C正确，由于f(－x)可能为0，由①不能推出D.5.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A.－3B.－1C.1D.3考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数值答案 A解析∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.6.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A.f(x)＋|g(x)|是偶函数B.f(x)－|g(x)|是奇函数C.|f(x)|＋g(x)是偶函数D.|f(x)|－g(x)是奇函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断抽象函数的奇偶性答案 A解析由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数.7.若f(x)＝a－22x＋1是定义在R上的奇函数，则a的值为() A.0 B.－1 C.1 D.2答案 C解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0即f(0)＝a－220＋1＝0，∴a＝1.8.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为()A.－2B.2C.1D.0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2. 二、填空题9.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.10.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________.答案 12解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12. 11.函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c x＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________. 答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋c x， ∵g (－x )＝－ax 3－bx －c x＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5]＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3，又g (3)＝f (3)－5＝3，∴f (3)＝8.三、解答题12.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 考点 函数的奇偶性判定与证明题点 判断简单函数的奇偶性解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数.(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数.13.(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象.易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f(1)>f(3).14.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 考点 函数图象的对称性题点 中心对称问题答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数， 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 15.函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明.解 (1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数，证明如下：由题意知，f (x )定义域关于原点对称.令x 1＝x 2＝－1，有f ((－1)×(－1))＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x ).所以f (x )为偶函数.。
第一章 1.3 1.3.2 奇偶性
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[活学活用] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； x2＋x＋4 ，x>0， x (2)f(x)＝ 2 x －x＋4 ，x<0. － x 解：(1)函数 f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定义域为 R.
因为对于任意的 x∈R， 都有 f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x －2|＝f(x)， 所以函数 f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函数．
特征
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[化解疑难] 理解函数的奇偶性应关注四点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质， 而奇偶性是函数的 “整体”性质，只有对其定义域内的每一个 x，都有 f(－x)＝－ f(x)(或 f(－x)＝f(x))，才能说 f(x)是奇(偶)函数． (2)函数 y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件： 定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点 对称， 则这个函数一定不具有奇偶性． 例如， 函数 y＝x2 在区间(－ ∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．
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[导入新知]
偶函数
奇函数
一般地，如果对于函数f(x) 一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内任意一个x， 的定义域内任意一个x， f(－x)＝－f(x) ，那
定义
都有
f(－x)＝f(x)
，那么 都有
函数f(x)就叫做偶函数
么函数f(x)就叫做奇函数
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偶函数 定义域
奇函数
关于 原点 对称
图象
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(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当 x>0 时，－x<0，则 －x2－－x＋4 x2＋x＋4 f(－x)＝－ ＝ ＝f(x)； x －x 当 x<0 时，－x>0，则 －x2＋－x＋4 x2－x＋4 f(－x)＝ ＝－ ＝f(x)． x －x x2＋x＋4 ，x>0， x 综上可知，函数 f(x)＝ 2 x －x＋4 ，x<0 － x
§1.3.2 函数的奇偶性
§1.3.2 奇偶性审核：高一数学组 编号013 时间：2018.10理解函数的奇偶性及其几何意义；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. P 33~ P 36，找出疑惑之处）点(x 0，y 0)关于原点的对称点为(－x 0，－y 0)，关于y 轴的对称点为(－x 0，y 0). 复习1：指出下列函数的单调区间及单调性. （1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f(x)＝x 、f(x)＝x 2、f(x)＝x 3、f(x)＝x 4，分别比较f(x)与f(－x).二、新课导学※ 学习探究：探究任务：奇函数、偶函数的概念 思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称. 试试：已知函数21()f xx =在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题：例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x = （3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x . 小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f(x)＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f(x)＝x ＋1x； （3）f(x)＝21xx+； （4）f(x)＝x 2, x ∈[-2,3]. 例1、判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x 4； （2）f(x)=x 5； （3）f(x)=x+x1； （4）f(x)=21x. （5）f(x) = x 2，x ∈[–1，3]； （6）f(x) = 0. 活动：利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 解：（1）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)4=x 4=f(x)，偶函数.（2）函数的定义域是R ，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=(-x)5=-x 5=-f(x), 奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-x+x -1=-(x+x 1)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=)(12x -=21x =f(x)，所以函数f(x)= 21x 是偶函数.（5）非奇非偶函数， （6）既奇又偶函数。
函数奇偶性的性质PPT教学课件
问题提出
1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？
2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？
3.函数的奇偶性有那些基本性质？
知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 函数？若存在，这样的函数有何特征？
f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 情形？
2. 食物的酸碱性并非味觉上的感受。味觉上 感受到酸味的物质，不一定是酸性食物。
酸性食物： 在人体内，其最终 代谢产物是酸性物 质的食物
酸性食物
碱性食物： 在人体内，其最终 代谢产物是碱性物 质的食物
碱性食物
碱性食物
• 常见食物的酸碱性 1.强酸性食品：蛋黄、乳酪、白糖做的西点或柿 子、乌鱼子等。
食物的组成成分在人体内代谢后生成 碱性物质，使体液呈弱碱性。这类食物在 生理上称为成碱性食物，习惯上称为碱性 食物。
（如某些蔬菜、水果多含钾、钠、钙、 镁等盐类，多属于碱性食物。）
1. 食物的酸碱性与化学上所指的溶液的酸碱 性是不同的概念。食物的酸碱性指的是代 谢产物的性质，而溶液的酸碱性直接指溶 液的性质。
件是什么？
b=0
理论迁移
例1 已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，
f (x) x2 3x
,求x 当0 时f(x)的解析
式.
f (x) x2 3x(x 0)
例2 设函数 f (x) 2x2 mx 3，已知 f (x 1) 是 偶函数，求实数m的值.
m=-3
例3 已知f(x)是定义在R上的函数，且对任意
人体细胞的酸碱平衡：
• CO2+H2O
H2CO3
OHH+
1.3.2函数的奇偶性(1)
课题：§1.3.2函数的奇偶性（1）教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性．教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．教学过程：一、 新课教学（一）函数的奇偶性定义1．偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．（三）典型例题1．判断函数的奇偶性例1．1、判断下列函数是否具有奇偶性。
（1）3()4f x x x =+ （2）x x x f 2)(2+= （3）1)(=x f （4）11)(-+-=x x x f（5）()f x = （6）x x x x f -+-=11)1()( 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系；○3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例2．判断函数y =解：（略）说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．2．利用函数的奇偶性求解析式例2已知)(x f 函数为偶函数，且当0<x 时，1)(+=x x f ，则0>x ，)(x f 的解析式。
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1.3.2函数的奇偶性
(一)导入新课：
？？？？？图形
(二)新知探究：
？？？
1、从对称的角度，观察以上（1）（2）（3）这三个函数的
图象，有什么共同特征吗？观察（4）（5）这两个函数的图像，
又有什么共同的特征？
答：（1）（2）（3）这三个函数的图象都关于y轴对称；（4）
（5）这两个函数的图像关于原点对称。
2、观察（1）（2）（3）（4）（5）这五个函数的图像，你能
发现它们的定义域有什么共同的特征？
答：这五个函数的定义域都是关于原点对称。
3、图（6）这个函数的图像关于y轴对称吗？关于原点对
称吗？所对应的函数定义域关于原点对称吗？
答：这个函数的图像不关于y轴对称，也不关于原点对称，
所对应的函数定义域也不关于原点对称。
由图像归纳总结：（1）图象关于y轴对称的函数为偶函数
（2）图象关于原点对称的函数为奇函数。
（3）奇函数和偶函数的定义域都是关于原点对
称。
4偶函数的定义是什么？
答：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(－x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
6、奇函数的定义是什么？
一般地，对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－
x)=－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
△注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，
函数的奇偶性是函数的整体性质，（2）函数具有奇偶性的一个
必要条件是：定义域关于原点对称；（3）具有奇偶性的函数的
图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y
轴对称
例1：判断函数f(x)= x3的奇偶性。
例1归纳：判断函数的奇偶性通常有两种方法：
(1)定义法：步骤：a、首先确定函数的定义域，并判断其定
义域是否关于原点对称；
b、确定f(－x)与f(x)的关系；
c、作出相应结论。
(2)图象法：图象关于y轴对称的函数为偶函数，图象关于
原点对称的函数为奇函数。
练习1、判断下列函数的奇偶性：
⑴f(x)=x+x1 ⑵f(x)=21x ⑶f(x)=0 ⑷y=x+1 ⑸f(x)=x+x
（6）f(x)=5
练习1归纳：函数根据奇偶性可分为：①奇函数②偶函数
③既是奇函数又是偶函数④非奇非偶
例2：？？？
练习2设函数y= f(x) 是奇函数，若f(－2)+f(－1)－
3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=________。
课堂小结：
1、两个定义：对于y=f(x)定义域内的任意一个x，
如果都有f(－x)=－f(x)〈=〉f(x)为奇函数
如果都有f(－x)= f(x)〈=〉f(x)为偶函数。
2、两个性质：
一个函数为奇函数〈=〉它的图象关于原点对称。
一个函数为偶函数〈=〉它的图象关于y轴对称。
3、判断函数奇偶性的两种方法：①定义法②图象法
思考题：
1、判断函数g(x)= 的奇偶性。
2、设f(x)在R上是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1－x)
试问：当X＜0时，f(x)的表达式是什么？
作业：P36 练习：1、2，习题1.3:A组6，B组3。
2
1
X2+1(X＞0)
－21X2－1(X＜0)