曲线拟合方法浅析
数据处理与曲线拟合的技巧与方法
数据处理与曲线拟合的技巧与方法在科学研究和工程应用中，数据处理和曲线拟合是非常重要的一环。
正确地处理数据并通过曲线拟合方法得到准确的拟合曲线，对于研究和预测数据的规律具有重要意义。
本文将介绍数据处理和曲线拟合的一些技巧与方法，以帮助读者更好地应用于实践中。
一、数据处理技巧1. 数据的清洗和去噪在进行数据处理之前，首先需要对原始数据进行清洗和去噪操作。
这包括去除异常值、缺失值以及噪声干扰。
可以使用各种统计方法和数据处理算法进行清洗和去噪，如平均值滤波、中值滤波、小波滤波等。
2. 数据的归一化对于不同量纲的数据，为了消除量纲差异对分析结果造成的影响，需要对数据进行归一化处理。
常用的归一化方法包括最小-最大归一化和Z-score归一化。
最小-最大归一化将数据线性映射到[0, 1]的范围内，Z-score归一化则将数据映射到均值为0，标准差为1的正态分布。
3. 数据的平滑和滤波对于采样数据，由于受到采样精度和测量噪声的影响，数据可能会出现抖动或者波动现象。
为了提高数据的光滑性，可以使用数据平滑和滤波技术，如移动平均滤波、加权移动平均滤波、卡尔曼滤波等。
二、曲线拟合方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种经典的曲线拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的误差平方和来确定拟合曲线的参数。
最小二乘法适用于线性拟合问题，可以通过求解正规方程或者使用矩阵运算的方法得到拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法对于非线性拟合问题，可以使用非线性最小二乘法进行曲线拟合。
非线性最小二乘法通过迭代优化的方式，逐步调整拟合曲线的参数，使得实际观测值与拟合曲线之间的误差平方和最小化。
常用的非线性最小二乘法包括高斯-牛顿法和Levenberg-Marquardt算法。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段多项式的曲线拟合方法。
它通过构造分段多项式曲线，使得曲线在各个插值节点处满足一定的条件，如连续性、光滑性等。
样条插值适用于数据点较密集、曲线变化较剧烈的情况。
mathcad曲线拟合
mathcad曲线拟合曲线拟合是指通过一些已知数据点，找到在数据点集上近似逼近的一条曲线。
在许多实际问题中，我们常常需要通过一组离散的数据来确定系统的行为规律。
曲线拟合提供了一种以数学模型近似描述或预测数据的方法，具有广泛的应用领域。
Mathcad是一款强大的数学计算软件，可用于曲线拟合问题。
Mathcad提供了诸多曲线拟合的方法和工具，常用的方法包括最小二乘法、多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
在曲线拟合中，最常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法是通过最小化残差平方和来确定最佳拟合曲线的优化方法。
在Mathcad中，使用最小二乘法进行曲线拟合可以通过数值计算工具箱中的“拟合曲线”功能实现。
这个功能提供了一系列曲线拟合方法，例如多项式拟合、有理函数拟合、傅里叶级数拟合等等。
为了说明曲线拟合的使用，我们可以考虑一个简单的例子。
假设我们有一组离散的数据点，我们希望通过曲线拟合来找到一个函数，能够近似描述这些数据点的分布规律。
我们首先在Mathcad中导入这些数据点，然后利用最小二乘法进行曲线拟合。
假设我们的数据点是（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），......，（xn，yn），其中x和y是变量。
我们可以使用Mathcad的拟合曲线功能，选择一个适当的曲线拟合方法，例如多项式拟合。
对于多项式拟合，我们需要选择多项式的阶数，例如2阶，3阶或者更高阶。
Mathcad中的拟合曲线功能会自动计算出最佳拟合曲线的参数，使得拟合曲线和原始数据点的残差平方和最小。
我们可以通过拟合曲线的参数来获得拟合曲线的方程，从而可以进行进一步的分析和预测。
曲线拟合不仅仅局限于多项式拟合，还可以使用其他拟合方法进行精确拟合。
例如，指数函数拟合适用于需要分析指数增长或衰减行为的数据。
对数函数拟合则适用于处理呈现对数增长或对数衰减行为的数据。
此外，Mathcad还提供了其他拟合方法，例如多项式拟合、样条插值、非线性拟合等。
三种曲线拟合方法的精度分析
三种曲线拟合方法的精度分析L,曲线拟合是皂丝圈宁的曲线光滑方法它根据给定的离散点?建立一个适当的解析式,使所表示的连续曲线反映和逼近已知点构成的特征多边形.地形图上的曲线具有多种类型.例如境界,道路,等高线和水网线等.这些曲线图形多数是多值函数,呈现出大挠度,连续拐弯的图形特征.在传统的测绘工作中,各种曲线是根据实测点位由人工联接勾绘而成.随着测绘自动化及数字化技术的不断发展,野外地面测量仪器中的经纬仪.已被全站仪逐渐取代.而在平板仪上进行的地形图清绘整饰工作,则可在微机上借助交互式图形技术完成.这一进步不仅可增加工作效率,缩短生产周期,减低劳动强度,也提高了图形质量.野外实测数据确定的特征多边形,需在计算机图形编辑中采用一定的曲线线跫对其作曲线拟合.本文对三种曲线拟台线型——圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线的理论拟台精度展开讨论.并在实验中得到验证.l三种曲线拟合方法1.1圆曲线平面上三点;(?,y1),B(?.),(南,ya)}其圆弧方程++/)X+Ey+F=0.过上述三点作圆弧(图1).当I丑yl1f?的顶点.二次B样条的一阶导数为:小l.B.且Bo?t?l0?t?1其端点性质如下:P(o)一?(Bo4-且)}P(1)=告(B】+岛);(0)一BI一&}(1)=岛一B}P(专)吉&+}且+吉岛=1{吉[P(o)+P(1)]+蜀};(音)一{(岛一Bo)一P(1),P(0)以上性质说明二次B样条曲线的起点P(0)在B特征多边形第一边的中点处,且其切向量且一&即为第一边的走向;终点P(1)在第二边的中点处,且其切向量B:一B为第二边的走向.而且P(1/Z)正是凸P(O)昌P(1)的中线B,M的中点,在P(1/2)处的切线平行于P(O)P(1)(图2).图2二次B样条拟台特征多边形上海蚨道大学第17告1.3三次B样条曲线三次B样条的分段函数式为..c一霎c一-,d一c+一一,,c一=s,z=.,,z,s 三次B样条曲线的矩阵为:3P()=?.3(f)BL=J一口其一阶导数为:[产1]?百1?(t)一[产t1]?告?一l3—3l3—630,30301410一l3—3l2—42O一10l0昂目岛鼠鼠且岛且0?t?10?t?l三次B样条曲线的端点性质如下:P(0)=音(岛+4且+岛)一{(堡{)+号且}P(1)=吉(且+4B+鼠)={(鱼{)+导局;(0)一百1(岛一Bo);(1):I(B一Bi)以上性质说明:三次B样条曲线起点P(0)落在反目B的中线/3.研上距/3的三分之一处,该点的切向量(0)平行于厶‰矗岛的底边/3.Bz,长度为其一半;终点P(1)处的情况与此相对应(见图3).if一}图3三次B拌条拟合特征多边形2三种拟合曲线的比较2+l圆曲线与二次B样条曲线的比较取平面上三点/3-,马…/3井分两种情况进行比较一一一第3期许恺.三神曲拽拟音方法的情虚分析(1)当瓦=瓦瓦时(见图4),过岛,B,岛作圆曲线岛Q最岛,其与特征多边形有两处偏离值最大,即QR与c,,且QR=UV.而二次B样条曲线RTU与特征多边形有一处偏离值最大,即B?则.0??,,7j,一—,/I//,?L—r/.s图4圈曲线与二趺B样条比较(1)QR=s蜀T={(2r?si譬)式中,为圆弧半径l0为弦届置所对圆心角l2,6为弦BoBz所对圆心角.由此即可知.器=>1(>0)(2)鼠晶?蜀岛时,随着岛蜀与蜀岛的差值加大,QR也加大,而B,T值是一定值(见图5).由此可得出二次B样条曲线拟合优于圆曲线拟合的结论.j,一0/..7.一\,}l一?I1形图等高线上选定点位组成特征多边形.分别用圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线对等高线特征多边形进行曲线拟合,测出拟合曲线与特征多边形的偏离值.共50个观测值,对测中误差为0.05rnm,取偏离值的平均值列于附表.附裹兰莫拟台曲线平均偏差比较裹哪由上分析可得出如下结论:1?圆曲线拟合特征多边形时,其偏差值要太于=次B样条曲线的拟合偏差.特征多边形相邻两边的长度相差越大.上述两种曲线拟合偏差之差越大.2一二次B样条曲线的拟合误差是三次B样条曲线拟合误差的四分之三.3一对特征多边形作曲线拟合时,在圆曲线.二次B样条,三次B佯条中使用二次B样条参考文献1盒延赞.计算机图形学.杭州t浙江大学出版杜.1988165,1672许隆文.计算机绘图.北京机槭工业出版杜.1989,334,3383孙家广.扬长贵.计算机图形学.北京清华大学出版杜.1994:288,2g0AnalysisofAccuracyofThreeCurve—FittingMethodsXHKdi(Dept?ofCivilE.ShanghaiTiedaoUniv)..Abst喇{reecurve—fittigmethodsareanalyzedandcornpared.ThequadraticBph”re岛ekcted.heopjmlJmcurvefittingforimp?Vingmapaccuracyoftopo graghicaldrawing?andthey8reverifiedbexperiments.dsltopographicmap,eurve—fittig,fittingaccuraey,BsDlines。
jmp 曲线拟合
jmp 曲线拟合jmp曲线是一种描述数据分布的曲线，它可以帮助我们更好地理解数据的特点和规律。
在jmp曲线的拟合过程中，我们需要选择合适的拟合方法，并根据拟合结果进行分析和应用。
本文将介绍jmp曲线的概念、特点、拟合方法以及拟合结果的分析与应用。
一、jmp曲线的概念和特点jmp曲线是一种描述数据分布的曲线，它反映了数据中各变量之间的关系和变化趋势。
jmp曲线的特点包括：1. 直观性：jmp曲线能够直观地展示数据分布的特点和规律，有助于我们更好地理解数据。
2. 适用性：jmp曲线适用于各种类型的数据分布，如正态分布、泊松分布等。
3. 适用范围：jmp曲线适用于数据处理和分析的各个领域，如统计学、医学、工程学等。
二、jmp曲线的拟合方法在jmp曲线的拟合过程中，我们需要选择合适的拟合方法。
常用的拟合方法包括线性回归、非线性回归、多项式拟合等。
具体步骤如下：1. 数据清洗：对数据进行清洗，去除异常值和缺失值。
2. 确定拟合类型：根据数据的分布特点和规律，选择合适的拟合类型。
3. 拟合参数估计：根据拟合类型，选择合适的参数估计方法，如最小二乘法、最大似然估计等。
4. 模型检验和优化：对拟合结果进行检验和优化，确保拟合结果准确可靠。
拟合结果的分析与应用包括以下方面：1. 模型验证：通过相关性和回归分析等方法，验证拟合模型的可靠性和准确性。
2. 预测分析：根据拟合模型，对未来数据进行预测和分析，为决策提供支持。
3. 异常值处理：对异常值进行分析和处理，确保数据的一致性和可靠性。
4. 交叉验证：通过交叉验证等方法，评估模型的稳定性和泛化能力。
5. 应用领域拓展：将拟合结果应用于各个领域，如医学、工程学、经济学等，为相关领域的研究和发展提供支持。
三、jmp曲线拟合的应用案例以某医院住院病人数据分析为例，说明jmp曲线拟合的应用。
该医院收集了近几年的住院病人数据，包括年龄、性别、病情等。
通过对这些数据进行分析，我们可以使用jmp曲线拟合的方法来描述住院病人的分布情况。
非线性回归分析与曲线拟合方法
非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。
这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。
一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。
在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。
多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。
2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。
指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。
3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。
对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。
4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。
S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。
三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。
在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。
3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。
常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。
四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。
曲线拟合方法在机器学习中的应用研究
曲线拟合方法在机器学习中的应用研究机器学习作为人工智能的一个重要分支，在许多领域中都有着广泛的应用。
为了构建准确的预测模型，曲线拟合方法被广泛应用于机器学习中。
本文将探讨曲线拟合方法在机器学习中的应用研究。
1. 简介机器学习是通过训练算法，使计算机能够自动地从数据中学习并做出预测或决策的技术。
然而，在实际问题中，数据往往是呈现出某种模式的曲线。
为了更好地理解数据和构建预测模型，我们需要对这些曲线进行拟合。
2. 曲线拟合方法曲线拟合是通过拟合曲线模型来逼近已知数据的过程。
常见的曲线拟合方法包括多项式拟合、最小二乘法、样条插值等。
这些方法都可以用于在机器学习中构建预测模型。
2.1 多项式拟合多项式拟合是一种将数据拟合成多项式函数的方法。
通过选择合适的多项式阶数，我们可以逼近数据曲线，使得预测模型更加准确。
然而，多项式拟合往往容易过拟合，需要通过交叉验证等方法来解决。
2.2 最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法。
它可以拟合各种类型的曲线，包括线性和非线性曲线。
最小二乘法在机器学习中广泛应用于线性回归、岭回归等模型的训练和预测。
2.3 样条插值样条插值是一种通过使用一组插值函数来逼近已知数据的方法。
它将曲线分段拟合，每个段使用一个插值函数来逼近数据。
样条插值在机器学习中常用于平滑曲线的拟合，具有较好的稳定性和精度。
3. 曲线拟合在机器学习中的应用曲线拟合在机器学习中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1 图像处理图像处理中常常需要对曲线进行拟合，以提取其中的信息。
例如，人脸识别算法中通过对脸部轮廓进行曲线拟合，可以提取关键特征点，从而实现精确的人脸识别。
3.2 金融预测曲线拟合在金融预测中也有着重要的应用。
通过对历史股价曲线进行拟合，可以构建出精确的股价预测模型，帮助投资者做出准确的决策。
3.3 数据分析在数据分析中，曲线拟合可以用于处理不完整或嘈杂的数据。
通过拟合数据曲线，可以填补空缺的数据，更好地理解数据之间的关系，从而做出更准确的数据分析结果。
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
曲线拟合评价方法
曲线拟合评价方法
曲线拟合评价方法是用于评估拟合曲线与实际数据之间的拟合程度的一种方法。
在数学、统计学、数据分析等领域，曲线拟合是一项常见且重要的任务，它可以帮助我们建立模型、预测结果和揭示数据背后的规律。
常用的曲线拟合评价方法有以下几种：
1. 均方差（Mean Squared Error，简称MSE）：均方差是一种常用的评价指标，它衡量实际数据和拟合曲线之间的差异程度。
计算方法是将实际数据点与拟合曲线上对应点的误差平方后求平均值。
2. 相对均方差（Relative Mean Squared Error，简称RMSE）：相对均方差是均
方差的一种改进方法，它考虑了实际数据的量纲和范围。
相对均方差可以将不同数量级的数据进行比较，并给出更直观的评价结果。
3. 决定系数（Coefficient of Determination，简称R²）：决定系数是评估拟合曲
线对实际数据变异性解释程度的一种指标。
它的取值范围在0到1之间，越接近1
表示拟合程度越好。
决定系数可以帮助我们判断拟合曲线是否能够很好地描述实际数据的变化趋势。
4. 皮尔逊相关系数（Pearson's correlation coefficient，简称PCC）：皮尔逊相关
系数是衡量两个变量之间线性关系强度和方向的一种方法。
在曲线拟合评价中，我们可以计算实际数据与拟合曲线之间的皮尔逊相关系数，以评估它们之间的相关性。
以上是一些常用的曲线拟合评价方法，不同的方法适用于不同的场景和数据类型。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行评估，并综合考虑多个评价指标，以得出全面的结论。
曲线拟合法
曲线拟合法
曲线拟合法是一种用于根据离散数据拟合出函数模型的方法，可以用来估计未知数据.是统计分析中经常使用的一种数学方法，它可以用来实现从数据中获取信息的目的。
曲线拟合的最常用的方法是最小二乘法，它的主要思想是将最小的均方误差捆绑到拟合的曲线上，使得它可以更好地描述数据曲线。
曲线拟合是一个复杂的过程。
它的目的是将一系列离散点拟合成一个曲线，该曲线可以刻画数据点之间的关系。
它可以帮助研究者更好地理解数据，并对数据进行进一步研究。
首先，研究者需要确定拟合曲线的函数形式，例如多项式，指数或对数函数，接着将参数估计出来，这一步通常使用标准的最小二乘估计方法。
有时候，参数的估计可能会受到多种因素的影响，但对于拟合曲线的准确性来说，参数的估计是非常重要的。
此外，在最小二乘估计方法中，也需要考虑多元变量之间的关系，这要求研究者针对每一种可能的关系预估参数。
另外，有许多类型的拟合方法，不同的拟合方法适用于不同的数据集，比如，动态拟合法、矩阵法和多元拟合法，这些方法可以帮助研究者在拟合表达式中找到更准确的参数值。
总的来说，曲线拟合法是一种有效的数据模型，它可以根据离散数据拟合出函数模型，这有助于研究者更全面地理解数据，并能够预测出未知点的值，有效地估计出参数。
它在统计学中有着广泛的应用，这种方法对于提高数据分析的精度，预测未知变量，并更加准确地描
述数据曲线都有着重要意义。
玻尔兹曼曲线拟合
玻尔兹曼曲线拟合全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：玻尔兹曼曲线拟合是一种常用的数据拟合方法，广泛应用于物理、化学、生物等各个领域。
玻尔兹曼曲线拟合可以帮助研究人员找到数据中隐藏的规律性，从而更好地理解数据背后的物理、化学或生物机制。
本文将介绍玻尔兹曼曲线拟合的基本原理、方法和应用，并分享一些实际案例，希望读者能对这一拟合方法有更深入的了解。
一、玻尔兹曼曲线的基本原理玻尔兹曼曲线是一种S形曲线，通常用来描述某种变量随着另一种变量的变化而变化的关系。
在物理学和化学领域，玻尔兹曼曲线最常用来描述变量之间的非线性关系，例如温度对电导率、溶液浓度对吸光度等的影响。
y = A + \frac{B}{1 + e^{(x-x_0)/C}}y为因变量，x为自变量，A、B、x0、C为拟合参数。
A为曲线的上限，B为曲线的幅度，x0为曲线的中点，C为曲线的斜率。
通过调整这些参数，可以使拟合曲线更好地拟合实际数据。
玻尔兹曼曲线的拟合方法通常是通过最小二乘法来实现的。
最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，通过最小化残差的平方和来确定拟合曲线的参数。
在拟合玻尔兹曼曲线时，研究人员需要首先选定拟合的自变量和因变量，然后根据实验数据进行拟合，得到最优的拟合参数。
玻尔兹曼曲线的拟合过程通常分为以下几个步骤：1. 选择适当的自变量和因变量。
在拟合玻尔兹曼曲线时，需要首先确定哪种变量作为自变量，哪种变量作为因变量。
通常情况下，自变量为影响因变量变化的因素，因变量为受影响的结果。
2. 收集实验数据。
在确定了自变量和因变量后，研究人员需要进行实验或者采集数据，得到一组数据点用于拟合。
3. 利用最小二乘法进行拟合。
在得到实验数据后，研究人员可以利用最小二乘法对数据进行拟合，得到最优的拟合参数。
4. 分析拟合结果。
拟合完成后，研究人员需要对拟合结果进行分析，判断拟合曲线与实际数据的拟合程度，以及拟合参数的合理性。
玻尔兹曼曲线拟合在不同领域有着广泛的应用。
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曲线拟合方法概述
工业设计 张静 1014201056
引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。
现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
1 曲线拟合的概念
在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。
但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。
曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表
达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。
即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。
2 曲线拟合的方法
2.1最小二乘法
最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。
该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：
δ=∑-=n i y x f i i 02)
)((
对上式求导，使其等于0，则可以求出f(x)的系数a,b,c ，从而求解出拟合函数。
2.2 移动最小二乘法
移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概
念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数 从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
2.2.1 移动最小二乘法的拟合函数
设拟合函数为f(x)在求解域Ω内的n 个节点P i (i =1、2、3、……、n )，则：
f(x)=)()(1x x K i m i i ∑=α=)()(x x K T
α 式中，α(x)为待求系数；K(x ）为线性基函数。
一般令K(x)=[1,x,y]T ，m=3；求解过程可以参照文献[1]，从而可求α(x)，得到f(x)。
2.2.2 移动最小二乘法的算法流程
（1）将区域进行分段。
（2）对每个分段点进行循环：
① 确定网格点的影响区域大小；
② 确定包含在网格点的影响区域内的节点；
③ 计算型函数；
④ 计算网格点的节点值。
（3）连接网格点形成拟合曲线。
2.3 NURBS 三次曲线拟合
NURBS 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代图 形 学 的 基 础 ，因此NURBS 曲 线 拟 合 有 着 重 要 的 实 际 意 义。
NURBS 曲线的数学模型和数学方法可以参考文献[2]。
本文采用VC 技术，利用OpenGL 的NURBS 曲线拟合函数，即可得到曲线。
2.4基于RBF 的曲线拟合
RBF （Radial Basis Function ），径向神经网络是以径向基函数（RBF ）作为隐单元的“基”，构成隐含层空间，隐含层对输入矢量进行变换将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。
这是一种数学分析方法，具有较快的收敛速度 强大的抗噪和修复能力。
RBF 神经网络结构图如图1所示。
图1 RBF神经网络结构图
各算法流程如下：
最小二乘法通过建立二次函数进行拟合。
建立拟合函数f(x)=ax2+bx+c，求所有数据点与二次曲线的距离和最小的二次曲线，得到a,b,c，从而得到二次曲线图像。
移动最小二乘法的流程是：
(1)NURBS曲线拟合：
确定节点矢量，通过弦长累加来确定节点矢量。
在NURBS 曲线拟合时，设置最前4个节点矢量的值相同和最后4个节点矢量的值相同，那么拟合的曲线将通过给定型值点的第一个点和最后一个点。
由于OpenGL有现成的NURBS曲线拟合函数，借助VC进行编程，实现NURBS三次曲线拟合。
(2)基于RBF曲线拟合流程：
采用高斯函数作为RBF函数的核函数。
1）采用K- 均值法，确定聚类中心；2）按聚类中心分组；3）计算样本均值；4）重复2）、3），直到聚类中心不再变化；5）确定半径；6）调节输出层权。