1、曲线拟合及其应用综述
曲线拟合在数学建模中的应用
曲线拟合在数学建模中的应用曲线拟合是数学建模中广泛应用的一种方法。
它是将一组数据点与一个函数进行比较，以确定两者之间的差异最小化的过程。
通过这种方法，可以得到一个公式来拟合数据，并预测未知数据点的值。
以下是曲线拟合在数学建模中的应用。
一、数据分析曲线拟合在数据分析中应用广泛。
当有大量数据要分析时，拟合数据可以使分析过程更简单和更准确。
例如，当研究人员想要分析消费模式时，他们可以使用曲线拟合来绘制数据点的图形，并查看其中的趋势。
通过拟合数据，他们可以预测未来趋势，做出合适的决策。
二、模式预测曲线拟合也可以应用于模式预测。
通过对历史数据进行曲线拟合，可以预测未来的走势。
例如，当股票市场行情不稳定时，投资者可以使用曲线拟合来预测市场的走势。
他们可以通过拟合过去几年的数据来预测未来的股票价格，并购买或出售相应的股票。
三、信号处理曲线拟合还可以应用于信号处理领域。
当需要处理包含各种噪声的信号时，进行曲线拟合可以消除噪声，提高信号的质量。
例如，在声波信号处理中，曲线拟合可以消除噪声，使得信号更加清晰、准确。
四、工程应用曲线拟合在工程应用中也有广泛的应用。
例如，在机械工程中，预测轴承寿命需要对轴承运行过程中的振动数据进行分析和处理。
这时可以使用曲线拟合，对振动信号进行处理，以预测轴承的寿命。
曲线拟合是数学建模中的重要工具。
它可以用于数据分析、模式预测、信号处理以及工程应用等多个领域，帮助人们处理和分析大量数据，以提高决策的准确性和效率。
曲线拟合和数据分析的方法和应用
曲线拟合和数据分析的方法和应用数据分析在今天的社会中变得日益重要，它是一种广泛使用于各种领域的方法和技术。
曲线拟合是数据分析中一个非常重要的过程。
它的目的是寻找一个数学模型来描述已知数据的关系。
在此基础上，分析师们便能够做出精确的预测，并利用这些预测来制定采取行动的决策。
曲线拟合的意义曲线拟合通常用于解决如下几个问题。
第一，它能帮助分析师找到影响特定数据变量的因素。
举个例子，假设一家公司正在研究他们的销售数据，并希望找到销售量的变化趋势。
曲线拟合可以帮助分析师很轻易地找到这些趋势，通常会得到一条线或者其他函数类似的数学模型，描述销售量随着时间，季节等因素的变化趋势。
其次，曲线拟合可以用来预测未来值，这是非常有用的，可以使分析师作出更好的决策。
例如，一家零售商正在考虑增加产品种类。
通过曲线拟合，他们可以预测新产品的销售量，并评估是否值得加入。
常用的拟合方法常用的曲线拟合方法包括线性回归、多项式回归、非线性回归、指数回归等。
其中最基本的方法是线性回归。
线性回归是一种基于最小二乘法的统计分析方法，它可以用于确定两个变量之间的线性关系。
它的数学原理比较简单，但它通常是在初步探索数据时最先使用的拟合方法。
多项式回归是一种广泛使用的非线性拟合方法，它可以用于描述两个或多个变量之间的非线性关系。
相比于线性回归，多项式回归可以更准确地适应比较复杂的数据拟合任务。
非线性回归是一种更加复杂的回归方法，它可以用于描述不可线性的数据关系。
它常常被用于描述生物学、化学以及工程领域的数据。
应用实例曲线拟合的应用是非常广泛的。
在医学领域，曲线拟合可以用来描述药物治疗对患者身体健康的影响，便于医生做出更精确的诊断和治疗决策。
在环境监测中，曲线拟合可以用来预测二氧化碳浓度或其他污染物质量的数量，并进而制定相关的环境保护政策。
在金融分析中，曲线拟合可以用来预测股票或股票指数的价格，帮助投资者制定投资决策。
此外，在工业生产中，曲线拟合可以用于优化工艺参数，提高生产效率。
曲线拟合分析
曲线拟合分析
曲线拟合分析是数学统计中一种常用的非参数估计方法。
它用
于拟合一组多变量数据，以获得最佳拟合的函数，并且将其用来建立
一个数学模型以描述这组数据的规律。
曲线拟合分析的适用条件是，
数据不必是精确的函数关系，而且可以包含误差和噪声。
曲线拟合分析可以使用各种不同拟合函数，如线性函数、多项式
函数、指数函数、对数函数等。
具体的方法有多种，包括最小二乘法、最小中心加权平方法、最小均值方差变换方法等。
此外，还可以使用
优化算法进行复杂的拟合。
曲线拟合分析的主要优点是，无论数据多项式函数的形式如何，
都可以使用多种拟合函数拟合，从而获得较好的精度。
此外，由于曲
线拟合不需要假设数据服从特定的分布，因此能够更好地描述复杂的
数据结构。
另外，曲线拟合分析也可用来探究参数之间的关系，从而提出更
有意义的结论，增加对数据的认识。
在实际应用中，曲线拟合分析广泛应用于物理和工程等科学领域、金融和经济等经济学领域、医学研究等医学领域，以及时间序列分析、模式识别等机器学习领域。
曲线拟合法的理论与分析
曲线拟合法的理论与分析曲线拟合法是一种常用的方法来逼近所测量的曲线，以及对拟合后的曲线拟合形状的分析。
维度拟合技术为曲线拟合提供了另一种实用的策略。
它可以用来确定和实现空间拟合,计算曲线拟合精度,特征提取,及自动形态识别等目的。
曲线拟合法的基本原理包括样本准备，曲线拟合算法选择、拟合技术及参数设置等。
样本准备是指输入数据处理，采样数据不能太多而不能太少，要使拟合效果最佳。
然后是选择曲线拟合算法，经常使用的曲线拟合算法有最小二乘法、指数拟合、多项式拟合等。
拟合技术的选择以及参数的设置都将会影响拟合的精度，且参数设置还可以确定拟合曲线的形状。
维度拟合技术是一种实用的曲线拟合方法，它把拟合对象拆分成若干个维度，把每个维度分别拟合，再将各个维度综合起来，得到更形象有意义的曲线拟合技术。
有时候，数据点往往是不可避免地误差存在，可以通过增加拟合残差的正则化项，使曲线拟合更加合理。
正则化项的选取和参数设置的不同，对拟合的精度有一定的影响，正则化参数的取值越大，数据之间的不均匀性越小，拟合的精度越高。
特征提取是从数据中抽取特征的过程，广泛应用于曲线拟合。
曲线拟合在特征提取中的重要应用，可以利用拟合技术进行特征提取，对特征提取算法采用曲线拟合技术，可以有效地抽取出有用的特征。
自动形态识别也可以利用曲线拟合技术，曲线拟合可以反映一定物体的形态，可以作为形态识别的基础技术。
另外，曲线拟合法还可以用来分析采用不同参数的曲线拟合的结果，以求得最佳的曲线拟合结果。
曲线拟合法是一种工程技术，它不仅可以用于科学研究，而且可以应用到工程中，如计算机视觉、图像处理和识别、机械设计等等。
综上所述，曲线拟合法可以用来拟合所测量的曲线，把拟合对象拆分成若干个维度，用正则化项来减少误差，可以用来特征提取以及自动形态识别等。
它不仅可以用于科学研究，而且可以用于工程实践，因而具有很强的实用性。
曲线拟合的应用
曲线拟合的应用摘要：在实际问题中，常常会从一组数据中筛选出对自己有用的部分，这样的问题可转化为寻找一种函数曲线去拟合这些数据，在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用最广泛的是曲线拟合。
它不但可以提高数据处理效率，而且还能保证相当的精确度。
关键词：曲线拟合，最小二乘法，应用1.直线拟合直线拟合数据点(,)(1,2,)i i x y i n =的最小二乘法，即找一个一次函数y Ax B =+，使二元函数21(,)()ni i i E A B Ax B y ==+-∑达到最小。
由多元函数取得极值的必要条件知，由方程组：11(,)2()0(,)2()10ni i i i ni ii E A B x y x AE A B x y B==∂⎧=+-⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-⋅=⎪∂⎩∑∑ 化简可得正规方程组：211111()()()n n n i i i i i i i n ni i i i A x B x x y A x nB y=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ （1-1）由方程组（1-1）解出,A B ，即得一次函数y Ax B =+为所求的拟合直线.2.幂函数拟合在某些情况下的拟合函数My Ax =，其中M 是一个已知常数 设}{1(,)ni i i x y =有n 个点，最小二乘幂函数拟合曲线My Ax =，求函数()E A 的最小值？21()()nMii i E A Axy ==-∑对上式求关于A 的导数： 1()2()()nM M ii i i E A Axy x ='=-⋅∑令导数等于0，化简得： 211()()0nn MM ii i i i A xx y ==-=∑∑121()nMii i n Mii xy A x===∑∑即：My Ax =为所求的拟合曲线。
3.指数拟合3.1 求解Ax y Ce =的非线性最小二乘法设给定一组点集(,)(1,2,)i i x y i n =，需要拟合指数曲线采用非线性最小二乘法求下式的最小值： 21(,)()inAx i i E A C Cey ==-∑（3.1-1） 对上式分别求关于的偏导数，并令导数等于011(,)2()()0(,)2()()0i ii i n Ax Ax i i i nAx Ax ii E A C Ce y Ce x AE A C Ce y e C ==∂⎧=-⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=-⋅=⎪∂⎩∑∑ （3.1-2） 化简可得正规方程组：211211()()0()()0i ii i n n Ax Ax i i i i i n nAx Ax i i i C x e x y e C e y e ====⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∑∑∑∑ （3.1-3） 方程（3.1-3）对于未知数A 和C 是线性的，可用牛顿法求解。
曲线拟合方法在机器学习中的应用研究
曲线拟合方法在机器学习中的应用研究机器学习作为人工智能的一个重要分支，在许多领域中都有着广泛的应用。
为了构建准确的预测模型，曲线拟合方法被广泛应用于机器学习中。
本文将探讨曲线拟合方法在机器学习中的应用研究。
1. 简介机器学习是通过训练算法，使计算机能够自动地从数据中学习并做出预测或决策的技术。
然而，在实际问题中，数据往往是呈现出某种模式的曲线。
为了更好地理解数据和构建预测模型，我们需要对这些曲线进行拟合。
2. 曲线拟合方法曲线拟合是通过拟合曲线模型来逼近已知数据的过程。
常见的曲线拟合方法包括多项式拟合、最小二乘法、样条插值等。
这些方法都可以用于在机器学习中构建预测模型。
2.1 多项式拟合多项式拟合是一种将数据拟合成多项式函数的方法。
通过选择合适的多项式阶数，我们可以逼近数据曲线，使得预测模型更加准确。
然而，多项式拟合往往容易过拟合，需要通过交叉验证等方法来解决。
2.2 最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法。
它可以拟合各种类型的曲线，包括线性和非线性曲线。
最小二乘法在机器学习中广泛应用于线性回归、岭回归等模型的训练和预测。
2.3 样条插值样条插值是一种通过使用一组插值函数来逼近已知数据的方法。
它将曲线分段拟合，每个段使用一个插值函数来逼近数据。
样条插值在机器学习中常用于平滑曲线的拟合，具有较好的稳定性和精度。
3. 曲线拟合在机器学习中的应用曲线拟合在机器学习中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1 图像处理图像处理中常常需要对曲线进行拟合，以提取其中的信息。
例如，人脸识别算法中通过对脸部轮廓进行曲线拟合，可以提取关键特征点，从而实现精确的人脸识别。
3.2 金融预测曲线拟合在金融预测中也有着重要的应用。
通过对历史股价曲线进行拟合，可以构建出精确的股价预测模型，帮助投资者做出准确的决策。
3.3 数据分析在数据分析中，曲线拟合可以用于处理不完整或嘈杂的数据。
通过拟合数据曲线，可以填补空缺的数据，更好地理解数据之间的关系，从而做出更准确的数据分析结果。
先进曲线拟合方法及其应用
先进曲线拟合方法及其应用曲线拟合是数据处理中常见的一种方法，它的目的是找到一条曲线，使其能够最好地刻画数据的特征。
曲线拟合在科学研究、工程设计、经济分析等领域都有着广泛的应用。
近年来，随着计算机技术和数学算法的不断发展，曲线拟合方法得到了许多新的突破，其中先进曲线拟合方法成为了研究的热点之一。
一、先进曲线拟合方法的概念先进曲线拟合方法是指利用机器学习、深度学习等技术，构建更具有灵活性和通用性的曲线拟合模型。
相较于传统的曲线拟合方法，先进曲线拟合方法具有以下优势：1. 支持非线性拟合，能够更好地刻画数据的复杂特征。
2. 可以自适应地调整模型参数，提高拟合效果。
3. 可以处理高维、大数据量的数据集，应用范围更广泛。
二、先进曲线拟合方法的模型目前，主要的先进曲线拟合方法有神经网络、支持向量机、决策树等。
其中，神经网络作为一种非线性映射模型，可以学习并建立输入和输出之间的复杂映射关系，因此特别适用于非线性曲线拟合。
支持向量机作为一种分类和回归的方法，同样具有较强的非线性拟合能力。
决策树则是一种树形结构的分类和回归模型，在建立模型时可以随时剪枝，避免过拟合现象。
三、先进曲线拟合方法的应用1. 图像处理先进曲线拟合方法在图像处理中有着广泛的应用。
例如，可以利用神经网络模型对图像中的边缘进行曲线拟合，达到图像去噪、分割的效果。
2. 生物医学生物医学领域中的数据往往复杂多变，具有高维度和非线性特点，因此先进曲线拟合方法尤其适用。
例如，可以利用支持向量机模型对医学图像中的肿瘤进行拟合，实现肿瘤分析和诊断。
3. 金融分析金融数据往往具有长期依赖性和波动性，传统方法对它们的拟合效果较差。
而先进曲线拟合方法则能够建立更为准确的金融模型，预测股票、汇率等市场走势。
四、先进曲线拟合方法的挑战1. 模型的解释性较差先进曲线拟合方法往往由多个层级组成，其中包含大量的参数，因此难以解释其内部的工作原理。
2. 数据准备的工作难度较高先进曲线拟合方法需要大量的数据来训练模型，但是数据的质量和准备成本都比较高。
曲线拟合方法在数据分析中的应用研究
曲线拟合方法在数据分析中的应用研究数据分析是一种研究和解释数据的过程，而曲线拟合是数据分析中常用的一种方法。
通过将一条曲线拟合到给定数据点上，我们可以从数据中提取出关键的趋势和模式，帮助我们做出更加准确的预测和决策。
本文将探讨曲线拟合方法在数据分析中的应用研究。
一、曲线拟合的基本概念与原理曲线拟合是基于数学模型的一种数据分析方法。
它的基本思想是找到一条函数曲线，使得它可以最好地描述给定数据点的趋势。
曲线拟合的目标是在已知数据点的基础上预测未知数据点的取值。
常用的曲线拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合、非线性拟合等。
其中最小二乘法是一种常见且广泛应用的方法，它通过最小化残差来找到最优的拟合曲线。
多项式拟合则是通过多项式函数来拟合数据，可以适用于不同数据特点的情况。
非线性拟合则适用于无法用线性函数描述的数据。
曲线拟合的基本原理是通过选择合适的函数形式和调整函数参数，使得拟合曲线尽可能地与数据点相符。
选择合适的函数形式可以根据数据的特点来确定，比如可以选择直线、指数函数、对数函数等。
调整函数参数则通过迭代算法来实现，通过不断调整参数值来优化拟合效果。
二、曲线拟合方法在实际应用中的意义曲线拟合方法在数据分析中具有重要的意义。
首先，曲线拟合可以帮助我们发现数据中隐藏的规律和趋势。
通过拟合出的曲线，我们可以对数据的整体变化趋势有更直观的认识，从而做出更加准确的预测和决策。
其次，曲线拟合可以帮助我们处理不完整的数据。
在现实中，我们经常会遇到数据缺失或噪声干扰的情况，这时候可以通过曲线拟合来填补数据空缺或去除干扰。
通过拟合出的曲线，我们可以估计出缺失数据的取值或者去除噪声对数据的影响。
另外，曲线拟合还可以用于预测和模拟。
通过已有数据点的拟合，我们可以预测未来的趋势和变化。
例如，通过对销售数据的拟合，可以预测未来的销售额；通过对气候数据的拟合，可以模拟未来的气候变化。
三、曲线拟合方法的实际应用案例曲线拟合方法在各个领域具有广泛的应用。
曲线拟合初步认识
曲线拟合初步认识曲线拟合是一种寻找可以最佳逼近某些数据的曲线的方法。
在实际应用中，我们经常需要通过数据来寻找规律或者预测未来的趋势。
曲线拟合就是一种有效的数据分析方法。
本文将介绍一些基本的曲线拟合概念及应用。
一、曲线拟合的概念曲线拟合是一种数学方法，用于建立数据的数学模型，并通过模型来预测未知的数据。
曲线拟合旨在寻找可以最好地描述数据的函数。
常见的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合、对数拟合和幂函数拟合。
这些方法都可以用来拟合不同类型的数据，并且在不同的应用场景中具有不同的优点和局限性。
二、曲线拟合的应用曲线拟合在各种领域中都有广泛的应用。
例如，它可以用于预测股票价格、天气变化、经济趋势等。
在科学研究中，曲线拟合可以用于分析实验数据、研究物理规律等。
在工程领域中，曲线拟合可以用于设计机器人、优化设备参数等。
三、曲线拟合的实现曲线拟合的实现可以使用各种工具和软件来完成。
例如，MATLAB 是一种流行的数据分析工具，它提供了许多不同的曲线拟合函数。
Python也是一种流行的编程语言，它提供了许多强大的数据分析和可视化库，如NumPy、SciPy和matplotlib。
这些工具可以帮助我们更轻松地实现曲线拟合，并且可以处理大量的数据。
四、曲线拟合的算法曲线拟合的算法基于最小二乘法，它可以用于计算最佳拟合线和拟合误差。
最小二乘法是一种基本的数据拟合方法，它尝试通过最小化预测误差的平方和来找到拟合模型，以最大程度地逼近数据点。
这个算法已经成为曲线拟合的主要方法之一。
五、曲线拟合的局限性曲线拟合并不是一种通用的解决方案，它具有一些局限性。
例如，曲线拟合假设数据点之间的关系是光滑的，如果数据点之间存在突变或者不连续，曲线拟合可能无法达到较好的效果。
此外，曲线拟合还需要适当选择合适的模型和参数，否则可能会出现过拟合或欠拟合的问题。
结论本文介绍了曲线拟合的基本概念、应用、算法和局限性。
曲线拟合是一种非常有用的数据分析方法，在实际应用中可以帮助我们更好地理解和预测数据。
曲线拟合理论及其在数据分析中的应用
曲线拟合理论及其在数据分析中的应用数据分析是现代科学研究和工程实践中的重要环节，在大数据时代更是呈现出不可或缺的地位。
而曲线拟合作为一种常用的数据分析方法，通过将实验观测数据拟合到一个数学模型的曲线上，可以帮助我们理解数据的规律，预测趋势，以及进行数据预处理、异常值检测等工作。
本文将介绍曲线拟合的理论基础，并探讨其在数据分析中的广泛应用。
一、曲线拟合的理论基础1. 最小二乘法最小二乘法是计算机科学和统计学中常用的曲线拟合算法，其核心思想是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法的数学推导和求解过程比较复杂，这里不作具体展开，但需要强调的是，最小二乘法是基于对误差的均方最小化原则，能够在一定程度上减小观测误差对拟合结果的影响。
2. 常见的曲线拟合模型常见的曲线拟合模型包括线性拟合、非线性拟合以及高次多项式拟合。
其中线性拟合是最简单的一种模型，假设目标函数为一个线性方程，通过最小二乘法可以得到最佳拟合直线。
非线性拟合则是假设目标函数为非线性方程，可以通过迭代优化方法如牛顿法、拟牛顿法等求解最佳参数。
高次多项式拟合则是通过使用高次多项式函数来逼近实际观测数据，其表达能力更强，但也容易出现过拟合问题。
二、曲线拟合在数据分析中的应用1. 趋势预测曲线拟合在趋势预测中起到重要作用。
通过对历史数据进行曲线拟合，我们可以分析数据的变化趋势，并用拟合曲线来预测未来的发展方向。
例如，在金融领域，我们可以通过拟合股票价格的曲线来预测未来的趋势，从而做出投资决策。
2. 异常值检测曲线拟合可以帮助我们检测和处理异常值。
异常值是指与其他数据点明显不同的观测值，可能由于测量误差、录入错误等原因产生。
通过将数据进行曲线拟合，我们可以判断某些数据点是否偏离拟合曲线较远，从而识别异常值并进行修正。
3. 数据预处理在进行数据分析前，通常需要对数据进行预处理。
曲线拟合可以用于数据平滑和插值处理。
通过对实验数据进行曲线拟合，我们可以消除噪声、填充缺失值，使得数据更加光滑和完整，有利于后续的分析工作。
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曲线拟合及其应用综述摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。
关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断1背景及应用在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。
理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。
可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。
因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。
曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。
2 基本原理2.1 曲线拟合的定义解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。
2.2 曲线拟合的方法解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。
2.2.1 有理论模型的曲线拟合有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。
通过实验或者观测得到的数据对（x i,y i）（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映x、y之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…c n是待定参数。
当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。
有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。
2.2.1.1 线性模型的曲线拟合线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为：εββ++=xy1（1）式中，β0，β1未知参数，ε服从N(0，σ2)。
将n个实验点分别带入表达式（1）得到：iiixyεββ++=1（2）式中i=1,2,…n，ε1, ε2,…, εn相互独立并且服从N(0，σ2)。
根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小：211)(iiniixyJεββ---=∑=（3）将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即：)(211=----=∂∂∑=iiniixyJεβββ（4）0)(21011=----=∂∂∑=i i i ni i x x y Jεβββ （5） 从而，就能唯一地确定参数β0，β1的值，完成了曲线的最小二乘拟合。
2.2.1.2 非线性模型的曲线拟合非线性模型的问题一般比线性问题的处理要复杂，模型也分为两类。
一类是能通过某些数学变换使待求参数以线性形式出现的，一般优先对其进行线性变换将问题转换，这种称为伪线性最小二乘问题；另一类是无法将待求参数线性化的问题，则必须采用较复杂的非线性问题处理方法。
对于第一类问题，其典型代表是多项式模型，设多项式函数为m m x x x x f αααα++++=...)(2210 （6）我们令x m =x m ，则解析式变为m m x x x x f αααα++++=...)(22110 （7）此时试验点数据为(x i1,x i2,…x im , y i )，将试验点数据代入解析式得：im m i i i x x x x f αααα++++=...)(22110 （8）式中i=1,2,…,n 。
此时的目标函数为2221101)]...([im m i i ni i x x x y J αααα++++-=∑=（9）为使目标函数得到最小值，需使其对各待求参数的偏导数等于零，即0)]...([22211010=++++--=∂∂∑=im m i i ni i x x x y Jααααα0)]...([2221101=++++--=∂∂∑=ij im m i i n i i j x x x x y Jααααα),...,2,1(m j = （10）由此便可求得各参数的唯一值，从而完成了曲线的最小二乘拟合。
类似的可以进行线性化的常用曲线如下表所示：表1 可转化为线性式的曲线类型函数表达式变换后表达式变量和参数变化 Y X A B借助求解非线性方程组, 通过最优化方法求得所需参数。
最常用的最优化方法有：单纯形下山法、拟牛顿法以及Marquadst 算法。
另外, 遗传算法(GA )、免疫算法( IA ) 的研究也为曲线拟合中的优化问题提供了新的思路。
2.2.2 无理论模型的曲线拟合无理论模型的曲线拟合通常用于工程当中规律性差、理论模型难以确定或者根本不需要理论模型的问题的处理。
这种情况下一般采用几何方法或神经网络方法实现曲线拟合。
2.2.2.1 曲线拟合的圆弧法圆弧拟合是一种描绘通过观测点(型值点) 的几何拟合方法。
它用分段圆弧代替曲线, 并且使相邻两个圆弧有公共切线。
这种方法归结为以下三种情况:a. 已知圆O 和圆外两点A 1、A 2, 求圆P ，使它通过A 1、A 2，并且与圆O 相切(外切或内切)。
b. 已知圆O 和圆外一点A 2，求圆P,使它通过A 2，并且和圆O 切于点A 1。
c. 已知圆O 1和圆O 2, 求圆P, 使它和圆O 2相切, 且与圆O 1切于定点A 。
根据上述三种情况可以确定圆的圆心坐标、半径以及切点, 从而唯一的确定拟合曲线。
对于常规的已知实验数据点求拟合曲线问题，圆弧拟合法的示意图如图1所示。
分别对试验点连线P 1P 2和P 2P 3做垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为第一段圆弧的圆心，第一段圆弧过前三个试验点，以后的每个试验点的圆弧拟合方法以第q 个试验点P q为例进行说明。
先做第q个试验点与第q-1个试验点连线P q-1P q 的垂直平分线，它与第q-1个试验点所在前一段拟合曲线的过第q-1个试验点的半径或者半径的延长线的交点，即为第q个试验点所在拟合圆弧的圆心，确定了圆心，便可作出经过该试验点的拟合圆弧。
依此对每个试验点使用此法，便可实现对所有试验点的圆弧曲线拟合。
图1 可转化为线性式的曲线类型2.2.2.1 曲线拟合的神经网络法如果将人工神经网络的每个结点看成是一个基本函数，则人工神经网络实质上就相当于基本函数族网络(如图2所示)，它们在相应的权值ωi作用下，生成网络函数Y，可以将其看成是泛化了的曲线模型。
图2 人工神经网络简图针对曲线拟合的问题，激活函数应该是连续的、非线性的(对非线性拟合问题而言)。
应用最普遍的是Sigmoid 函数, 其表达式为(11)式中，c 为任意常数。
而网络结构的选择一般要根据实验数据的形式确定，前馈型神经网络是最常用的网络结构。
具体地，如果是单条曲线的拟合,网络结构应该是单输入单输出的；如果是多对曲线的并行拟合，还存在单输入多输出与多输入多输出的网络结构。
常用的神经网络拟合模型有BP网络、径基函数（RBF）神经网络等，这里不再详细叙述。
3 曲线拟合的应用3.1 运用曲线拟合法进行故障诊断的方法曲线拟合方法在设备故障诊断方面有着广泛的应用。
在故障诊断中，需要根据已知的测试数据找出相应函数的系数。
对于每一种故障状态，提取所采集的多组信号的多个特征参数，求每组特征参数的平均值，然后分别将不同的特征参数的平均值作为拟合曲线的纵坐标，即：],...,,[21nuuuy=(12) 同时取自然数横坐标],...,2,1[nx=(13) 然后运用最小二乘法进行多项式曲线拟合，求出拟合系数，这样便可以得到不同故障状态下的多项式拟合系数模式Ｍ。
设对于第k个模式Ｍk对应的多项式拟合系数[a n k,a n-1k,…,a2k,a1k] (n为拟合多项式的阶数)，则有：],,...,,[11121111aaaaMnn-=],,...,,[21221222aaaaMnn-=],,...,,[121kkknknkaaaaM-=(14)这样对于每一种模式即可根据采集的大量实验数据求出对应的拟合系数。
对于故障模式的一组信号求出其特征参数的拟合系数[b n,b n-1,…,b2,b1],定义故障模式与已知模式的距离为：21112111211)(...)()(bababadnnnn-++-+-=--21212121222)(...)()(bababadnnnn-++-+-=--2112112)(...)()(b a b a b a d k n k n n k n k -++-+-=-- (15)若d i =min(d 1,d 2,…,d k )，则可以判断待检故障模式属于第i 类故障模式。
3.2 运用曲线拟合法进行故障诊断的实例 由上述理论叙述可以知道，运用曲线拟合方法进行故障诊断可分为建立标准故障模式、分析待检信号、故障判断三个步骤进行。
现以柴油机故障诊断为例进行分析。
3.2.1 建立标准故障模式实验时首先从柴油机表面振动信号中提取各种预设工作状态的时域特征参数，绘制各状态的时域特征参数拟合曲线，计算各状态的拟合多项式系数，建立标准故障模式；对柴油机取六种工作状态，每种工作状态取五个时域特征参数, 建立标准故障模式。
所选状态及参数如表2 所示。
表2 时域中标准故障时各状态特征参数波形指标S 峰值指标C 脉冲指标I 裕度指标L 峭度指标K V a 正常 状态 1.48735.12787.68529.712613.1796b 第一缸喷油压力过大 1.54696.12689.526312.338513.0475c 第一缸喷油压力过小 1.4968 6.0417 7.7586 9.7026 9.8014d 第一缸进气门漏气 1.5287 6.0417 9.2063 11.7449 12.7749e 第一缸气门间隙过大 1.4859 5.2251 7.8233 10.0400 9.1055f 供油提前角提前5- 601.1458 4.1287 5.5587 6.8011 5.2104 用Matlab 采用最小二乘法绘制各个状态下的拟合曲线如下图所示：图3 标准故障模式的拟合曲线计算各状态下的拟合多项式系数，计算结果如下：Ma = [ 0.0533 -0.4292 0.6919 3.7650 - 2.5785]； Mb= [-0.0793 0.8752 -3.8432 11.1812 -6.6093]； Mc = [-0.0663 0.7375 -3.3294 9.5310 -5.3948]； Md = [-0.0604 0.7112 -3.4209 10.7087 -6.4271]； Me = [- 0.1328 1.4257 -5.7811 13.1072 -7.1706]；Mf = [ 0.1509 1.7039 7.2002 14.9341 8.1838] 3.2.2 分析待检信号建立了标准故障模式后，就可以设置故障进行故障分析了。