江西省南昌市第十九中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题
2014-2015学年江西省南昌十九中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年江西省南昌十九中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为（）A．f（x）=x2﹣1 B．f（x）=log2xC．f（x）=D．f（x）=3x2．（5分）在△ABC中，若a=1，C=60°，c=，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．（5分）下面一段程序执行后输出结果是（）程序：A=2A=A*2A=A+6PRINT A．A．2 B．8 C．10 D．184．（5分）从分别写有A，B，C，D，E的五张卡片中任取两张，这两张的字母顺序恰好相邻的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）两个相关变量满足如下关系：两变量的回归直线方程为（）A．=0.63x﹣231.2 B．=0.56x+997.4C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.76．（5分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a，视力在4.6到5.0之间的频率为b，则a，b的值分别为（）A．0.27，78 B．54，0.78 C．27，0.78 D．54，787．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜118．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为（）A．7 B．8 C．9 D．1011．（5分）不等式x（x﹣a+1）＞a的解集是{x|x＜﹣1或x＞a}，则（）A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a∈R12．（5分）定义：在数列{a n}中，若满足﹣=d（n∈N+，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1=a2=1，a3=3，则（）A．4×20152﹣1 B．4×20142﹣1 C．4×20132﹣1 D．4×20132二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为．14．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为．15．（5分）设常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为．16．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线y=bx +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=，a=﹣b ．19．（12分）当空气污染指数（单位：μg/m 3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．某日某省x 个监测点数据统计如下：（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x ，y 的值，并完成频率分布直方图；（2）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？20．（12分）（理科做）设函数f（x）=ax +（x＞1）（1）若a＞0，求函数f（x）的最小值；（2）若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f （x）＞b恒成立的概率．21．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的人数；并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．22．（12分）某电视台为宣传海南，随机对海南15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“东环铁路沿线有哪几个城市？”统计结果如图表所示：（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．2014-2015学年江西省南昌十九中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为（）A．f（x）=x2﹣1 B．f（x）=log2xC．f（x）=D．f（x）=3x【分析】条件语句适用于需要分类讨论的情况，根据A，B，C，D中函数解析式，分析计算函数值时，是否需要分类讨论，可得答案．【解答】解：A，B，D中函数在定义域上，只有一个解析式故不需要条件语句而C中函数f（x）=是一个分段函数需要对自变量进行判断，再决定选用哪个解析式故需要条件语句．故选：C．2．（5分）在△ABC中，若a=1，C=60°，c=，则A的值为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由正弦定理求得sinA=，再由c＞a，可得60°＞A，从而求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中，若a=1，C=60°，c=，则由正弦定理可得，即，解得sinA=．由于△ABC中c＞a，∴C＞A，∴A=30°，故选：A．3．（5分）下面一段程序执行后输出结果是（）程序：A=2A=A*2A=A+6PRINT A．A．2 B．8 C．10 D．18【分析】根据已知中的程序语句，分析变量A值的变化情况，可得答案．【解答】解：执行A=2后，A值为2，执行A=A*2后，A值为4，执行A=A+6后，A值为10，执行PRINT A后输出结果为10，故选：C．4．（5分）从分别写有A，B，C，D，E的五张卡片中任取两张，这两张的字母顺序恰好相邻的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，先计算从5张卡片中任取2张的取法数目，进而分析这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的情况，易得其情况数目，代入公式等可能事件的概率，可得答案．【解答】解：根据题意，在5张卡片中，任取2张的种数是C52=10，而字母恰好是按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E；共4种，则恰好是按字母顺序相邻的概率为P==；故选：A．5．（5分）两个相关变量满足如下关系：两变量的回归直线方程为（）A．=0.63x﹣231.2 B．=0.56x+997.4C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.7【分析】把已知数据代入计算公式得出方程的系数即可．【解答】解：由题意可得=（10+15+20+25+30）=20，=（1003+1005+1010+1011+1014）=1008.6，∵=10×1003+15×1005+20×1010+25×1011+30×1014=101000，5=5×20×1008.6=100800.6，5=5×20×20=2000，=102+152+202+252+302=2250∴=≈0.56，∴=﹣=1008.6﹣0.56×20=997.4∴两变量的回归直线方程为：=0.56x+997.4故选：B．6．（5分）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a，视力在4.6到5.0之间的频率为b，则a，b的值分别为（）A．0.27，78 B．54，0.78 C．27，0.78 D．54，78【分析】由直方图可以求前两组的频数，由此知道前四组的前两项，故可由等比数列的性质求得前四组的频数，进而可求出后六组的频数和以及等差数列首项，由此可求出最后一组的频数，则a，b可求出【解答】解：由题意第一组的频率是0.01，第二组的频率是0.03，故两两组的频数是200×0.01=2，200×0.03=6，由于前4组的频数成等比数列，故其公比是3，故第三组的频数是18，第四组频数是54，由图知a=54，由此知前三组频数和为26，故后六组频数和为174又后六组的频数成等差数列，设最后一组的频数为x则有得x=4令后六组的公差为d，则有5d=4﹣54=﹣50，d=﹣10，故后组的频数依次是44，34，24，14，4由此得视力在4.6到5.0之间的频数是156，故b=0.78故选：B．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．8．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选：D．9．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（）A．B．C．D．【分析】设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故选：C．10．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=lg，不满足退出循环的条件，i=3；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=5；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=7；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=9；再次执行循环体后，S=，满足退出循环的条件，故输出的i值为9，故选：C．11．（5分）不等式x（x﹣a+1）＞a的解集是{x|x＜﹣1或x＞a}，则（）A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞﹣1 D．a∈R【分析】把原不等式去括号，并移项合并，把不等式左边分解因式后，根据一元二次不等式取解集的方法，即可得到a的取值范围．【解答】解：由x（x﹣a+1）＞a，得到x2﹣（a﹣1）x﹣a＞0分解因式得：（x+1）（x﹣a）＞0，∵解集为{x|x＜﹣1或x＞a}，∴a≥﹣1．故选：A．12．（5分）定义：在数列{a n}中，若满足﹣=d（n∈N+，d为常数），称{a n}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n}中，a1=a2=1，a3=3，则（）A．4×20152﹣1 B．4×20142﹣1 C．4×20132﹣1 D．4×20132【分析】确定=1+2（n﹣1）=2n﹣1，再代入，即可得出结论．【解答】解：由题意，d==3﹣1=2，=1，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，利用叠乘法可得==4×20132﹣1，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为74．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：样本间隔为80÷10=8，设第一个号码为x，∵编号为58的产品在样本中，则58=8×7+2，则第一个号码为2，则最大的编号2+8×9=74，故答案为：7414．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为．【分析】根据题意，可得满足条件的P点位于矩形ABCD中间，长为2宽为1的一个小矩形当中，如图所示．由此结合几何概型计算公式，即可算出使△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率．【解答】解：由题意，以AB为底边，要使△ABP面积不小于1，而S=AB×h=h，即△ABP的高h≥1，△ABP同理△CD的高h'≥1，因此，P点到AB和CD的距离都要不小于1，相应的区域为图中阴影部分，它的面积为S'=1×2=2而矩形ABCD的面积为S=2×3=6∴所求概率P==故答案为：15．（5分）设常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为．【分析】9x+≥a+1对一切正实数x成立⇔a+1．再利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x＞0，a＞0，∴≥=6a，当且仅当x=时取等号．∵9x+≥a+1对一切正实数x成立，∴a+1．∴a+1≤6a，解得．∴a的取值范围为．故答案为：．16．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016= 2．【分析】通过设等比数列{a n}的公比为q，利用a2+a5=0即2q+2q4=0可知公比q=﹣1，进而计算即得结论．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，∴a2=2q，a5=2q4，又∵a2+a5=0，∴2q+2q4=0，解得q=﹣1或q=0（舍），∴数列{a n}是以2为首项、﹣1为公比的等比数列，∴S n==1﹣（﹣1）n，∴S2015+S2016=1﹣（﹣1）2015+1﹣（﹣1）2016=2+0=2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出a n=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴a n=2n，∴==，∴S n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．18．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=，a=﹣b．【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（1）由所给数据计算得=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，（t i﹣t）2=9+4+1+0+1+4+9=28，（）（）=（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，所以b==0.5，a=4.3﹣0.5×4=2.3，所求回归方程为y=0.5t+2.3．（2）将2015年的年份代号t=9，代入（1）中的回归方程，得y=0.5×9+2.3=6.8，19．（12分）当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．某日某省x个监测点数据统计如下：（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？【分析】（1）由直方图的特点可得0.003×50=，可得x值，进而可得y值，可得所需的，可完成直方图；（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，列举可得总的基本事件共10种，事件A包含7种，由概率公式可得【解答】解：（1）∵∵15+40+y+10=100，∴y=35（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是．20．（12分）（理科做）设函数f（x）=ax+（x＞1）（1）若a＞0，求函数f（x）的最小值；（2）若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f （x）＞b恒成立的概率．【分析】（1）变形化简，利用均值不等式求解f（x）=ax+=ax++1=a（x﹣1）++1+a，（2）于是f（x）＞b恒成立就转化为：（+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，运用列举的方法求解事件个数，运用概率公式求解．【解答】（1）解：x＞1，a＞0，f（x）=ax+=ax++1=a（x﹣1）++1+a=（+1）2∴f（x）min=（+1）2（2）则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得：P（A）==21．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的人数；并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【分析】（1）根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60）之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60）之间的频率，根据频率、频数和样本容量之间的关系解出样本容量．（2）算出分数在[80，90）之间的人数，算出分数在[80，90）之间的频率，根据小矩形的面积是这一段数据的频率，做出矩形的高．（3）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数，看出满足条件的事件数，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2．由频率分布直方图知：分数在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08．∴全班人数为人．（Ⅱ）∵分数在[80，90）之间的人数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人∴分数在[80，90）之间的频率为∴频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4；[90，100]之间的2个分数编号为5，6．则在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个．至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．22．（12分）某电视台为宣传海南，随机对海南15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“东环铁路沿线有哪几个城市？”统计结果如图表所示：（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【分析】（1）根据频率表中数据求出n的值，再分别计算a、b、x与y的值；（2）利用分层抽样法求出第2、3、4组分别抽取的人数；（3）利用列举法求出从6人中抽2人的基本事件数以及所抽取的人中恰好没有第3组人基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为=25，结合频率分布直方图可知n==100，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，第二组人数为0.020×100×10=20，第5组人数为：0.015×10×100=15∴x==0.9，y==0.2．…（4分）（2）第2，3，4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×18=2（人），第3组：×27=3（人），第4组：×9=1（人）．…8分（3）设所抽取的人中第2组的2人为A1，A2；第3组的3人为B1，B2，B3；第4组的1人为C1．则从6人中抽2人所有可能的结果有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为=．…（12分）。
江西省南昌市2014—2015学年度第一学期高二年级期末考试(文科乙卷)1218
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
3.石村不是很大，男女老少加起来能有三百多人，屋子都是巨石砌成的，简朴而自然。
南昌市2014—2015学年度第一学期高二年级期末考试数学（文科乙卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共21小题．共150分。
共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3、请保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内） 1．“4a b =-”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件2．命题“对任意x R ∈，2210x x -+<”的否定是A ．对任意x R ∈，2210x x -+≥B ．存在x R ∈，2210x x -+≥C ．存在x R ∈，2210x x -+≤D ．存在x R ∈，2210x x -+<3．曲线21()2f x x =在点1(1,)2处的切线方程为 A. 2210x y ++= B. 2210x y +-= C. 2210x y --= D. 2230x y --=4．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
2014-2015年江西省南昌十九中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设m，n是不同的直线，a，β是不同的平面，则下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，则m∥β，②若m∥α，n⊂α，则m∥n，③若α⊥β，m∥α，则m⊥β，④若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④2．（5分）因为对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）是增函数，而y＝log x是对数函数，所以y＝log x是增函数，上面的推理错误的是（）A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都是3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．5．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．2C．D．86．（5分）表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3B．3.15C．3.5D．4.57．（5分）如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）A．P A＝PB＞PC B．P A＝PB＜PC C．P A＝PB＝PC D．P A≠PB≠PC 8．（5分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（）A．2B．3C．4D．169．（5分）一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．+++1B．2+3π++1C．++D．+++110．（5分）已知a，b，c，d为实数，满足a+b＝c+d＝1，ac+bd＞1，则在a，b，c，d中（）A．有且仅有一个为负B．有且仅有两个为负C．至少有一个为负D．都为正数11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的表面积为4π12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（n）＝1+++…+（n∈N+，n≥2），经计算得f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32），由此可推得一般性结论为．14．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2＝．15．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若P A，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．16．（5分）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05．对此，四名同学做出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒r：这种血清预防感冒的有效率为95%s：这种血清预防感冒的有效率为5%则上述结论中，正确结论的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB ＝5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．18．（10分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°．19．（12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E 为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C＝4（I）求证：平面A′DE⊥平面BCD；（II）求证：BF∥平面A′DE．21．（12分）2014年世界经济形势严峻，某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量．为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：（1）用分层抽样的方法在不赞成的职工中抽5人进行调查，其中男职工、女职工各抽取多少人？（2）在上述抽取的5人中选2人，求至少有一名男职工的概率；（3）据此资料，判断对技术培训的态度是否与性别有关？并证明你的结论．附：K2＝，22．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．2014-2015学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设m，n是不同的直线，a，β是不同的平面，则下列四个命题：①若α∥β，m⊂α，则m∥β，②若m∥α，n⊂α，则m∥n，③若α⊥β，m∥α，则m⊥β，④若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由面面平等的性质定义，我们易得α∥β，m⊂α，则m∥β，为真命题，故①正确；m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行也可能相交，故③错误；m⊥α，m∥β，则β内存在一条直线n与m平行，则n⊥α，则α⊥β，故④正确；故选：C．2．（5分）因为对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）是增函数，而y＝log x是对数函数，所以y＝log x是增函数，上面的推理错误的是（）A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都是【解答】解：∵当a＞1时，函数y＝log a x（a＞0且a≠1）是一个增函数，当0＜a＜1时，此函数是一个减函数∴y＝log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选：A．3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选：B．4．（5分）观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．【解答】解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现A符合要求．故选：A．5．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．2C．D．8【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3＝12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的，如图所示，则这个几何体的体积为12×＝8．故选：D．6．（5分）表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中t的值为（）A．3B．3.15C．3.5D．4.5【解答】解：∵由回归方程知＝，解得t＝3，故选：A．7．（5分）如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）A．P A＝PB＞PC B．P A＝PB＜PC C．P A＝PB＝PC D．P A≠PB≠PC 【解答】解：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴MA＝MB＝MC．又∵PM⊥平面ABC，∴MA、MB、MC分别是P A、PB、PC在平面ABC上的射影，∴P A＝PB＝PC．应选C．8．（5分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（）A．2B．3C．4D．16【解答】解：a＝1时进入循环，此时b＝21＝2，a＝2时，再进入循环此时b＝22＝4，a＝3，再进入循环此时b＝24＝16，∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a＞3，∴故答案为：3．故选：B．9．（5分）一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．+++1B．2+3π++1C．++D．+++1【解答】解：由三视图求得，圆锥母线l＝＝，圆锥的高h＝＝2，圆锥底面半径为r＝＝，截去的底面弧的圆心角为直角，截去的弧长是底面圆周的，圆锥侧面剩余，S1＝πrl＝＝底面剩余部分为S2＝＝+1另外截面三角形面积为S3＝＝所以余下部分的几何体的表面积为S1+S2+S3＝++1+．故选：A．10．（5分）已知a，b，c，d为实数，满足a+b＝c+d＝1，ac+bd＞1，则在a，b，c，d中（）A．有且仅有一个为负B．有且仅有两个为负C．至少有一个为负D．都为正数【解答】证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b＝c+d＝1，∴（a+b）（c+d）＝1．∴ac+bd+bc+ad＝1≥ac+bd．这与ac+bd＞1矛盾．所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（）A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的体积V＝4D．直三棱柱的外接球的表面积为4π【解答】解：取A1C1中点O，连接OB1，AO，∵D为AC的中点，∴四边形DAOC1为平行四边形，∴AO∥C1D，又四边形BDOB1为平行四边形，∴BD∥OB1，∴平面AOB1∥平面BDC1，AB1⊂平面AOB1，∴AB1∥平面BDC1．∵由三视图知A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，CB1⊥BC1∴BC1⊥平面A1B1C，∴BC1⊥A1C；∵由侧视图知△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD，又BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面BDC1．故B正确；由三视图知：直三棱柱的高为2，底面是直角边长为2的等边三角形，∴体积V ＝×2×2×2＝4，∴C正确；由直三棱柱的结构特征知，直三棱柱为正方体的一半，∴外接球的半径R＝＝，∴外接球的表面积S＝4π×3＝12π，∴D错误；故选：D．12．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AC交BD于O，连结PO，则∠APC＝2∠APO，∵tan，∴当PO最小时，∠APO最大，即PO⊥BD1时，∠APO最大，如图，作PE⊥BD于E，此时|PB|＝|BD1|，∴三棱锥P﹣ABC的高为P到平面ABCD的距离PE＝，∴三棱锥P﹣ABC的体积V＝＝＝．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知f（n）＝1+++…+（n∈N+，n≥2），经计算得f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32），由此可推得一般性结论为f（2n）＞．【解答】解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，即f（22）＞，即f（23）＞f（16）＞3，即f（24）＞…，归纳可得：f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．14．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2＝1：24．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC＝1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2＝＝1：24．故答案为1：24．15．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若P A，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，P A，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以P A，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为，∴正方体的边长为2，即P A＝PB＝PC＝2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V＝S△ABC ×h＝S△×PC＝××2×2×2＝P AB＝×△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC∴h＝＝∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣＝故答案为16．（5分）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05．对此，四名同学做出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒r：这种血清预防感冒的有效率为95%s：这种血清预防感冒的有效率为5%则上述结论中，正确结论的序号是p，r．．（把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：∵K2≈3.918＞3.841，P（K2≥3.841）≈0.05，∴有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，也就是说这种血清预防感冒的有效率为95%故答案为：p，r．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，AB ＝5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC…（2分）∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥CB…（4分）又C1C∩CB＝C，∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，∴AC⊥BC1…（7分）（2）设CB1∩BC1＝E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点…（10分）又D为AB中点，∴AC1∥DE…（12分）DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1…（14分）18．（10分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c 三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°．【解答】证明：假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b＞a，b＞c．∴＞，＞．相加得+＞+＝，与+＝矛盾．故∠B≥90°不成立．19．（12分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．（1）几何体的体积为V＝•S矩形•h＝×6×8×4＝64．（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝＝5．左、右侧面的底边上的高为：h2＝＝4．故几何体的侧面面积为：S＝2×（×8×5+×6×4）＝40+24．20．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E 为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C＝4（I）求证：平面A′DE⊥平面BCD；（II）求证：BF∥平面A′DE．【解答】证明：（Ⅰ）证由题意得△A'DE是△ADE沿DE翻转而成，所以△A'DE ≌△ADE，∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平形四边形，∴∠A＝60°，又∵AD＝AE＝2∴△A'DE和△ADE都是等边三角形．∵M是DE 的中点，∴由在∵△DMC中，MC2＝42+12﹣2×4×1•cos60°，∴．在△A'MC中，，∴△A'MC是直角三角形，∴A'M⊥MC，又∵A'M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A'M⊥平面ABCD．又∵A'M⊂平面A'DE∴平面A'DE⊥平面BCD．（Ⅱ）选取DC的中点N，连接FN，NB．∵A'C＝DC＝4，F，N点分别是A'C，DC中点，∴FN∥A'D．又∵N，E点分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，∴BN∥DE．又∵A'D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A'DE∥平面FNB，∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A'DE．21．（12分）2014年世界经济形势严峻，某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量．为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：（1）用分层抽样的方法在不赞成的职工中抽5人进行调查，其中男职工、女职工各抽取多少人？（2）在上述抽取的5人中选2人，求至少有一名男职工的概率；（3）据此资料，判断对技术培训的态度是否与性别有关？并证明你的结论．附：K2＝，【解答】解：（1）在不赞成的职工中抽5人，则抽取比例为＝，所以男职工应该抽取8×＝2（人），女职工应该抽取12×＝3（人）．（2）上述抽取的5人中，男职工2人记为a，b，女职工4人记为c，d，e，则从5人中选2人的所有情况为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种情况．基中至少有一名男职工的情况有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），共7种情况．故从上述抽取的5人中选2人，至少有一名男职工的概率为P＝．（3）因为K2＝≈5.56∈（3.841，6.635），所以有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”．22．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．【解答】证明：（I）取AB的中点M，∵，∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，∴A1D∥BM，A1D＝BM，∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD∴EF∥BD．∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（II）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则，∵＝＝∴，∴，∴AG＝．所以符合要求的点G不存在．。
江西省南昌市第十九中学2014-2015学年高二下学期期末考试(理)数学试题 含解析
江西省南昌市第十九中学2014—2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题第I卷（选择题,共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84，84，86,86，86，88，88,88，88。
若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．中位数D．标准差【答案】D【解析】试题分析：由已知,B样本数据的平均数比A样本数据的平均数多2，由方差、标准差的计算公式可知，，两组数据的方差、标准差相同,故选D。
考点：1.平均数；2。
方差、标准差.2.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c ∈(0,1）)，已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为（）A。
148B. 124C。
112D。
16【答案】D【解析】试题分析：由已知得,1322,26a b ab +=∴≥=≤,当且仅当11,32a b ==时，ab 的最大值为16，故选D 。
考点:1.数学期望；2.基本不等式.3。
已知随机变量X 服从正态分布N （3,1),且P(2≤X≤4）＝0.682 6，则()4P X >等于（ )A ．0。
1588B ．0.1587C ．0。
1586D ．0。
1585 【答案】B 【解析】试题分析：由已知知，正态分布曲线的对称轴为3x =，所以,()11[1(24)](10.6826)0.1587224P P X X =-≤≤=-=>,选B .考点：正态分布。
4。
某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( ) A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种 【答案】D 【解析】试题分析:根据题目的要求，4人中必须既有男生又有女生的选法有以下几种情况：三男一女；二男二女；一男三女。
江西省南昌十九中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试卷Word版含答案
第I 卷（选择题）一、选择题：（本大题共10个小题，每题5分，共50分.每题只有一个正确答案） 1、已知()2f x x =，则()3f '等于( )A ．0B ．2xC ．6D ．9 2、三视图如右图的几何体是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台 3、下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B. “a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a 、b 全不为0，则a 2＋b 2≠0” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真4、下列说法中正确的是( )A ．平行于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一平面的两个平面平行C ．平行于同一直线的两条直线平行D ．垂直于同一平面的两个平面垂直5、设a R ∈，则“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”是“1a =”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“非p ”、“非q ”、“p 或q ”、“p 且q ”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37、如图，点P 是球O 的直径AB 上的动点，PA ＝x ，过点P 且与AB 垂直的截面面积记为y ，则y ＝f (x )的大致图象是( )8( ) 9、如图，在正方体1111中，E ，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( ) A ．45° B ．60°C ．90°D ．120°10、已知点P在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是( )FDCGE1B H 1C 1D 1AA.[0,4π) B.[,)42ππC. 3(,]24ππD. 3[,)4ππ第II 卷（非选择题）二、选择题：（本大题共5个小题，每题5分，共25分.请将答案填在横线上） 11、=+=)(',2)(x f e x x f x则已知_________.. 12、命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是_________________.13、函数13+=x y 在1=x 处的切线方程是 .14、直线a y =与函数x x x f 3)(3-=的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是______.15、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16、设1x =和2x =是函数3()f x ax =+261bx x ++的两个极值点. (1)求a ，b 的值(2)求()f x 的单调区间.17、命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题:q 实数x 满足3|4|<-x若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（I ）求证：B A AC 1⊥；（Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .19、已知函数)(1)(23R a ax x x f ∈++-=，且)(x f 在点))32(,32(f 处的切线垂直于y 轴.（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在区间]2,0[上的最大值和最小值。
江西省南昌市高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、每小题5分，共60分1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2 C．4 D．4．（5分）a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台．②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥③一个平面截圆锥得到一个圆锥和一个圆台，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）如图给出的是计算1+3+5+…+99的一个程序框图，其中判断内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i＞99 C．i＜100 D．i＞1008．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m⊥α，n∥m，n⊂β，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β9．（5分）要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0B．a2+b2﹣1﹣≤0C．﹣1﹣a2b2≤0D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥010．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程必过（）；④在一个2×2列联中，由计算得K2=13.079则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表：P（K2≥k） 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积为（）A．8B．C．4πD．12．（5分）如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．异面直线A′E与BD不可能垂直B．恒有平面A′GF⊥平面BCDEC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上二、每小题5分，共20分13．（5分）i为虚数单位，复数=．14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，已知PA⊥平面AC，且PA=2，则点B到平面PCD的距离为．15．（5分）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，当n≥2时，可推测一般的结论为．16．（5分）一个红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体共有个．三、解答题．17．（10分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．18．（12分）已知函数（a＞1），求证方程f（x）=0没有负数根．19．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．20．（12分）某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：x2 4 5 6 8y2030 505070（1）画出上表数据的散点图；（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．（参考数值：，，）21．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．22．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、每小题5分，共60分1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，根据公理2以及推论判断AB，四边形有两种：空间四边形和平面四边形；C，梯形中因为有一组对边平等，故梯形是平面图形．D，利用平行线的定义、判定与性质，即可确定D解答：解：对于A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；对于B，∵四边形有两种：空间四边形和平面四边形，∴四边形不一定是平面图形，故B不成立；对于C，梯形中因为有一组对边平等，∴梯形是平面图形，故C成立．对于D，根据异面直线的定义：既不平行也不相交的直线为异面直线，可以判断当两直线没有公共点时可能平行也可能异面．故选：C．点评：本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．点评：本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2 C．4 D．考点：斜二测法画直观图．专题：规律型．分析：根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．解答：解：根据斜二测画法的原则可知OC=2，OA=1，∴对应直观图的面积为，故选：D．点评：本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1考点：复数代数形式的混合运算．分析：根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．解答：解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B点评：本题考查的知识是复数代数形式的混合运算，其中利用复数模的定义构造出关于参数a的方程，是解答本题的关键．5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．解答：解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．（5分）以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台．②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫棱锥③一个平面截圆锥得到一个圆锥和一个圆台，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①根据圆台的几何特征可以判断①的真假；②根据多面体的性质和几何体的定义来判断，采用举反例的方法来以及对概念的理解进行否定②③根据圆台的几何特征可以判断③的真假；进而得到答案．解答：解：对于①，以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故①错误；对于②，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故②错误；对于③，一个平行与底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，当截面与底面不平行时，得到的两个几何体不是圆锥和圆台，故③错误；其中正确命题的个数为0个，故选：A．点评：本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，准确理解几何体的定义，把握几何体结构特征是解题的关键7．（5分）如图给出的是计算1+3+5+…+99的一个程序框图，其中判断内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i＞99 C．i＜100 D．i＞100考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的T，i的值，当i=101时，由题意，不满足条件，退出循环，输出T的值为：1+3+…+97+99，结合选项，可得判断内应填入的条件是i＜100．解答：解：模拟执行程序框图，可得T=0，i=1T=1，i=3满足条件，T=1+3，i=5满足条件，T=1+3+5，i=7…满足条件，T=1+3+…+97，i=99满足条件，T=1+3+…+97+99，i=101此时，由题意，不满足条件，退出循环，输出T的值为：1+3+…+97+99，结合选项，可得判断内应填入的条件是i＜100．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，所以基础题．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若m⊥α，n∥m，n⊂β，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线和平面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．解答：解：A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n成立．B．若m⊥α，n∥m，则n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β成立．C．若m⊥α，α∥β，∴m⊥β，∵n⊥β，∴m∥n成立．D．若m∥α，m∥β，则α∥β或相交，故D错误，故选：D点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，利用相应的判定定理是解决本题的关键．9．（5分）要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0B．a2+b2﹣1﹣≤0C．﹣1﹣a2b2≤0D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题；分析法．分析：将左边因式分解，即可得出结论．解答：解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．故选：D．点评：综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式．10．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程必过（）；④在一个2×2列联中，由计算得K2=13.079则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是（）本题可以参考独立性检验临界值表：P（K2≥k） 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828A．0 B．1 C．2 D．3考点：线性回归方程；独立性检验的基本思想．专题：计算题．分析：整组数据整体做相同的变化，方差不变，得到①正确，根据回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减小5个单位，得到②不正确．根据根据线性回归直线一定过样本中心点，得到③正确，根据13.079＞10.828得到④不正确解答：解：∵方差反应的是一组数据的波动的大小，整组数据整体做相同的变化，方差不变，故①正确，∵回归方程，变量x增加一个单位时，y平均减小5个单位，∴②不正确，根据线性回归直线一定过样本中心点，故③正确，∵K2=13.079＞10.828则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系，故④不正确，总上可知有两个命题是不正确，故选C．点评：本题考查方差的变化特点，考查线性回归方程的意义，考查独立性检验中临界值和观测值之间的关系，考查线性回归直线一定过样本中心点，本题是一个概念辨析问题．11．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积为（）A．8B．C．4πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；画出图形，求出该三棱锥外接球的直径，再求外接球的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；如图所示，PA⊥AB，PA⊥AC，且A B∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，又AB⊥BC，∴PC是三棱锥P﹣ABC外接球的直径；又PC===2，∴该外接球的半径为PC=，外接球的体积为π•=π．故选：B．点评：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．12．（5分）如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．异面直线A′E与BD不可能垂直B．恒有平面A′GF⊥平面BCDEC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：A．建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1，0），B，A，A′（x，0，z）．由==0，解得x，因此取A′，可得A′E⊥AB，即可判断出正误；B．由于ED⊥FG，ED⊥GA′，可得ED⊥平面A′GF，即可判断出正误；C．恒有平面A′DE⊥平面BCDE时，三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值，即可判断出正误；D．由A可知动点：A′在平面ABC上的射影在线段AF上，即可判断出正误．解答：解：如图所示，A．建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1，0），B，A，A′（x，0，z）．=（﹣x，1，﹣z），=，由==0，解得x=，z==．因此取A′，可得A′E⊥AB，因此A不正确．B．∵ED⊥FG，ED⊥GA′，FG∩GA′，∴ED⊥平面A′GF，∴恒有平面A′GF⊥平面BCDE．C．恒有平面A′DE⊥平面BCDE时，三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值，正确；D．由A可知动点：A′在平面ABC上的射影在线段AF上，正确．故选：C．点评：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、每小题5分，共20分13．（5分）i为虚数单位，复数=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：复数===．故答案为：．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．14．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，已知PA⊥平面AC，且PA=2，则点B到平面PCD的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：将四棱锥P﹣ABCD补成正方体，如图所示，作BO⊥EC，则BO⊥平面PDCE，即可求出点B到平面PCD的距离．解答：解：将四棱锥P﹣ABCD补成正方体，如图所示，作BO⊥EC，则BO⊥平面PDCE，由棱长为2，可得BO=，∴点B到平面PCD的距离为．故答案为：．点评：本题考查点B到平面PCD的距离，考查学生的计算能力，正确转化是关键．15．（5分）设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，当n≥2时，可推测一般的结论为f（2n）＞．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：已知的式子可化为，，，，由此规律可得f（2n）＞．解答：解：由题意得可化为，同理f（4）＞2可化为，可化为，f（16）＞3可化为，以此类推，可得f（2n）＞，故答案为：f（2n）＞点评：本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）一个红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体共有24个．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，问题得以解决解答：解：位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个；故答案为：24点评：本题将表面涂为红色的正方体分割成若干个小正方体，求只有二面是红色的小正方体个数．着重考查了棱柱的结构特征和分类计数原理等知识，属于基础题．三、解答题．17．（10分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）几何体是正四棱锥与正方体的组合体，根据三视图判断正方体的棱长及正四棱锥的高，代入棱锥与正方体的体积公式计算；（2）利用勾股定理求出正四棱锥侧面上的斜高，代入棱锥的侧面积公式与正方体的表面积公式计算．解答：解：（1）由三视图知：几何体是正四棱锥与正方体的组合体，其中正方体的棱长为4，正四棱锥的高为2，∴几何体的体积V=43+×42×2=；（2）正四棱锥侧面上的斜高为2，∴几何体的表面积S=5×42+4××4×=．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键．18．（12分）已知函数（a＞1），求证方程f（x）=0没有负数根．考点：函数的零点．分析：对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f（x）=0有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．解答：解：假设x0是方程f（x）=0的负数根，且x0≠﹣1，则，即，①当﹣1＜x0＜0时，0＜x0+1＜1，∴，∴，而由a＞1知．∴①式不成立；当x0＜﹣1时，x0+1＜0，∴，∴，而．∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．点评：本题考查了函数的零点问题与方程的根的问题．方程的根，就是指使方程成立的未知数的值．对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明．19．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．解答：解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台﹣V圆锥=×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．所求表面积为：，体积为：．点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．20．（12分）某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：x2 4 5 6 8y2030 505070（1）画出上表数据的散点图；（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．（参考数值：，，）考点：回归分析的初步应用；线性回归方程．专题：计算题．分析：（1）根据表中所给的三个点的坐标，在坐标系中描出点，得到散点图．（2）先做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的数据，写出线性回归方程的系数，求出a的值，写出线性回归方程．（3）把广告费用的值代入线性回归方程，预报出函数的值，求出的值是一个估计值，不是发生一定会出现的值．解答：解：（1）根据表中所给的三个点的坐标，在坐标系中描出点，得到散点图．（2），因此回归直线方程为；（3）当x=10时，预报y的值为y=8.5×10+1.5=86.5．故广告费用为10万元时，所得的销售收入大约为86.5万元点评：本题考点线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是正确利用最小二乘法做系数，写出正确的方程，本题是一个基础题．21．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结SB，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）连结SD，由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1．解答：证明：（1）如图，连结SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图，连结SD，∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AB⊥AD，AB=AD=2，可得BD=2，又AD=2，CD=4，AB=2，可得BC=2，利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC．由PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BC．利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）如图，过M作MG⊥D C交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，又PD⊥平面ABCD，可得MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．利用V M﹣BDP=V P ﹣BCD﹣V M﹣BCD，即可得出．解答：（1）证明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，∴BD==2，又AD=2，CD=4，AB=2，则BC=2，∴BD2+BC2=16=DC2，∴BD⊥BC．∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．又BD∩PD=D，∴BC⊥平面BDP．（2）解：如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，∴MG∥PD，MG=PD，又PD⊥平面ABCD，∴MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．∴V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD=××2×2×2﹣××2×2×1=．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2014—2015学年度第二学期期末考试高二数学(文)参考答案与评分标准
2014-------2015学年度第二学期期末考试参考答案及评分标准高二数学（文）一、选择题1、C2、B3、B4、 D5、 C6、 A7、 A8、C9、 C10、C11、 C12、 C二、填空题(13)2(14)2(15) 4836(16) ①②③三、解答题17．（本小题满分10 分）已知A x x24x0 ,B x x 22(a1)x a 210，其中 a R ，如果【解析】化简得A A∩ B=B ，求实数a的取值范围。
0, 4 ，∵集合 B 的元素都是集合 A 的元素，∴B A 。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⑴当 B时，4(a 1)24(a 21) 0 ，解得a 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⑵当B0或 4时，4(a 1)24(a2 1) 0 ，解得a 1 ，此时 B0，满足B A ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4(a1)24(a21)0⑶当B 0, 4 时，2(a1)4，解得 a 1。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分a2 10综上所述，实数 a 的取值范围是 a 1或者 a 1 。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．（本小题满分 12 分 , 每个小题 6 分）60 ；（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于（2）已知n 0，试用分析法证明：n2n 1n 1n .【解析】（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60 ，即均小于 602分则三内角和小于180，4分这与三角形中三个内角和等于180矛盾，故假设不成立，原命题成立；6分（2）要证上式成立，需证n 2n2n 1需证 ( n 2n )2(2 n 1)28 分97.5%需证 n1n22n需证 (n1) 2n22n需证 n22n1n 22n10 分只需证 10因为 10 显然成立，所以原命题成立.12分考点：（ 1）反证法；（2）分析法 .19．（本小题满分12 分）对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？K 2n( ad bc)2附：(a b)(c d )( a c)(b d )P(K2 ≥ k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.076 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】将列联表补充完整有：有心理障碍没有心理障碍 ]总计女生102030男生107080总计2090110K 2n( ad bc)2，故选择k0 5.024 较由(a b)(c d )(a c)(b d ) ,计算可得K2 6.366 5.024为合适 .10分因此，在犯错的概率不超过0.025 的前提下认为心理障碍与性别有关，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关.12 分考点：独立性检测 .20．（本小题满分12 分）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月 7日4月15日4月 21日4月30日温差 x / C101113128发芽数 y / 颗2325302616（1）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中??的另三天的数据，求出y 关于的线性回归方程y b xx；?（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：n? bx i y i nx y? i1，a y bx ）n2?2x i nxi1【解析】 (1)由数据得 x12, y27 ，3x y972 ，3977 ，322 x i y i x i434 ， 3x432 i 1i 1由公式，得?9779725?5b27123 43443222所以 y 关于 x 的线性回归方程为?53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x2（ 2）当x 10时， ?， |22-23|2，当x 8时， ?|17-16|2，所以得到的线y 22y 17,性回归方程是可靠的 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．（本小题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当x＞0时，f ( x) ＜0，又 f (1)2。
2014-2015年江西省南昌市高二上学期期末数学试卷(甲卷)(理科)与解析
2014-2015学年江西省南昌市高二（上）期末数学试卷（甲卷）（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内）1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C．命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件3．（5分）由直线x=1，x=2，曲线y=x2及x轴所围图形的面积为（）A．3B．7C．D．4．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（5分）命题p：对任意x∈[0，+∞），（log32）x≤1，则￢p为（）A．存在x0∈[0，+∞），（log32）x0≤1，是假命题B．对任意x∈[0，+∞），（log32）x≤1，是真命题C．存在x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1，是假命题D．对任意x∈[0，+∞），（log32）x＞1，是真命题6．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．1B．2C．D．47．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件8．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（）A．a≤﹣1或a≥2B．a＜﹣1或a＞2C．a≤﹣3或a≥6D．a＜﹣3或a＞6 10．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．[，2）11．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n ∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1B．2k+3C．2（2k+1）D．2（2k+3）12．（5分）若曲线C1：ρ=2cosθ与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若z=（x2﹣1）2+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为．14．（5分）若f（x）+dx=x，则=．15．（5分）已知函数f（x）=+sinx，其导函数记为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（2015）=．16．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：曲线﹣=1为双曲线；命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数；若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．18．（12分）（Ⅰ）已知x∈R，a=x2+﹣x+1，试证明a，b，c中至少有一个不小于1．（Ⅱ）用分析法证明：若a＞0，则+2≥a++．19．（12分）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．20．（12分）数列{a n}满足a n＞0，S n=（a n+），其中m=2cosxdx．（1）求S1，S2，S3，猜想S n；（2）请用数学归纳法证明之．21．（12分）已知椭圆：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为2，离心率为，动点P在直线x=3上，过F2作直线PF2的垂线l，设l交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（2+5a）x+5lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得f （x1）＜g（x2），求a的取值范围．2014-2015学年江西省南昌市高二（上）期末数学试卷（甲卷）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内）1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵==2+i，∴在复平面上对应的点坐标是（2，1），即在第一象限，故选：A．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题C．命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件【解答】解：A、命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，A错误；B、命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny，则x≠y”，为真命题，B正确；C、命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”，C错误；D、“x2﹣5x﹣6=0”⇔“x=﹣1，或x=6”，“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，D错误；故选：B．3．（5分）由直线x=1，x=2，曲线y=x2及x轴所围图形的面积为（）A．3B．7C．D．【解答】解：先根据题意画出图形，曲线y=x2，直线x=1，x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积为：S=∫12（x2）dx而∫12（x2）dx=（）|12=﹣=∴曲边梯形的面积是故选：C．4．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．5．（5分）命题p：对任意x∈[0，+∞），（log32）x≤1，则￢p为（）A．存在x0∈[0，+∞），（log32）x0≤1，是假命题B．对任意x∈[0，+∞），（log32）x≤1，是真命题C．存在x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1，是假命题D．对任意x∈[0，+∞），（log32）x＞1，是真命题【解答】解：全称命题的否定是特称命题，并且结论要改为相反，故命题的否定是：存在x0∈[0，+∞），（log32）x0＞1，因为0＜（log32）＜1，所以对∀x∈[0，+∞），有，即命p为真命题，则￢p为假命题，故选：C．6．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．1B．2C．D．4【解答】解：∵=≠，∴m=8，直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0，∴两平行线之间的距离d==2．故选：B．7．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．8．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：在三角形AFB中，|FB|=，|AB|==c，|FA|=a+c．由FB⊥AB，则（a+c）2=（b2+c2）+c2=3c2﹣a2，整理得c2﹣ac﹣a2=0，即e2﹣e﹣1=0，解得e=，由于双曲线的e＞1，即有e=．故选：B．9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（）A．a≤﹣1或a≥2B．a＜﹣1或a＞2C．a≤﹣3或a≥6D．a＜﹣3或a＞6【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）=3x2+2ax+a+6，又∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1既有极大值又有极小值，∴3x2+2ax+a+6=0在R上有两个不相等的实根，∴△=（2a）2﹣12（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6，故选：D．10．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．[，2）【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），所以k﹣1≥0即k≥1，f′（x）=2x﹣=，令f′（x）=0，得x=或x=﹣（不在定义域内舍），由于函数在区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，所以∈（k﹣1，k+1），即k﹣1＜＜k+1，解得：﹣＜k＜，综上得1≤k＜，故选：B．11．（5分）用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n ∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是（）A．2k+1B．2k+3C．2（2k+1）D．2（2k+3）【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．12．（5分）若曲线C1：ρ=2cosθ与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：曲线C1：ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x．曲线C1：（x﹣1）2+y2=1，图象为圆心为（1，0），半径为1的圆；曲线C2：y=0，或者y﹣mx﹣m=0，直线y﹣mx﹣m=0恒过定点（﹣1，0），即曲线C2图象为x轴与恒过定点（﹣1，0）的两条直线．作图分析：k1=tan 30°=，k2=﹣tan 30°=﹣，又直线l1（或直线l2）、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m=k∈∪．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若z=（x2﹣1）2+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为﹣1．【解答】解：∵z=（x2﹣1）2+（x﹣1）i为纯虚数，∴，解得x=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）若f（x）+dx=x，则=0．【解答】解：因为f（x）∈（0，1），所以f（x）dx是个常数，不妨设为m，所以f（x）=x﹣m，其原函数F（x）=x2﹣mx+C（C为常数），所以可得方程m=﹣m，解得m=．故f（x）=x﹣．所以．故答案为：015．（5分）已知函数f（x）=+sinx，其导函数记为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（2015）=2．【解答】解：∵f（﹣x）﹣1=﹣1+sin（﹣x）=2﹣﹣1﹣sinx=﹣（﹣1+sinx）=﹣[f（x）﹣1]，∴为奇函数，而f′（x）为偶函数，则f（﹣2015）﹣1=﹣[f（2015）﹣1]，即f（2015）+f（﹣2015）=2，且f′（2015）﹣f′（2015）=0，从而f（2015）+f'（2015）+f（﹣2015）﹣f'（2015）=2，故答案为：2．16．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[15，+∞）．【解答】解：由于表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．∵不等式恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，故答案为[15，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：曲线﹣=1为双曲线；命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数；若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：p真时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解得2＜a＜6q真时，4﹣a＞1，解得，a＜3∵命题“p或q”为真，“p且q”为假，∴命题p，q一真一假当p真q假时，得3≤a＜6当p假q真时，得a≤2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]∪[3，6）18．（12分）（Ⅰ）已知x∈R，a=x2+﹣x+1，试证明a，b，c中至少有一个不小于1．（Ⅱ）用分析法证明：若a＞0，则+2≥a++．【解答】证明：（I）假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c ＜3而a+b+c=2x2﹣2x++3=2（x﹣）2+3≥3，两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）要证：+2≥a++，∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证：（+2）2≥（a++）2只需证：≥（a+），只需证：≥（+2）即证：≥2，它显然成立，∴原不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．【解答】解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知（﹣∞，）所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．20．（12分）数列{a n}满足a n＞0，S n=（a n+），其中m=2cosxdx．（1）求S1，S2，S3，猜想S n；（2）请用数学归纳法证明之．【解答】解：（1）易得：m=1．∵a n＞0，∴S n＞0，由S1=（a1+），变形整理得S12=1，取正根得S1=1．由S2=（a2+），及a2=S2﹣S1=S1﹣1得S2=（S2﹣1+），变形整理得S22=2，取正根得S2=，同理可求得S3=．由此猜想S n=．…（5分）（2）用数学归纳法证明如下：①当n=1时，上面已求出S1=1，结论成立．…（7分）②假设当n=k时，结论成立，即S k=．则n=k+1时，S k+1=（a k+1+）=（S k+1﹣S k+）=（S k+1﹣+）．整理得S k+12=k+1，取正根得Sk+1=．故当n=k+1时，结论成立．…（12分）由①、②可知，对一切n∈N+，S n=都成立．…（13分）21．（12分）已知椭圆：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为2，离心率为，动点P在直线x=3上，过F2作直线PF2的垂线l，设l交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．【解答】（1）解：由条件得：，解得：，∴椭圆E：．（5分）（2）证明：设P（3，y0），Q（x1，y1），∵PF2⊥F2Q，∴，即：2（x1﹣1）+y0y1=0，（7分）又∵，且，（10分）代入化简得：，∴直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值﹣．（12分）22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（2+5a）x+5lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得f （x1）＜g（x2），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2﹣（2+5a）x+5lnx，∴，x＞0．∵曲线y=f（x）在x=3和x=5处的切线互相平行，∴f′（3）=f′（5），即6a﹣（2+5a）+=10a﹣（2+5a）+1，解得a=．（Ⅱ）∵=，x＞0，①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，）上，f′（x）＞0；在区间（，+∞）上，f′（x）＜0．故f（x）的增区间是（0，），减区间是（，+∞）．②当0＜a＜时，．在区间（0，）和（，+∞）上，f′（x）＞0；在区间（，）上，f′（x）＜0．故f（x）的增区间是（0，），（，+∞），减区间是（，）．③当a=时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当a＞时，0＜，在区间（0，）和（）上，f′（x）＞0；在（，）上，f′（x）＜0，故f（x）的增区间是（0，），（），减区间是（）．（Ⅲ）∵，对任意，均存在，使得f（x1）＜g（x2），∴在（0，]上，有f（x）max＜g（x）max．在（0，]的最大值g（x）max=g（）=0．由（Ⅱ）知：①当a≤时，f（x）在（0，]上单调递增，故f（x）max=f（）==﹣﹣5+5ln，∴﹣﹣5+5ln＜0，解得a＞．故．②当a＞时，f（x）在（0，]上单调递增，在（，]上单调递减，故f（x）max=f（）=﹣5﹣+5ln=﹣，由a，知，∴，∴，∴a ＞． f （x ）max ＜0．综上所述a 的取值范围是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．yxo（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
江西南昌市14-15学年高二上学期期末终结性测试数学(文)试题 (扫描版含答案)
2014—2015学年度第一学期南昌市期末终结性测试卷高二数学(文科甲卷)参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）13.12；14．24π-; 15．1;16.①。
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0. ………………………………………5分 ∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真命题．……………………7分 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真命题………………10分 18．解：由题意得21ln '()2'(1)xf x f x -=+ …………………………………………4分 令1x =得1ln1'(1)2'(1)1f f -=+即'(1)1f =- ……………………………………6分 所以ln ()2x f x x x =-得ln 1()22e f e e e e e =-=-，(1)2f =- …………………10分 由1()(1)220f e f e e-=-+<得()(1)f e f < ………………………………………12分19．解：211()31,(2)13,2f x x f ''=+=（）所以………………………………………3分613(2)13320y x x y +=---=所以所求的切线方程为即………………………6分 32000002,16),()31,x x x f x x '+-=+（）设切点为（…………………………………7分 ()()3200001631()y x x x x x -+-=+-所以切线方程为 ……………………………9分()()3200001631x x x x -+-=-+因为切线过原点，所以，300216,-2x x =-=所以所以，…………………………………………………………11分 (2)13,13226f y x '-==--所以所以所求的切线方程为，切点为（，）………12分 20．解：依题意：命题p: {|15}{|1}x x x x a ≤≤≤≤辿，即5a > ………………4分 命题q:6sin 66a π<<，即36a << …………………………………………………8分因为非p 且q 是真命题。
江西省南昌十九中2014-2015学年高二(下)期中数学试卷(理科)
2014-2015学年江西省南昌十九中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题；每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．（6分）已知一个平面α，ℓ为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得（）A．ℓ∥b B．ℓ与b相交C．ℓ与b是异面直线D．ℓ⊥b考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直．解答：解：当直线a与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故A错．当直线a与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故B错．当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故c错．不管直线a与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线b垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确．故选D．点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．2．（6分）（2015春•南昌校级期中）若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为（）A．10 B．20 C．8 D．4考点：棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：如图，根据三角形的中位线定理知，EF、EH的长为其第三边的一半，根据平行四边形的周长公式即得．解答：解析：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF=GH=4，FG=HE=6，∴周长为2×（4+6）=20．答案：B．故选B．点评：本题主要考查了棱锥的结构特征，以及三角形的中位线定理，属于基础题．3．（6分）如图：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原来图形的形状是（）A．B．C．D．考点：斜二测法画直观图．专题：作图题．分析：由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．由于y'轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为2，且其在平面图中的y轴上，由此可以选出正确选项．解答：解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A选项符合题意．故应选A．点评：（1）建立直角坐标系：在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．（2）画出斜坐标系：在画直观图的纸上（平面上）画出对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45度（或135度），它们确定的平面表示水平平面．（3）画对应图形：在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变；z轴也保持不变．在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．（4）对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段．（5）擦去辅助线：图画好后，要擦去x'轴，y'轴及为画图添加的辅助线．4．（6分）（2015春•南昌校级期中）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有=x+y+z（x，y，z∈R），则x=2，y=﹣3，z=2是P，A，B，C四点共面的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．解答：解：若P，A，B，C四点共面，则满足x+y+z=1，则x=2，y=﹣3，z=2不一定成立，即必要性不成立．若x=2，y=﹣3，z=2，则满足x+y+z=2+3﹣2=1，则P，A，B，C四点共面，即充分性成立，故x=2，y=﹣3，z=2是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．5．（6分）（2015春•南昌校级期中）E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意图形折叠为三棱锥，直接求出三棱柱的体积即可．解答：解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为直角△EFC，高为1，所以三棱柱的体积：××××1=，故选：D．点评：本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．6．（6分）（2014•南阳三模）已知三棱锥的俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：利用俯视图与侧视图，我们可以画出其直观图，根据直观图，我们即可得到该三棱锥的正视图的形状．解答：解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2，故其主视图为高为2的三角形，且中间有一虚线．故选：C．点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中根据已知中三棱锥的侧视图与俯视图，画出其直观图，是解答本题的关键．7．（6分）（2015春•南昌校级期中）若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题．分析：以正三棱锥O﹣ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系，设侧棱长为1，分别求出侧面及底面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．解答：解：以正三棱锥O﹣ABC的顶点O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建系，设侧棱长为1，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），侧面OAB的法向量为=（0，0，1），底面ABC的法向量为=（，，），∴cos＜，＞==．故选B点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，向量法求二面角比较简单，但要建立恰当的坐标系．8．（6分）（2015春•南昌校级期中）在棱长不a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A．B． a C． a D． a考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．解答：解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=点评：本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．9．（6分）（2015春•南昌校级期中）在直角坐标系中，A（﹣2，3），B（3，﹣2），沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为（）A．B．4C．3D．2考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：作AD⊥x轴，垂足为D，作CD⊥x轴，BC⊥y轴，交于点C，利用余弦定理，计算AC，利用勾股定理，计算AB．解答：解：如图所示，作AD⊥x轴，垂足为D，作CD⊥x轴，BC⊥y轴，交于点C，则∠ADC=120°，AD=3，CD=2，BC=5，BC⊥AC在△ADC中，由余弦定理可得AC2=9+4﹣2×3×2×cos120°=19在△ABC中，AB==2．点评：本题考查空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（6分）（2015•江西模拟）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体，去掉两个全等的四棱锥，由此计算它的体积即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是长方体，去掉两个全等的四棱锥A﹣A1B1MN和D﹣D1C1MN，且长方体的长为2，宽为1，高为1，四棱锥的底面为边长是2和，高为1；如图所示：∴该几何体的体积为：V几何体=V长方体﹣2V四棱锥=2×1×1﹣2××2××1=．故选：C．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．11．（5分）（2015春•南昌校级期中）正四面体S﹣ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图象再取AC的中点E，连接DE，BE，则可证得∠BDE就是BD与SA所成的角，在三角形BDE中利用余弦定理求解即可．解答：解：如图取AC的中点E，连接DE、BE，则DE∥SA，∴∠BDE就是BD与SA所成的角．设SA=a，则BD=BE=，DE=，在△中，cos∠BDE===，∴BD与SA所成角的余弦值．故答案为：．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．12．（5分）过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题；存在型．分析：本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC﹣A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．解答：解：如下图示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，过三棱柱ABC﹣A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：6点评：要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．13．（5分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD 上，则PQ=a．考点：平面与平面平行的性质；棱柱的结构特征．分析：由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．解答：解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，∴MN∥PQ．∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点∴MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC，又AP=，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，∴CQ=，从而DP=DQ=，∴PQ===a．故答案为： a点评：本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明．14．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是①②④．（把你认为正确命题的序号都填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：①需要构造一个过点M且与直线AB、B1C1都相交的平面，就可判断；②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B1C1都相交的平面，即可判断．④利用线面平行的性质来判断即可．解答：解：过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，设交点为P，连接MP，则MP 与直线AB相交，∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；①正确∵直线BC∥直线B1C1，直线BC与直线AB确定平面ABCD，过点M有且只有直线D1D⊥平面ABCD 即过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥BC，∴过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥B1C1∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；②正确过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，过M点与直线B1C1有且只有一个平面，该平面与直线AB相交，∴过点M不止一个平面与直线AB、B1C1都相交，③错误过M分别作AB，B1C1的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面，该平面与AB，B1C1平行，且只有该平面与两直线平行，∴④正确故答案为①②④．点评：本题主要考查了异面直线的概念与性质，为多选题，必须逐个判断．三、解答题：本大题共5小题，共70，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．15．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA 平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG的体积．解答：解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．（4分）∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（6分）（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，∴GC⊥平面PCD．（8分）∵PF=PD=1，EF=CD=1，∴．∵GC==1，∴（12分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，是中档题．16．（14分）（2013•天心区校级二模）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）根据DE⊥平面ABCD，由线面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，则四边形AMNF 是平行四边形，从而AM∥FN，AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论．解答：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．…（2分）因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…（4分）从而AC⊥平面BDE．…（6分）（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．…（7分）取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，故四边形AMNF是平行四边形．…（10分）所以AM∥FN，因为AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，…（12分）所以AM∥平面BEF．…（14分）点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．17．（14分）（2012•石家庄一模）四棱锥的正视图和俯视图如图，其中俯视图是直角梯形．（I ）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；（II）若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；由三视图还原实物图；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（I ）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明，可得BF丄CM．（II）求出平面ADE的法向量、平面ABC的法向量，利用平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，可得求出平面ABE的法向量，计算，即可得到直线AD与平面ABE所成角的正弦值．解答：解：（I ）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，总有BF丄CM．取BC中点O，连接AO，由俯视图可知，AO⊥面BCDE，取DE中点H，连接OH，OH⊥BC以OC、OH、OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设A（0，0，），B（﹣1，0，0），C（1，0，0）∴F（）设M（x，2x，（1﹣x）），∴，∴，∴BF丄CM．（II）D（1，2，0），设A（0，0，a）（a＞0），∴设平面ADE的法向量为，∴∴，∴可取∵平面ABC的法向量为∴∵平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，∴，解得设平面ABE的法向量为，∵∴∴，∴可取∴∴直线AD与平面ABE所成角的正弦值为．点评：本题考查三视图与直观图的转换，考查线线垂直，考查直线与平面的所成角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．18．（15分）（2015•银川模拟）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB=，点D 是线段BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设A1B∩AB1=O，连接OD，利用三角形的中位线定理可得：A1C∥OD，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．解答：（1）证明：如图，设A1B∩AB1=O，连接OD，则OD为三角形A1BC的中位线，∴A1C∥OD，OD⊆平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D；（2）解：当三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积最大时，体积最大，∵2AC•BC﹣AC•BC=AC•BC，∴当AC=BC，三角形ABC为正三角形时面积取最大值，以D为原点建立如图所示坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B1（0，﹣1，2），，∴=（，0，0），=（0，﹣1，2），，设平面AB1D的法向量为，由，得，取z=1，得y=2．∴，则直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值为sinθ=||=||=．点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，训练了利用空间向量求线面角，属于中档题．19．（15分）（2007•辽宁）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角M﹣DE﹣A为30°．（I）证明：A1B1⊥C1D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接CD，根据三垂线定理可得AB⊥C1D，而A1B1平行AB，从而A1B1⊥C1D；（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，根据定义可知∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，在Rt△GAF中，∠GFA=30°，求出A到平面MDE的距离，再根据线面平行可知C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等．解答：解：（I）证明：连接CD，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影．∵△ABC 中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D（II）解：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影∴MF⊥DE∴∠MFA为二面角M﹣DE﹣A的平面角，∠MFA=30°在Rt△MAF中，，∠MFA=30°，∴作AG⊥MF，垂足为G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE在Rt△GAF中，∠GFA=30°，，∴，即A到平面MDE的距离为∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为．点评：本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题．。
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南昌十九中2014～2015学年度第二学期高二年级期末考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. .设i z -=1（i 是虚数单位），则22z z+= A.1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2. 下列命题中，真命题是()B ．∀x ∈R, 2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 3.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (a )＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或24. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A.12B. 1C.34D.325.若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．7=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k6．设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.D.7．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∈Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}8.函数的图像大致是( )9.当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22)B ．(22，1) C ．(1，2)D ．(2，2)10．奇函数f (x )、偶函数g (x )的图像分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0，g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b ＝( )A. 14B. 10C. 7D. 3第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11.在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 .12.已知不等式210ax bx +->的解集为{}34x x <<，则实数a = .13.若一个球的表面积为100π，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为124,3r r ==．则两截面间的距离为________.14.定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，都有f (x ＋8)＝f (x )＋f (4)，且x ∈时，f (x )＝4－x ，则f (2 015)的值为________．15.给出下列四个命题：①若a <b ，则a 2<b 2；②若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；③若正整数m 和n 满足m <n ，则m (n －m )≤n 2；④若x >0，且x ≠1，则ln x ＋1ln x≥2. 其中真命题的序号是________．(请把真命题的序号都填上)三、解答题（本大题共6小题，共75分．）16.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．17.(1)从x ,y 中各取一个数，求x+y ≥10的概率；(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为113y x =+与1122y x =+，试利 用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好.18.已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a R ∈． (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值； (2)当0a <时，解不等式f (x )>1．19.已知函数()3f x x x a =---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-；()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．20.在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上． （Ⅰ）求证：B A BC 1⊥；（Ⅱ）若=AD ，2==BC AB ，P 为AC 的中点，求三棱锥BC A P 1-的体积．21、设函数)3(log )(a x x f a -= 0(>a 且)1≠a ,当点),(y x P 是函数)(x f y =图象上的点时，点),2(y a x Q --是函数)(x g y =图象上的点. (1)写出函数)(x g y =的解析式；(2)若当[]3,2++∈a a x 时，恒有1)()(≤-x g x f ,试确定a 的取值范围.第20题图BACDP1B 1A 1C南昌十九中2014～2015学年度第二学期高二年级期末考试数学（文科）试题答案1.C2.D3.B4.A5.D6.D7.C8. C9.B 10.B11. 1 12.121-13.1或7 14.3 15. ②③ 16. (1)2 (2)(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析 由已知得：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝，∴⎩⎨⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴⎩⎨⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2，即实数m 的值为2. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.17.【解】（1）从x,y 各取一个数组成数对(x ,y )，共有25对，……………………………其中满足10≥+y x 的有)5,8(),4,8(),3,8(),2,8(),5,7(),4,7(),3,7(),5,6(),4,6(，共9对 故所求概率为259=P ，所以使10≥+y x 的概率为259．…………………………… （2）用131+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为 37)5311()4310()33()22()134(222221=-+-+-+-+-=S ．………………………用2121+=x y 作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为21)529()44()327()22()11(222222=-+-+-+-+-=S ．………………………12S S < ，故用直线2121+=x y 拟合程度更好．……………………………18.解：(1) 20411748a a a<⎧⎪⎨--=⎪⎩12.8a ⇒=--或(2) ax 2＋x －a >12110(1)()0a ax x a a x x a+⇒>⇒-+>＋－－B 1C 1A 1CD PA 1(1)()0a x x a+⇒-+< 当11a a +>-即12a <-时，1(,1);a x a +∈-当11a a +<-即102a -<<时，1(1,);a x a +∈-当11a a +=-即12a =-时，.x ∈∅ 19解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩…… 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥… (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----……∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞……20.（Ⅰ）证明： 三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，∴⊥A A 1平面ABC ， 又⊂BC 平面ABC ，∴BC A A ⊥1AD ⊥平面1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ，∴BC AD ⊥.第又 ⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1,A AD A A =⋂1，∴BC ⊥平面1A AB ， 又⊂B A 1平面BC A 1，∴ B A BC 1⊥（2）在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB .AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,∴B A AD 1⊥.在Rt ABD ∠∆中，AD =AB BC ==2，sin AD ABD AB ∠==060ABD ∠=在1Rt ABA ∠∆中， tan AA AB =⋅=0160由（1）知BC ⊥平面1A AB ，⊂AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥2222121=⨯⨯=⋅=⋅∆BC AB S ABCP 为AC 的中点，121==∆∆ABC BCP S S∴=-BCA P V 111111333A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯= 21解：解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′. ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aax -1. (2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0, 又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log a ax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)| ,又|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a . H(x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为增函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579-.。