江西省南昌市第二中学2014届高三数学上学期第三次考试试题 文 新人教A版
高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
江西省南昌市2014届高三第三次模拟考试数学文试题 Word版含答案
2014年江西省南昌市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]2．i是虚数单位，的共轭复数为（）A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（）A．B．C．D．5．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC6．程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（）（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形8．设{a n}为等差数列，且a3+a7﹣a10=2，a11﹣a4=7，则数列{a n}的前13项的和为S13=（）A．63 B．109 C．117 D．2109．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g （x）=log a（x+k）的图象是（）二、填空题（共5小题，每小题5分，共20分）11．函数f（x）=sin（x+）+asin（x﹣）的一条对称轴方程为x=，则a=_________．12．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD、BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=_________．13．已知函数f（x）满足，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是_________．14．已知圆G：x2+y2﹣2x﹣2y=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M（m，0）（m＞a），倾斜角为π的直线l交椭圆于C，D两点，若点N（3，0）在以线段CD为直径的圆E的外部，则m的取值范围是_________．15．若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是_________．三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召N名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数．（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．17．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．（1）求证：平面PAD与平面PAB垂直；（2）求直线PC与直线AB所成角的余弦值．20．（13分）已知函数在x=3处的切线方程为（2a﹣1）x﹣2y+3=0（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax 围成的三角形面积为定值；（2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m﹣x）=k对于定义域内的任意x 都成立；21．（14分）过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A做斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．。
江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第三次考试数学(理)试卷(含答案)
南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第三次考试数学（理）试卷一、选择题（每题5分，满分50分）1. 设全集{}{},|10,1,2U R A x ax B ==+==若()U A C B ⋂=∅则实数a 的取值集合是A. {}0 B. ∅ C. 11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ D. 11,,02⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2. 设,a b 为向量，则"//"a b 是""a b a b ∙=∙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要3. =A. B. C. 1- D.4. 对于R 上可导函数()f x ，若满足()()10x f x '-∙≤ ，则下列结论正确的是A. ()f x 在R 上单调递增B. ()f x 在R 上单调递减C. ()f x 有极大值()1fD. ()f x 有极小值()1f5. 已知数列{}n a 满足115,1n n a a a +==+，则10a = （ ） A. 120 B. 121 C. 122 D. 1236.已知ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=,则AOB ∠=A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 7. 已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在12x π=时有极大值，且函数()cos 4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减，则ω的值为A. 1B. 2C. 14D. 268. 设函数()()ln ,ln x xf x x eg x x e --=+=-的零点分别为12,x x ，则A. 122x x ∙≥B. 1212x x <∙<C. 1201x x <∙<D. 121x x ∙= 9. 已知定义在R 上的函数()(),f x g x 满足：()()()0,0xf x ag x g x -∙=≠①②()()()()()()()()115,,112f f f x g x f x g x g g -''+=∙<∙-③④ 设数列()()()f n n N g n +⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则n S 的取值范围是A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭10. 对于函数()y f x =，如果存在区间[],m n ，同时满足下列条件：①()[],f x m n 在内是单调的；②当定义域是[],m n 时，()[][],,f x m n m n 的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”.若函数()()110a f x a a x+=-> 有“和谐区间”，则函数()()32111532g x x ax a x =++-+的极值点12,x x 满足 A. ()()120,1,1,x x ∈∈+∞ B. ()()12,0,0,1x x ∈-∞∈ C. ()()12,0,,0x x ∈-∞∈-∞ D. ()()121,,1,x x ∈+∞∈+∞ 二、填空题（每题5分，满分25分）11. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1010,S 3,S ==-则18nS ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为__________.12. 命题P ：2,10,x R x x ∀∈-+>的“否定”是_____________. 13. 在锐角ABC 中，角,,A B C 所对应的边为,,a b c ，已知)cos sin sin 0C A A B +-∙=,则tan B =_______________.14. 已知函数()21y f x x =-+是定义在R 上的奇函数，且()01f =-，若()()11g x f x =-+，则()3g -=_______________.15. 函数()()ln ,0,f x x x x =∈+∞的极小值是______________. 三、解答题16.(本小题12分)设函数()212sin cos 23f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）ABC 的三边,,a b c 所对的内角分别为,,A B C ,若5b =，且12B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求ABC 面积的最大值.17.（本小题12分）已知数列{}4log n a 是等差数列，42133log ,202a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}4log n a 的前n 项和.18. （本小题12分）在平面直角坐标系xoy 上，设向量()2cos ,sin OA αα=，()2cos ,sin OB ββ=， 3455OM OA OB =+，点M 在椭圆2244x y +=上，O 是坐标系原点.（1）求()cos αβ-的值；（2）设66,0,,0,2OA OBOC OD ON ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求证2 2.NC ND +=19. (本小题12分)设a R ∈，函数()11ln f x a x x=+-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）讨论()f x 在()0,e 上的单调性.20. (本小题13分)设函数()()21,0f x x x =+>. （1）数列{}n a 满足()()1111,,n n a a n N f a ++==∈，求数列{}n a 的通项公式及数列 {}12nn n a a +的前n 项和；（2）设函数()()()21112g x x f x =+-⎡⎤⎣⎦，试比较()()()22n n n g x g x n N +++∈⎡⎤⎣⎦与的 大小,并说明理由.21. (本小题14分)已知函数()()()221,1cos xf x x eg x ax x x x -=+=-++.（1）若()f x 在1x =-处的切线与()g x 在0x =处的切线互相垂直，求a 的值；（2）求证()()[]11,0,1xx x ex e x -+≥-∈；（3）求证：当2a ≤-时，()()f x g x ≥在区间[]0,1上恒成立.南昌二中2013—2014学年度上学期第三次考试高三数学（理）参考答案一． 选择题1—5 DCDDC 6—10 DBDBB二．填空题11.252 12.2,10x R x x ∃∈-+<1e -三．解答题16.（1）()1cos 2cos cos 2sin sin 2cos 22332f x x x x x x ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴== （2）sin 126B f B π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，(0,)623B B B ππππ∈∴+=∴=2221cos 22a c b B ac+-∴== 整理得：22225a c ac b +-==由基本不等式可得：2225a c ac ac ac +-≥∴≤ 则1253253sin .22ABCSac B =≤= 17.（1） {}4log n a 是等差数列，则414342log log 2log 3,a a a +==131364,20a a a a ∴=+=又，联立两式，解得：1133416164a a a a ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或当13416a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，434231log log 222d a a =-=-=，()44111log =log 122n n a a n ++-=，则22n n a =；当13164a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，434231log log 122d a a =-=-=-，()44115log =log 1()22n na a n -+--=，则52n n a -=(2) 设{}4log n a 的前n 项和为n S当13416a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时， ()()11132224n n n n n a a n n S +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=== ；当13164a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时， ()()15292224n n n n n a a n n S -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭=== .18.（1）由题意可得：， 346834cos cos ,sin sin 555555OM OA OB αβαβ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭则6834cos cos ,sin sin 5555M αβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程得： 226834cos cos 4sin sin 45555αβαβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 展开整理可得()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ+=-=（2）sin sin cos cos ,22OA OB ON αβαβ++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，cos cos sin sin 0αβαβ+=又 ∴ ()22sin sin cos cos 422αβαβ+⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴点N 在椭圆P 22:42x y +=上，则椭圆P 的两焦点为,C D ,有椭圆的定义可得2NC ND a +==19.（1）1a =时，()11ln f x x x =+- ，()()10,,1ln x e f x x x∈=+- 则()()()211,12,12f x f f x x''=--=-= ， 则切线方程为24y x =-+ （2）()()()10,,1ln x e f x a x x ∈=+-，()2211,a axf x x x x+'=--=- ()()010,0,,0a x e f x '≥∈<当时恒成立，则()()0,f x e 在上单调递减；012,e a ≥当-时即10a e-≤< ，()()0,,0x e f x '∈>恒成立，则()()0,f x e 在上单调递增；013-,e a <<当0时即1a e <-，当()10,0x f x a ⎛⎫'∈-< ⎪⎝⎭时，则 ()10,-f x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭在上单调递减；当()1,0x e f x a ⎛⎫'∈-> ⎪⎝⎭时，则()1,f x e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在上单调递增.20.（1）由题设可知：()111221n n n n na a f a a a +===++；变形可得1121,n na a +=+111121n n a a +⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11n a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭数列 是以111a +为首项公比2的等比数列，则11111212n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，121n n a ∴=- 设11111112221212121n nn n n n n n n b a a +++===-----设n S 为{}n b 的前n 项和则：1212231111111 (212121212121)n n n n S b b b +=+++=-+-++------- 11112212121n n n +++-=-=--（2）()()212112g x x x x x=+=+，则 ()()()112222nnn nn n n g x g x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=++-++⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122121111...22n n n n n n n n C xC x C x x x x----=++++- 111222211112211111111...222n n n n n n nn n n n n n n n n C x C x C x C x C x C x x x x x x x ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121...2222220n n n n n n n C C C -≥++++-≥-+-=，()()22nn ng x g x ⎡⎤∴+≥+⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 21.（1）()()()22211x f x x e f e -'=---=则 ；()2cos sin g x a x x x x '=-+-()01g a '=+，由题设可得：()221111e a a e+=-∴=-- （2）设()()()11x x F x x e x e -=+--，则()()21x x F x xe e -'=-，当(]0,1x ∈时，()0F x '≥恒成立，()[]0,1f x x ∴∈在时，为单调递增函数，()()min 00F x f == 则()()110x x x e x e -+--≥恒成立，则()()11x x x e x e -+≥-（1） 由（2）可得-211x xe x-≥+， ()()()()()22211cos 11cos x f x g x x e ax x x x x ax x x x --=+--++≥---++()()21cos cos 1a x x x x x x x a =-++-=---设()cos 1G x x x a =---，则()(]()1sin ,0,1,0G x x x G x ''=+∈>恒成立，[]()()0,1,02x G x G a ∴∈≥=--时，又()2,0a G x ≤-∴≥恒成立，()()()cos 10f x g x x x x a ∴-≥---≥恒成立，即()()f x g x ∴≥恒成立.。
江西省南昌市第二中学高三数学上学期第三次考试试题
江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第三次考试数学（文）试卷一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分）1. 已知A ＝{－1，0，1}，B ＝{y|y=sinx,x∈A},则A∩B＝（ ） A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {0，－1}2. 已知θ∈（π，32π），cos θ＝－45,则tan(4π－θ)＝（ ） A. 7B. 17C. －17D. －73. 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若65911a a =，则119SS =( ) A. 1B. －1C. 2D.12 4. 已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则a b＝( )A. 13B. 23C. －23D. －135. 已知数列{a n }中，a 1＝0，a n+1，则a 2013＝( )A. 06. 函数f (x )＝2sin(2x －3π)的图象的一条对称轴方程是( ) A. x ＝12πB. x ＝6πC. x ＝512πD. x ＝3π7. 在△ABC 中，若a sinA+bsinB<csinC ，则△ABC 的形状是( )三角形. A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 等边8. 等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若22012OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r，且A ，B ，C 三点共线（O 为该直线外一点），则S 2013＝( ) A.20132B. 2013C. 22013D. 2-20139. 已知O 在△ABC 的内部，满足：40OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( ) A. 3:2B. 2:3C. 5:4D. 4:510. 已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅r r r在R 上有极值，则a r 与b r的夹角θ范围是( )A. (0，6π) B. （6π，π] C. [3π，π] D. (3π，23π]二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25份）11. 已知：(1,2),(4,2)a b =-=r r，且2a a b -r r r 与的夹角为θ，则cos θ＝___________.12. 在△ABC 中，若（a +b －c ）(a +b +c )＝ab ，则角C ＝______________. 13. 已知θ∈（0，2π）且sin 2θ+cos2θ＝14，则tan θ＝___________.14. 数列{a n }中，前n 项和为S n 且S n ＝n －5a n －85，则a n ＝__________. 15. 有限数列A ＝（a 1，a 2，a 3……a n ），S n 为其前n 项和，定义：123ns s s s n+++L 为A 的“四维光军和”。
高三数学上学期周练试卷(十)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++=．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P （0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值X围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值X围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值X围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的X围结合已知数据即可算出|的取值X围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值X围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的X围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值X围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。
江西省南昌二中2014届高三数学最后一次模拟考试试题 理 新人教A版
江西省南昌二中2014届高三数学最后一次模拟考试试题 理 新人教A 版一、选择题1. 对于集合U 的子集,,M N M N 若是的真子集，则下列集合中必为空集合的是( ).();U A C M N .();U B M C N .()();U U C C M C N .D M N2.设函数()()f xg x ==()()f x g x ⋅的定义域是( ) 23.,32A ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 3.(,)2B +∞ 2.,3C ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 23.,32D ⎛⎤⎥⎝⎦3.{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,566778,,S S S S S S <=>,则下列错误的是（ ）.0A d < 7.0B a = 95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值；4.下列命题：①经过三点可以确定一个平面；②复数2iZ =在复平面上对应的点在第四象限； ③已知平面//;a a αβααββ⊥⊥，，若平面且平面平面，则平面④若回归直线方程的斜率的估计值是1.23,样本的中心点为(4,5)，则回归直线的方程是：ˆ 1.230.08;yx =+以上命题中错误的命题个数是（ ） .0A.1B .2C .3D 5. 从1,2,3,,10这10个数中选出互不相邻的3个数的方法种数是（ ） .56A .57B .58C .60D6.在ABC ∆中，90,C P ∠=为三角形内一点且PAB PBC PCA S S S ∆∆∆==,则222PA PB PC +=( ).2A B C .5D7. ,a b 是方程220mx nx +-=的两个不等的实数根，且点(,)M m n 在圆22:1C x y += 上，那么过点2(,)A a a 和2(,)B b b 的直线与圆C 的位置关系（ ） .A 相离.B 相切 .C 相交 .D 随,m n 的变化而变化 8. 两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A 事件为”从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为”从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P (A|B)等于( ) A.25B.35100C.78D.57A．15 B．．72010. 如图，正方形ABCD的顶点，顶点C D、位于第一象限，直将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左()s f t=的图象大致是（）二、填空题11.计算44(cos sin)x x dxππ--=⎰ .12. 设双曲线的渐近线为xy23±=，则其离心率为 .15,,0,,3,5,4ABCABC AB a AC b a b S a b a bθ∆∆==⋅<===13.已知中，则与的夹角为14.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝。
江西省南昌市第二中学高三数学上学期第三次考试试题
南昌二中2014—2015学年度上学期第三次考试高三数学（文）试卷【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，很多题由多个知识点构成，在适当的规划和难度控制下，效果明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情况.一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每题5分，共50分）【题文】1. 设集合{|1A x =-≤x≤2},B=},04|{2R x x x x ∈>-,则)(B C A R ⋂= A.［1,2］ B.［0,2］ C. ［1,4］ D.［0,4］【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣4x ＞0，x ∈R}={x ＞4，或x ＜0}， ∴R C B={x|0≤x≤4}，∴)(B C A R ⋂={x|0≤x≤2}．故选B ．【思路点拨】利用不等式的性质，结合题设条件先求出R C B，再求)(B C A R ⋂的值．【题文】2. 设i z -=1（i 是虚数单位），则22z z +=A.1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +【知识点】复数代数形式的混合运算．L4【答案解析】C 解析：∵i z -=1，∴22z z +===1+i ﹣2i=1﹣i ，故选：C ．【思路点拨】根据复数的四则运算进行化简即可得到结论． 【题文】3．以q 为公比的等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“1>q ”的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】A 解析：在等比数列中，若a1＜a3，则a1＜a1q2， ∵a1＞0，∴q2＞1，即q ＞1或q ＜﹣1． 若q ＞1，则a1q2＞a1，即a1＜a3成立，∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分条件，故选：A ．【思路点拨】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【题文】4．若点M （y x ,）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-001012x y x y x 上的一个动点，则y x 2+的最大值是A ．1-B ．21-C ．0D ．1【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】 D 解析：由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-001012x y x y x 作出可行域如图，令z=x+2y，化为直线方程的斜截式得：，由图可知，当直线过可行域内的点A （0，）时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大，最大值为z=0+2×=1．故选：D ．【思路点拨】由约束条件作出可行域，令z=x+2y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入z=x+2y 得答案．【题文】5．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．7=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k 【知识点】程序框图．L1【答案解析】D 解析：当k=10时，S=1+10=11，k=9，当k=9时，S=11+9=20，k=8， 当k=8时，S=20+8=28，k=7， 当k=7时，S=28+7=35，k=6， 此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k 的条件是k ＞6， 故选：D ．【思路点拨】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论． 【题文】6．已知实数x ，y 满足ax ＜ay(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是 A ．1x2＋1＞1y2＋1 B ．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C ．sin x ＞sin y D ．x3＞y3 【知识点】指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质.B6 【答案解析】D 解析：∵实数x ，y 满足ax ＜ay （0＜a ＜1），∴x ＞y ，A ．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x2＜y2不成立．B ．若ln （x2+1）＞ln （y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x2＞y2不成立．C ．当x=π，y=时，满足x ＞y ，但sinx ＞siny 不成立．D ．当x ＞y 时，x3＞y3，恒成立， 故选：D ． 【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【题文】7．函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f π1)(，下列结论不正确的 A ．此函数为偶函数． B ．此函数是周期函数． C ．此函数既有最大值也有最小值． D ．方程1)]([=x f f 的解为1=x ．【知识点】分段函数的应用．B10【答案解析】D 解析：A ．若x 为有理数，则﹣x 也为有理数，∴f（﹣x ）=f （x ）=1， 若x 为无理数，则﹣x 也无有理数，∴f（﹣x ）=f （x ）=π，∴恒有f （﹣x ）=f （x ），∴函数f （x ）为偶函数．∴A 正确．B ．设T 为一个正数．当T 为无理数时，有f （0）=1，f （0+T ）=f （T ）=π，∴f （0）=f （0+T ）不成立，∴T 不可能是f （x ）的周期；当T 为有理数时，若x 为有理数，易知x+kT （k 为整数）还是有理数，有f （x+T ）=f （x ）， 若x 为无理数，易知x+kT （k 为整数）还是无理数，仍有f （x+T ）=f （x ）．综上可知，任意非0有理数都是f （x ）的周期．此命题也是对的．C ．由分段 函数的表达式可知，当x 为有理数时，f （x ）=1，当x 为无理数时，f （x ）=π， ∴函数的最大值为π，最小值为1，∴C 正确．D ．当x 为有理数时，f （x ）=1，则f[f （x ）]=f （1）=1，此时方程成立． 当x 为无理数时，f （x ）=π，则f[f （x ）]=f （π）=π，∴D 错误． 故选：D ．【思路点拨】根据分段函数的表达式，分别利用函数奇偶性，周期性和函数的单调性的性质进行判断即可．【题文】8．不等式2162a b x x b a +<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是A ．(2,0)-B ．(,2)(0,)-∞-+∞UC ．(4,2)-D ．(,4)(2,)-∞-+∞U【知识点】一元二次不等式的解法．E3【答案解析】C 解析：对任意a ，b ∈（0，+∞），，所以只需x2+2x ＜8,即（x ﹣2）（x+4）＜0，解得x ∈（﹣4，2）,故选C【思路点拨】由已知，只需x2+2x 小于16a bba +的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．【题文】9．设函数()ϕω+=x A x f sin )((0,0,)22A ππωϕ≠>-<<的图像关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则A ．)(x f 的图象过点1(0,)2B ．)(x f 在2[,]123ππ上是减函数C ．)(x f 的一个对称中心是5(,0)12πD ．)(x f 的最大值是A【知识点】正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法．C3 【答案解析】C 解析：函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的周期π，所以ω==2；函数图象关于直线对称，所以，因为，所以φ=，函数的解析式为 f （x ）=Asin （2x+），f （x ）的图象过点不正确；f （x ）在上是减函数，不正确，f （x ）的最大值是|A|，所以D 不正确；x=时，函数f （x ）=0，所以f （x ）的一个对称中心是，正确； 故选C【思路点拨】通过函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的周期，求出ω，利用函数图象的对称轴，求出φ，得到函数的解析式，然后判断选项的正误即可．【题文】10．设函数()sin cos =+f x x x x的图像在点()(),t f t 处切线的斜率为k ，则函数()=k g t 的图像为A B C D【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】B 解析：∵f （x ）=x sinx+cosx ∴f'（x ）=（x sinx ）'+（cosx ）'=x （sinx ）'+（x ）'sinx+（cosx ）'=x cosx+sinx ﹣sinx=x cosx∴k=g （t ）=tcost ，根据y=cosx 的图象可知g （t ）应该为奇函数且当x ＞0时g （t ）＞0 故选B ．【思路点拨】先对函数f （x ）进行求导运算，根据在点（t ，f （t ））处切线的斜率为在点（t ，f （t ））处的导数值，可得答案．二、填空题（5小题，每题5分，共25分）【题文】11．平面向量a ρ与b ρ的夹角为120o，)0,2(=a ρ，1=b ρ，则b a ρρ2-=________ .【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】23 解析：由题意可得 =||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，∴|﹣2|====2，故答案为：．【思路点拨】由题意可得 =||•||•cos120°的值，再根据|﹣2|=，计算求得结果．【题文】12．已知等差数列{}n a 的公差0d >，若1220152015m a a a a +++=L()m N +∈，m =_____.【知识点】等差数列的性质．D2【答案解析】1008 解析：∵等差数列{an}中，∴a1+a2+…+a2015=2015a1008， ∵a1+a2+…+a2015=2015am，∴m=1008．故答案为：1008． 【思路点拨】直接利用等差数列性质，即可得出结论．【题文】13．已知矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，在矩形ABCD 内随机取一点M ,则BC BM < 的概率为__________ .【知识点】几何概型．K3【答案解析】8π解析：四边形ABCD 的面积为2．BM ＜BC 表示以B 为圆心，1为半径的圆在矩形ABCD 内部的部分，面积为，∴BM＜BC 的概率为=．故答案为：．【思路点拨】本题为几何概型，由题意通过圆和矩形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【题文】14．已知=2，=3，=4，…，若=6（a ，t 均为正实数）．类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t+a= _________ ．2014考2201420 【知识点】类比推理．M1【答案解析】41 解析：观察下列等式=2， =3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35，a+t=41． 故答案为：41．【思路点拨】观察所给的等式，等号右边是，，…第n 个应该是，左边的式子，写出结果．【题文】15．下列命题：①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低； ②已知线性回归方程为x y ˆ23ˆ+=，当变量x 增加1个单位，其预报值平均增加2个单位； ③某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如右图所示，假设得分值的中位数为me ，平均值为，众数为mo ，则me=mo ＜；④设a 、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3； ⑤不等式x＋x－1<a 的解集为φ，则1<a.其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）. 【知识点】频率分布直方图.菁I2【答案解析】②④ 解析：对于①，相关系数r 的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，∴①错误；对于②，线性回归方程=3+2中，当变量x增加1个单位时，其预报值平均增加2个单位，是正确的；对于③，根据频率分布直方图得，众数mo 最小，平均值最大，∴③错误；对于④，它的逆否命题是：设a、b∈R，若a=3且b=3，则a+b=6，是真命题，∴原命题也是真命题，④正确；对于⑤，由绝对值的意义知|x|+|x﹣1|的最小值为1，∴|x|+|x﹣1|＜a的解集为空集时，a≤1，∴⑤错误．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．【思路点拨】①根据相关系数r的意义判断即可；②根据线性回归方程中相关系数的意义判断即可；③根据频率分布直方图以及众数、中位数和平均数的意义进行判断即可；④根据原命题与逆否命题的真假性相同，进行判断即可；⑤根据绝对值的意义以及不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的关系，即可得出a的取值范围．三、解答题：（6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求参加测试的总人数及分数在[80，90）之间的人数；（Ⅱ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，恰有一份分数在[90，100）之间的概率．【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．K2 I2【答案解析】（Ⅰ）4；（Ⅱ）8 15。
江西省南昌市第二中学高三数学上学期第三次考试试题 理(含解析)新人教A版
南昌二中2014—2015学年度上学期第三次考试高三数学（理）试卷【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，很多题由多个知识点构成，在适当的规划和难度控制下，效果明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情况.一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．【题文】1.{}{}等于，则，已知集合N M x x N x x M 1log |11|2<=<<-=( ) A.{}10|<<x x B.{}21-|<<x x C.{}01-|<<x x D.{}11-|<<x x 【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】A 解析：由N 中的不等式变形得：log2x ＜1=log22，即0＜x ＜2， ∴N={x|0＜x ＜2}，∵M={x|﹣1＜x ＜1}，∴M∩N={x|0＜x ＜1}．故选：A ． 【思路点拨】求出N 中不等式的解集确定出N ，找出M 与N 的交集即可． 【题文】2．下列命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320,x x -+= 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则2320x x -+≠”.B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．对于命题:,p x R ∀∈210,x x ++> 则:,p x R ⌝∃∈210.x x ++≤ D ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题.【知识点】特称命题；复合命题的真假；命题的真假判断与应用．A2【答案解析】D 解析：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．选项A 正确；若x=1，则x2﹣3x+2=0．反之，若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2． ∴“x=1是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．选项B 正确；命题p ：∀x ∈R ，x2+x+1＞0为全称命题，其否定为特称命题，即￢p ：∃x0∈R，．选项C 正确；若p ∧q 为假命题，则p 或q 为假命题．选项D 错误．故选：D ．【思路点拨】直接写出原命题的逆否命题判断A ；求出一元二次方程x2﹣3x+2=0的解判断B ；直接写出全称命题的否定判断C ；由复合命题的真值表判断D ．【题文】3．已知3cos()45x π-=，则sin 2x =（ ）A ．1825B ．725 C ．725- D ．1625-【知识点】二倍角的正弦．C6 【答案解析】C 解析：∵cos2（﹣x ）=2cos2（﹣x ）﹣1=﹣，∴cos （﹣2x ）=﹣即sin2x=﹣．故选：C ． 【思路点拨】根据倍角公式cos2（﹣x ）=2cos2（﹣x ）﹣1，根据诱导公式得sin2x=cos （﹣2x ）得出答案．【题文】4．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-)7()7(3)3()(6x a x x a x f x ，若数列}{n a 满足)(n f a n =，且}{n a 单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．)3,2(B ．)3,1(C ．)3,49(D ．)3,49[【知识点】数列的函数特性．D1【答案解析】A 解析：根据题意，an=f （n ）=；要使{an}是递增数列，必有；解可得，2＜a ＜3；故选A ．【思路点拨】根据题意，首先可得an 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，【题文】5．在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，ABC S ∆，则A B A C ⋅的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】D 解析：∵=，∴sinA=；∴cosA=±∴==4×1×（±）=±2，故选：D ．【思路点拨】先根据三角形的面积公式可求得A 的正弦值，从而可求得余弦值，根据向量的数量积运算可得到AB AC ⋅的值．【题文】6．由曲线1=xy ，直线3,==y x y 所围成的平面图形的面积为( )A.329B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3【知识点】定积分在求面积中的应用．B13【答案解析】D 解析：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（3﹣）dx+（3﹣x）dx=（3x﹣lnx ）+（3x ﹣x2）=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣﹣3+）=4﹣ln3，故选：D．【思路点拨】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．【题文】7．若32()132x af x x x=-++函数在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a的取值范围是( )A.52,2⎛⎫⎪⎝⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.102,3⎛⎫⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【知识点】利用导数研究函数的极值．B12【答案解析】C 解析：∵函数f（x）=﹣x2+x+1，∴f′（x）=x2﹣ax+1，若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则f′（x）=x2﹣ax+1在区间（，3）内有零点，即f′（）•f′（3）＜0 即（﹣a+1）•（9﹣3a+1）＜0，解得2＜a ＜．故选C．【思路点拨】由函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上有极值点，我们易得函数的导函数在区间（，3）内有零点，结合零点存在定理，我们易构造出一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．【题文】8.设函数()()()ϕωϕω+++=xxxf cossin(0,)2πωφ><的最小正周期为π，且()()x fxf=-，则（）．A．()(0,)2f xπ在单调递减 B．()x f在3(,)44ππ单调递减C．()(0,)2f xπ在单调递增 D．()x f在3(,)44ππ单调递增【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．C4【答案解析】A 解析：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x ）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．【思路点拨】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【题文】9．函数)(xfy=在[0，2]上单调递增，且函数)2(+xf是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f （）＜f （）B．f （）＜f（1）＜f （）C．f （）＜f （）＜f（1）D．f （）＜f（1）＜f （）【知识点】奇偶性与单调性的综合．B3 B4【答案解析】B 解析：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）即f （1）=f （3）∵f（）＜f （3）＜f （），∴f（）＜f （1）＜f （），故选B【思路点拨】由已知中函数y=f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x+2）是偶函数，我们可得函数y=f （x ）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f （x ）满足f （2﹣x ）=f （2+x ），由此要比较f （），f （1），f （）的大小，可以比较f （），f （3），f （）． 【题文】10．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0,1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数()t f x =的图像大致为（ ）【知识点】函数的图象．菁优B10【答案解析】D 解析：当x 由0→时，t 从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t 从0→+∞，且单调递增，∴排除A ，B ，C ，故选：D ．【思路点拨】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论． 二、填空题：本大题共5个小题；每小题5分，共25分．【题文】11．若直线y x =是曲线3231y x x ax =-+-的切线，则a 的值为 . 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.网版权所有B12 【答案解析】4=a 或411-=a 解析：由y=x3﹣3x2+ax ﹣1，得：y′=3x2﹣6x+a ．设直线y=x 与曲线y=x3﹣3x2+ax ﹣1切于（），又=，所以，①由（）在直线y=x 上，∴② 由①得，③把③代入②得： 整理得：，即，所以，x0=1或．当x0=1时，a=1+6×1﹣3×12=4．当时，a==．所以a的值为4或11 4-．故答案为4或11 4-．【思路点拨】设出直线y=x与曲线y=x3﹣3x2+ax﹣1的切点，求出曲线在切点处的导数值，由导数值等于1列一个关于切点横坐标和a的方程，再由切点在直线y=x上得另一方程，两个方程联立可求a的值．【题文】12．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=,2,22xxxbxxxf若)0()4(ff=-，则函数)2ln()(+-=xxfy的零点个数有个.【知识点】根的存在性及根的个数判断．B9【答案解析】4 解析：∵函数f（x）=，f（﹣4）=f（0），∴b=4，∴f（x）=，f（x）=与y=ln（x+2）的图象如图所示，∴函数y=f（x）﹣ln（x+2）的零点个数有4个，故答案为：4．【思路点拨】先求出b，再做出f（x）=与y=ln（x+2）的图象，即可得出结论．【题文】13．函数()3sin(20)5sin(80).f x x x =+++的值域为 ． 【知识点】两角和与差的正弦函数．菁C5 【答案解析】［－7，7］ 解析：∵sin（x+80°）=sin[（x+20°）+60°] =sin （20°+x）+cos （20°+x），∴f（x ）=3sin （20°+x）+5sin （x+80°） =3sin （20°+x）+[sin （20°+x）+cos （20°+x）]=sin （20°+x）+cos （20°+x）=sin （20°+x+φ）=7sin （20°+x+φ），∴f（x ）∈[﹣7，7]，故答案为：[﹣7，7]．【思路点拨】利用两角和的正弦可求得sin （x+80°）=sin[（x+20°）+60°]=sin （20°+x）+cos （20°+x），再利用辅助角公式可得f （x ）=7sin （20°+x+φ），于是可得其值域．【题文】14．已知向量,a b满足=b ，()3⋅-=-b a b ，则向量a 在b 上的投影为_________.【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】12 解析：∵向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，∴=2，﹣22=﹣3，化为=．∴向量在上的投影为．故答案为：．【思路点拨】利用数量积的定义和投影的定义即可得出． 【题文】15．给出下列四个命题：①函数1y x =-在R 上单调递增；②若函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减，则1a ≤;③若0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④若)(x f 是定义在R 上的奇函数，则0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 .【知识点】命题的真假判断与应用．A2 【答案解析】②④ 解析：①函数在R 上单调递增是错误的，只能说函数在每一个象限上单调递增，故①错②若函数y=x2+2ax+1在（﹣∞，﹣1]上单调递减只需满足对称轴x=≥﹣1，即a≤1，故②正确③若log0.7（2m ）＜log0.7（m ﹣1），先注意定义域，再利用对数函数单调性解不等式，2m ＞m ﹣1，2m ＞0，m ﹣1＞0三个不等式同时成立，即m ＞1，故③错误④若f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （x ）+f （﹣x ）=0成立，把x 重新看成1﹣x 即可，便得到f （1﹣x ）+f （x ﹣1）=0，故④正确 故答案为：②④【思路点拨】此题考查函数的单调性、解对数型不等式、函数奇偶性问题。
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江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第三次考试数学（文）试卷一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分）1. 已知A ＝{－1，0，1}，B ＝{y|y=sinx,x∈A},则A∩B＝（ ） A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {0，－1}2. 已知θ∈（π，32π），cos θ＝－45,则tan(4π－θ)＝（ ） A. 7B. 17C. －17D. －73. 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若65911a a =，则119SS =( ) A. 1B. －1C. 2D.12 4. 已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P(1，1)处的切线互相垂直，则a b＝( )A. 13B. 23C. －23D. －135. 已知数列{a n }中，a 1＝0，a n+1，则a 2013＝( )A. 06. 函数f (x )＝2sin(2x －3π)的图象的一条对称轴方程是( ) A. x ＝12πB. x ＝6πC. x ＝512πD. x ＝3π7. 在△ABC 中，若a sinA+bsinB<csinC ，则△ABC 的形状是( )三角形. A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 等边8. 等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若22012OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线（O 为该直线外一点），则S 2013＝( ) A.20132B. 2013C. 22013D. 2-20139. 已知O 在△ABC 的内部，满足：40OA OB OC ++=，，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( ) A. 3:2B. 2:3C. 5:4D. 4:510. 已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b的夹角θ范围是( )A. (0，6π) B. （6π，π] C. [3π，π] D. (3π，23π]二、填空题（本题5小题，每小题5分，共25份）11. 已知：(1,2),(4,2)a b =-=，且2a a b - 与的夹角为θ，则cos θ＝___________.12. 在△ABC 中，若（a +b －c ）(a +b +c )＝ab ，则角C ＝______________. 13. 已知θ∈（0，2π）且sin 2θ+cos2θ＝14，则tan θ＝___________.14. 数列{a n }中，前n 项和为S n 且S n ＝n －5a n －85，则a n ＝__________. 15. 有限数列A ＝（a 1，a 2，a 3……a n ），S n 为其前n 项和，定义：123ns s s s n+++ 为A 的“四维光军和”。
若有99项的数列(a 1,a 2,a 3……a 99)的“四维光军和”和1000，则有100项的数列（1，a 1,a 2，……a 99）的“四维光军和”是__________.三、解答题（本大题有6小题，75分，附加题10分，共85分） 16. （12分）已知f (x )＝2cos 2x －cos(2x+2π). (1)求f (8π)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间。
17. (12分)在△ABC 中，已知1(sin ,)2m A = ，(3,sin )n A A =+ ，若m 与n 共线.（1）求角A 的大小；（2）若边BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取最大值时△ABC 的形状. 18. （12分）等差数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 2＝2，S 4＝4.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，若23(4,),(4,m s n k s ==- ），且m ∥n，求实数k 的值.19.（12分）定义：函数f (x )与实数m 的一种符号运算为：m *f (x )＝f (x )[f (x +m )－f (x )],已知：f (x )＝12x 2－3x －34，g (x )＝4*f (x )+ 72x 2. （1）求g (x )的单调区间；（2）若在x ∈[0,2]上，g (x )>2a －3恒成立，试求实数a 的范围.20.（13分）数列{a n }满足：a n ＝3a n-1+3n－1(n ≥2),且a 3＝95.（1）求a 1和a 2的值；（2）是否存在一个实数t ，使得1()3n n nb a t =+, {}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值，并给出证明，否则，请说明理由.（3）求数列{a n }的前n 项和S n .21.（14分）已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且OA ,,OB OC满足：1(1ln )0(0).x OA y x OB OC O l a ax--+-+=∉> 且（1）求y =f (x )的解析式；（2）若f (x )在[1，+∞)单调递增，求实数a 的范围； （3）当a ＝1时，求证：*1111n .(2)234l n n n N n>++++≥∈ 且22. (附加题10分）已知一非零向量列{n a }满足：1(1,1)a =，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ （n ≥2且n ∈N *）.（1）求证：{｜n a ｜}是等比数列；（2）设θn 是1n a - 与n a 的夹角（n ≥2且n ∈N *）,b n =2n θn －1，S n ＝b 1+b 2+b 3+……+b n ，求S n .（3）设C n ＝|n a |﹒tog 2|n a|,问数列{c n }中是否存在最小项？若存在，求出最小值，否则请说明理由.南昌二中2013－2014学年度上学期第三次考试高三数学（文）试卷参考答案(一)ABADB CCAAC(二 12. 120°×(56)n-115. 99116.(1) ()18f π=（2）5,()[,],()88T f x k k k Z πππππ=++∈的单调递减区间是17.（1）1(sin )302m n SinA A A ⇒-⨯= 与共线23sin cos 02A A A ⇒-=12cos 212A A ⇒-= sin(2)126623A A A A ABC ππππ⎫⇒-=⎪⇒⇒⎬⎪∆⎭－＝＝为的内角 （2）BC a ⇒ ＝2=2由 余弦定理得：4＝b 2+c 2-2bc cosA ＝b 2+c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc 当且仅当b ＝c 时bc 最大＝4 ∴S △最大＝11sin 422bc A ⋅=⨯=最大 此时由3A b c ABC π==∆∆且知为等边.18. （1）{{211441224124434226a a d a s d n a d a n ==+===-+⨯⨯=⎧⇒⇒⇒=-+⎨⎩由（2）m ∥n32440s ks ⇒--=321s k s ⇒=-=- 19. 解：（1）3221()293()3(3)(21)2g x x x x g x x x '=-++⇒=-- 132x x '⇒><令g (x)>0或 1()2g x ∴∞∞的单调弟增区间是（－，）,（3,+）1()032g x x '<⇒<<令 1()2g x ∴的单调弟减区间（，3）(2) 由 g (x )>2a －3对x ∈[0,2]上恒成立得g (x )最小值>2a －3又由条件可求得g (x )最小＝－5 ∴5231(,1)a a a ->-⇒<-∈-∞-即20. 解：（1）125,23a a == （2）111111()()233n n n n n n t b b a t a t ---=--=+-+11111111(331)3333nn n n n n n a t a t ----=+-+-- 122111333n n n t t -+=-+=-若1{}2102n b t t +=⇒=-等差，则 （3）111113(2)(),{}(5)32322n n n n b a b b =-=-=由知且为等差数列， 31(1)122n b n n ∴=+-⨯=+111121()323222nn n n n n a a +∴+=-⇒=+⋅再利用错位相减法，可求得：1(31)2n n n s +=+21. 解：（1）由已知得：1(1ln )x OA y x OB OC ax-=+-+又A B C ，，三点共线111ln 1ln x xy x y x ax ax --∴+-+=⇒=+1()ln (0)xf x x x ax-∴=+>（2）11()ln ()[1)f x x f x ax a=+-+∞ 且在，单调递增211()0[1,)f x x x ax '∴=-≥∈+∞对恒成立2111[1,)a x ax x x⇒≤≥∈+∞即对恒成立 1()max 1a x ⇒≥=[1,)a ∴∈+∞（3）当a ＝1时，1()ln 1f x x x=+- 1(2)[1,)()ln 1(1)0x f x x f x∈+∞=+-≥=由知，当时1ln 1(1)x x x⇒>-=当且仅当时取等号用11ln 111n n n x n n n n ->-=--换得： 23451111ln ln ln ln ln 12341234n n n∴+++++>++++-即2341111ln()1231234n n n⨯⨯⨯⨯>++++-1111ln 234n n⇒>++++22.解：(1) ||n a ==*1||(2,)2n a n n N -=≥∈11||{||}||2||n n n a a a a -⇒==数列是以的等比数列.（2）11,111111()(,)2n n n n n n n n a a x y x y x y -------⋅=⋅-+22211111()||22n n n x y a ---=+=2111111||cos 4||||2n n n n n n n n n a a a a a πθθ-----⋅∴===⇒=⋅21142n n b n ππ∴=⨯-=-2(1)(1)(1)222n n s πππ∴=-+-+-2()4n n n π=+-（3）假设存在最小项，设为C n212||2n n n a --==2222222222||||222n n n n n n n c a log a log ----∴===⨯由15675,n n c c n c c c +<≥<<< 知，当时， 由15415n n c c n c c c -<≤<<< 知，当时，故存在最小项，其值为325322c -=-⨯。