实数连续性循环证明及相互证明
实数连续性等价命题的证明与应用
实数连续性等价命题的证明与应用摘要实数连续性理论是高等数学中的主要内容,实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.本文主要研究实数连续性等价命题的证明问题,对于实数连续性的7个等价性命题:确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则,采用循环论证的方法,先证明确界定理成立，再从确界定理出发,依次证明下一命题,直至致密性定理证明柯西收敛准则,最后由柯西收敛准则证明确界定理,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.在实数连续性等价命题的证明过程的同时,本文还给出了实数连续性的应用.关键词: 实数的连续性;等价证明;应用The proof and application for equivalent propositions of the real continuityABSTRACTThe paper discusses demonstration and application of the equal propositions on real number continuity. Equivalence of these seven theorems can be demonstrated by a circular. From the case 1 on, this paper demonstrate the next one in turn down, at the last, the proposition that extends from 7 to 1 to form a road that their equivalence.Keywords：The continuity of real number; equivalence demonstration; application目录一、实数连续性 1二、确界定理 1三、单调有界定理 3四、区间套定理 4五、有限覆盖定理 6六、聚点定理 7七、致密性定理 8八、柯西收敛定理 8参考文献 11一、实数的连续性实数连续性反映了实数集的一种特性，也称作实数的完备性. 实数连续性理论在高等数学中占有重要地位，广泛应用于极限理论方面,连续函数理论方面乃至整个数学分析,因此,实数连续性等价命题的内容,证明方法及应用是大学生应该掌握的重要学习内容. 实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.实数连续性的基本定理有七个,这七个定理在实数理论的研究乃至整个数学分析的学习中都至关重要，它们是:确界定理,数列的单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛定理.在下面的几节中，采用循环论证的方法,先证明确界定理成立,再从确界定理出发,利用确界定理证明数列的单调有界定理成立,再利用单调有界定理证明区间套定理成立,接下来利用区间套定理证明有限覆盖定理成立,再接下来利用有限覆盖定理证明聚点定理成立,然后利用聚点定理证明致密性定理成立,再然后利用致密性定理证明柯西收敛准则成立,最后由柯西收敛准则证明确界定理成立,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.二、确界定理定义2.1.1 设是非空数集.若满足则称是数集的上确界，记作定义2.1.2 设是非空数集.若满足则称是数集的上（下）确界，记作定理2.1(确界定理) 若非空数集有上界（下界）,则数集一定存在唯一的上确界（下确界）;若非空数集有下界,则数集一定存在唯一的下确界.证明只证明关于上确界的结论，下确界的结论可以类似地证明.不妨设含有非负数.由于有上界,故可找到非负整数,使得对于任何;存在,使.对半开区间作10等分,分点为则存在中的一个数,使得对于任何有;对于.在随半开区间作10等分,则存在中的一个,使得对于任何有;对于.继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间,可知对任何存在中的一个数,使得对于任何有;对于.将上述步骤无限地进行下去,得到实数.以下证明.为此只需证明:对一切;对任何.倘若结论不成立,即存在,则可找到的位近似不足,使,从而得,但这与不等式相矛盾.于是得证.现设则存在使的位近似不足,即.根据数的构造,存在使从而有,即得到.这说明成立.说明（1）:数集的上（下）界可能属于,也可能不属于,例如,则,而.说明（2）:数集的上（下）界可能不存在.例如:,则,而下确界不存在.例2.1 设、为非空数集,满足:对一切和有.证明:数集有上确界，数集有下确界,且.证明由假设,数集中任一数都是数集的上界,中任一数都是的下界,故由确界原理推知数集有上确界,有下确界.对任意,是数集的一个上界,而由上确界的定义知,是数集的最小上界,故有.而此式又表明数是数集的一个下界,故由下确界定义证得.三、单调有界定理定义3.1.1 若数列的各项满足关系式,则称为递增数列.定义3.1.2 若数列的各项满足关系式,则称为递减数列.定理3.1(单调有界定理) 若数列递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛,即单调有界函数必有极限.证明利用确界定理（定理2.1）证明,不妨设为有上界的递增数列.有确界原理,数列有上确界,记.下面证明就是的极限.事实上,任给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.又由的递增性,当时有.另一方面,由于是的一个上界,故对一切都有.所以当时有,这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.例3.1 设，, 其中实数.证明数列收敛.证明显然是递增的,下证有上界.事实上,于是由单调有界定理,收敛.四、区间套定理定义4.1 设闭区间套具有如下性质:,,则称为闭区间套,或简称区间套.定理4.1（区间套定理）若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得,,即,证明利用单调有界定理(定理3.1)证明,由闭区间套满足条件：各闭区间的端点满足如下不等式：.则为递增有界数列,依单调有界定理,有极限,且有,.同理,递减有界数列也有极限,并由区间套的条件得,且.综合即得最后证上式中的是唯一的.设数则由有由区间套条件得故有,即是唯一的.说明(1):若将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.如:开区间列满足区间套定理,但不存在数属于所有的开区间.说明(2):若将闭区间列换为严格的开区间列,即存在数列与,使得,则定理仍成立.说明(3):若将数轴上的原点0去掉,则区间套定理不一定成立,例如闭区间列满足区间套定理,但不存在属于所有的.例4.1 设是一个严格开区间套,即满足,且.证明:存在唯一的一点,使得.证明因为满足闭区间套,所以存在唯一的点,使得因为,所以即.又由于具有唯一性,于是得证.五、有限覆盖定理设是一区间（或开或闭）,并有开区间集（的元素都是开区间）.定义5.1 若有,则称开区间集覆盖区间，若中区间个数是有（无）限的,则称为的一个有（无）限覆盖,若中的区间都是开区间,则称为的一个开覆盖.定理5.1（有限覆盖定理）若开区间覆盖闭区间,则从中可选出有限个开区间来覆盖.证明利用闭区间套定理(定理4.1)证明,假设定理5.1结论不成立,即不能用中有限个开区间来覆盖.将等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.再将等分为两个子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,它满足,即是区间套,且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖.由区间套定理,存在唯一的一点,.由于是上的一个开覆盖,故存在开区间H,使.这表明只须用中的一个开区间就能覆盖,与挑选时的假设“不能用有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖.说明:有限覆盖定理与闭区间套定理,确界定理等不同,它是着眼于一点的局部,而有限覆盖定理则是着眼于区间的整体.它的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选出有限个开区间也覆盖闭区间.正是通过这种方法,可以将闭区间上每点具有的局部性质转化为整个区间上的整体性质.其基本步骤是:首先根据要证明的整体性质,在闭区间上每一点找性质,然后构造开区间集使.且在每一个开区间上性质成立.则由有限覆盖定理,存在有限个开区间,使,在证明在上性质成立.例5.1为闭区间上的连续函数列,在上收敛于函数,如果对,为单调递减数列,则在上一致收敛.解由已知,有,由及的连续性,有,所以对上述使当时,有,因单调递减,所以当时,有,在上成立.又,由有限覆盖定理得,设,则时,对,有,所以在上一致收敛于.六、聚点定理定义6.1 设为数轴上的点集,为定点（它可以属于,也可以不属于）.若的任何邻域内都含有中无穷多个点,则称为点集的一个聚点.定义6.2 对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即,则称为为点集的一个聚点.定义6.3 如存在各项各异的收敛数列,则其极限称为的一个聚点.定理6.1（聚点定理）实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.证明利用有限覆盖定理(定理5.1)证明，对直线上的有界无限点集,存在,使得.假设中不含的聚点.则对,则存在相应的,使得内之多包含的有限多个点,令=则是的一个开覆盖,从而中存在有限个,覆盖了,从而也覆盖了.因为每个邻域中至多含的有限个点,故这个邻域的并集也至多含有的有限个点,于是为有限点集,这与题设矛盾.因此在中至少有一点是的聚点.说明:并不是所有的点集都有聚点,如自然数集N.例6.1 设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的.证明设递增,假设都是的聚点,且,则取,由于是的聚点,故必存在.又因递增,故时恒有于是,在中至多含有的有限多项,这与是的聚点相矛盾.七、致密性定理定理7.1（致密性定理）有界数列必含有收敛子列.证明利用聚点定理（定理6.1）证明,设为有界数列.若中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.若数列不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为.由聚点定义（若存在各项各异的收敛子列,则其极限）,存在的一个收敛子列（以为极限）.八、柯西收敛准则定理8.1（柯西收敛准则）实数列有极限的充要条件是：对任意给定的，有一正整数，当时，有成立.证明利用致密性定理（定理7.1）证明，设数列满足柯西条件.先证明是有界的.为此,取,则存在正整数N,当及时有.由此得.令,则对一切正整数均有.于是由致密性定理,有界数列必有收敛子列,设.对任给的,存在,当时,同时有（由柯西条件）,(由).因而当取时,得到.这就证明了.例8.1 证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列满足柯西条件（即收敛），其中为中的一个数,.证明记.不妨设,则有对任给的,取,则对一切有.这就证明了所给数列满足柯西条件.利用柯西收敛准则（定理8.1）也可以证明确界定理（定理2.1）,下面给出证明.证明设是非空有上界的数集,由实数的阿基米德性,对任意的,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,即存在,使得.分别取,,则对每一个正整数,存在相应的,使得为的上界,而存在不是的上界,故存在,使得.又对正整数,是的上界,故有,结合得;同理有,从而得.于是对任意的,存在,使得时有.由柯西收敛准则，数列收敛.记.现在证明是的上确界.首先,对任意和正整数,有,由式得,即是的一个上界.其次对任意的,由及式,对充分大的同时有,.又因不是的上界，故存在，使得,结合上式得.这说明是的上确界.同理可证若为非空有下界数列，则必存在下确界.在上面八节中,我们首先证明了确界定理（定理2.1）,由它证明单调有界定理（定理3.1）,接着用单调有界定理证明区间套定理（定理4.1）,接着用区间套定理证明有限覆盖定理（定理5.1）,然后用有限覆盖定理证明聚点定理（定理6.1），然后又用聚点定理证明致密性定理（定理7.1）,然后用致密性定理证明柯西收敛准则（定理8.1）,最后用柯西收敛准则证明了最前面的确界定理（定理2.1）.则这样构成了一个循环,证明了在实数系中,这7个命题是等价的,即由任意一个命题都可推出其余的命题.对此我们可用下面顺序表示:2.13.14.15.16.17.18.12.1.在上面的八节中,我们也给出了若干代表性的例题,目的是对实数连续性定理进行应用.通过这篇论文,我们可以更好得掌握实数连续性等价命题的证明与应用.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2007:7-38.[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2007: 161-168.[3]同济大学应用数学系,华东师范大学数学系.数学分析同步辅导[M].北京:航空工业出版社,2005:182-194.[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.76-84.[5]欧阳光中.简明数学分析[M].上海:复旦大学出版社,1988.4-16.[6]田菊蓉，智功献，晁翠华.实数性完备定理的等价性[J].西安联合大学学报,1999(2):49-53.[7]李莲洁.实数连续性等价命题的证明与应用[J].淮北煤师院学报,2002(6):73-78。
实数连续性定理
实数连续性定理
实数连续性定理是高等数学中重要的定理，它指出一个连续的函数在实数域上存在连续的取值，为实数分析提供了重要的理论基础。
在这里，我们将讨论实数连续性定理的基本概念，并进一步分析它的相关结论和应用。
首先，让我们来看一下实数连续性定理的定义：如果函数f(x)在区间[a,b]内是连续的，则函数f(x)在[a,b]上有至少一个实数根。
也就是说，如果一个函数在一个实数区间上是连续的，那么这个函数在这个区间上至少存在一个实根。
实数连续性定理的结论有很多，其中最重要的是拉格朗日定理。
拉格朗日定理指出，如果函数f(x)在区间[a,b]上具有n次连续导数，那么函数f(x)在[a,b]上至少存在n个实根。
它是实数连续性定理的一个重要结论，为证明函数有多少实根提供了强有力的证据。
实数连续性定理对数学家和科学家而言是非常重要的。
实数连续性定理提供了进行复杂数学证明的基础，从而为理论分析提供了有力的支持。
它也为解决微分方程提供了基础，从而有助于科学家理解实际现象背后的本质。
此外，实数连续性定理也广泛应用于几何学、分析学和应用数学等领域。
几何学中，它可以帮助我们证明曲线弯曲多少、平面性质深入分析等问题；分析学中，实数连续性定理可以帮助我们求解复杂的微积分问题；应用数学中，实数连续性定理可以帮助我们精确分析实际问题，如优化收益，寻找最优解等。
总之，实数连续性定理是高等数学中重要的定理，它为实数分析提供了重要的理论基础。
它不仅有助于科学家理解实际现象，而且在几何学、分析学和应用数学等领域也广泛应用。
实数的连续性
极限的理论问题首先是极限的存在问题。 一个数列是否存在极限， 不仅与数列本身的结 构有关，而且也与数列所在的数集有关。如果存在有理数集ℚ讨论极限，那么，单调有界的 有理数列就可能不存在极限。例如，单调有界的有理数列 {(1 + n )n }就不存在极限，因为它 的极限（无理数 e）不属于有理数集。从运算来说，有理数集关于极限运算不封闭，即有理 数列的极限不一定还是有理数。如果在实数集上讨论极限，情况就不同了，这时，任意单调 有界的是数列都存在极限，即§2.2 的公理。从运算来说，实数集关于极限运算时封闭的。这 个性质就是实数集的连续性。 实数集的连续性是实数集有别于有理数集的重要特征， 是实数 集的优点。因此，将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有∩了巩固的基础。描述实数 集的连续性有多种不同的方法。 本章是在§2.2 公理的基础上， 证明与公理等价的其它几个关 于实数集连续性的定理。
bn =lim =lim源自n →∞( bn − an + an ) a n →∞ n = 0 + ℓ=ℓ
n →∞
( bn − an ） + lim
于是，
lim
a n →∞ n
= lim
n →∞
bn = ℓ
对任意取定的 k∊ℕ ,∀n>k,有ak ≤ an < bn ≤ bk 。从而
+
ak ≤ lim
n →∞
a n →∞ n
bn = ℓ
证明 由条件 1） ，数列{an }单调增加有上界b1 ,数列{bn }单调减少有下界a1 ,即 a1 ≤ a2 ≤ ⋯ ≤ an ≤ bn ≤ ⋯ ≤ b2 ≤ b1 根据公理，数列{an }收敛，设lim lim
实数完备性基本定理相互证明
关于实数连续性的基本定理关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r aB ，b ≤≤∈有。
实数的连续性
+
ξ − ε < xn < ξ + ε
lim xn = ξ .
n →∞
数学分析选讲
多媒体教学课件
是单调递增(减 数列 如果{x 无上界 数列,如果 注1：设{xn }是单调递增 减)数列 如果 n }无上界 ： 是单调递增 (下界 则 下界)则 下界
lim xn = +∞( −∞ ).
n →∞
是单调递增(减 数列 数列,且有界 注2：设{xn }是单调递增 减)数列 且有界 ： 是单调递增
数学分析选讲
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二、单调有界原理 定义3 是任意数列,若对每个自然数 定义 设{xn }是任意数列 若对每个自然数 有 是任意数列 若对每个自然数n,有 xn≤xn+1则称 n }是单调递增数列； 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列； 若对每个自然数n,有xn≥xn+1,则称 n }是单调递增数列 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列. 若对每个自然数 有 则称
S = { xn | n ∈ N }
是有界无限点集,从而至少有一个聚点ξ 由定理 是有界无限点集 从而至少有一个聚点ξ,由定理 中有一 从而至少有一个聚点 由定理6,S中有一 个点列收敛于ξ 即 有一个子列收敛于ξ 个点列收敛于ξ,即{xn}有一个子列收敛于ξ. 有一个子列收敛于
任意ε 首先对任意正整数 首先对任意正整数n,有 ≤ξ<ξ ε 另一方面存在 任意ε>0,首先对任意正整数 有xn≤ξ ξ+ε.另一方面存在 正整数N,使 单调递增， 正整数 使xN>ξ-ε.又{xn }单调递增，因此对任意 ξ ε又 单调递增 因此对任意n>N,有 有 xn ≥xN>ξ-ε.从而对任意 从而对任意n>N, ξ ε 从而对任意 即|xn-ξ|<ε,故 ξ ε故
实数的连续性
有限覆盖定理也称为紧致性定理或海涅-博雷尔定理。 作业 P140 1（2），（4），（6），（8）， 3， 4
第四章 实数的连续性
极限理论问题首先是极限的存在问题。一个数列是否极限， 不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在的数集有关。如 果在有理数集上讨论极限，那么单调有界数列就可能不存在极限。
例如，单调有界数列
(
1
1 n
n) 就不存在极限，因为它的极限不是
有理数。从运算来说，有理数集关于极限运算不封闭。即有理数 列的极限不一定还是有理数。如果在实数集上讨论极限，情况就 好得多。这对任何单调有界数列都存在极限，即§2.2 的公理。从 运算来说，实数集关于极限运算是封闭的。这个性质就是实数的 连续性。实数的连续性是实数集有别与有理数集的重要特征，是 实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就 有了巩固的基础。描述实数的连续性有多种不同的方法，本章是 在§2.2 的公理基础上，证明与公理等价的其它几个关于实数的连 续性定理。实际上，这几个定理，可任选一个作为公理，然后推 出其它定理。
例 1 E r r Q, r2 2 ，则 sup E 2, inf E 2 。
例2
E
m
n
m, n N ,
m
n
，则 sup E
1,
inf E 0 。
2
例 3 f (x), g(x) 是定义在 E =[a,b] 上的有界函数，
实数连续性九个等价命题的证明
实数连续性九个等价命题的证明罗敬;段汕【摘要】叙述九种形式的实数连续性定理,并采用闭循环回路方式证明这九种常见实数连续性定理彼此等价。
%This paper illustrates nine theorems of the continuance of real number,and proves the nine theorems are equivalent in the analytic way of closed circle.【期刊名称】《武汉纺织大学学报》【年(卷),期】2012(000)003【总页数】5页(P89-93)【关键词】实数连续性;等价命题;证明【作者】罗敬;段汕【作者单位】中南民族学院数学与统计学院,湖北武汉430074;中南民族学院数学与统计学院,湖北武汉430074【正文语种】中文【中图分类】O171《数学分析》的理论是建立在极限理论的基础之上,而极限理论的奠基石又是实数的连续性，实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性，所以学好实数的连续性对学好数学分析和与之有关的高等数学是至关重要的。
叙述实数连续性常用的命题有七个：单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则，确界定理，聚点定理和致密性定理。
另外还有两个：界点定理和实数连续性定理[戴德金（Dedekind 1831—1916）定理]。
这些定理以不同的形式刻画了实数的连续性，为进一步认识和理解实数的连续性提供具体的模式，为数学分析中的一系列重要定理提供有力的证据。
本文首先叙述上述九个命题,然后证明这九个实数连续性命题的等价性.1.1 单调有界定理定理1.1.1(单调有界定理):若数列递增（递减）有上界（下界），则数列收敛，即单调有界数列必有极限。
1.2 闭区间套定理定义1.2.1：设闭区间具有如下性质：1)2)，则称为闭区间套。
定理1.2.1（闭区间套定理）：若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，n=1,2,3，…，即, n=1,2,3，…1.3 有限覆盖定理定义1.3.1：设为数轴的点集，为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如的开区间）。
实数连续性定理
实数连续性定理
实数连续性定理是一个非常重要的定理，有着广泛的应用。
它指
出了在某个实数集上连续的函数，其值的取值范围也是这个实数集。
实数连续性定理的正式说法如下：设X是实数集，对于任意实数
集X上的函数y=f(x)，如果函数f(x)在X上是连续的，那么它的值y
的取值范围是X。
实数连续性定理源于数学家米卡尔·乔瓦尼（Michel Chavallier）的研究。
他是18世纪的数学家，提出了这个定理的原则，就是说函数
在实数集上的取值范围应该和函数的定义域一致，而不能够有任何外
来的值。
实数连续性定理的特点表现在它的可推导性很强，并且可以看到
它的连续性特性。
它的强可推导性表现为当它的定义域和值域是实数时，将给出定理本身，而当它的定义域和值域不再是实数时，也能推
出相应的定理，而这些定理也会有一定的连续性特点，这就是它所提
出的连续定理。
这个定理也被称为“原子可推导性”，因为它可以推导出它本身，甚至可以推导出更高级的定理，只要定义域和值域是实数，这个定理
就可以满足。
因此，实数连续性定理可以说是非常重要的定理，它的重要性不
仅可以在实数理论中体现出来，也在很多其他非实数理论中发挥作用，成为数学家们通过推导得出更多定理的基础。
实数连续性定理.
数列{an}收敛 0, N 0,使得对m, n N, 有 an am .
例 若数列{an}满足 an = 0.9sin 0.9 0.92 sin 证明数列{an}收敛.
0.9 0.9n sin n 0.9
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
例 5 A 和 B 为非空数集, S = A B. 试证明: inf S = min {inf A , inf B }.
证 x S, 有 x A 或 x B, 由inf A 和inf B 分别是 A 和 B 的下界, 有
x inf A 或 x inf B. x min {inf A , inf B }.
例 4 设 A 和 B 是非空数集. 若对x A 和 y B, 都有 x y, 则有sup A inf B. 证 x A 和 y B, 都有 x y, y 是 A 的上界, 而 sup A 是 A 的最小上界
sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B （B 的最大下界）
减.
例如 和 都是区间套. 但 、 {[ 1 , 1 ]} nn
{[ 0, 1 ]} n
( 1)n
2
{[ 1
, 1 ]}
n
n
和 { ( 0 , 1 ]} n
{[ 1 , 1 1 ]} nn
都不是.
区间套定理 •定理1
若 {[an,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点x ,
确界的直观定义：
若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们 称它为数集S的上确界，记作 supS ；
实数的连续性.ppt
2）. 在具有性质 P 的区间中确定一个长度不超过该区间 长度 1的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法），
2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
将闭区间 a1，b1 二等分，所得两个闭区间为a1，a12b1与a1
2
b1
，b1
，其中必有一个具有性
质 P，将其记为 a2，b2 .
同样方法，将闭区间 a2，b2 二等分，必有 一个闭区间具有性质 P，将其记为 a3，b3 .二等
用分法无限进行下去，可得区间套 an，bn ，
线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的 长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一 一个公共点.
注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套 定理不一定成立.
a1 a2
a3
an l bn
b3 b2
b1 x
证： 由条件 1），数列 an 单调增加有上界 b1， 数列 bn 单调减少有下界 a1，即
定理 2. 确界定理 设 E R，若 E 有上
(下)界则数集 E 必存在唯一的上(下)确界.
证 因为 E R，所以 b1 E，又 E 有
下界，设 a1 是 E 的下界，则 a1 b1，不妨设 a1 b1 .这时闭区间 a1，b1 具有如下性质（称为具有性 质P）：
1. 闭区间 a1，b1 左侧没有数集 E 的点； 2. 闭区间 a1，b1 中至少有数集 E 的一个点；
2）
0 ，n0
1，有
n0 n0 1
1 2
1 2
.
即
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关于实数连续性的基本定理以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证∞→n limn x =r 。
事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
2,2εε-≤∈+r x b r n 便有 ，2εε+≤-∴r x r ，N n n 有时当于是，|n x -r|<ε，∴∞→n lim n x =r 。
若数列}{n x 单调下降有下界，令n y =-n x ，则{n y }单调上升有上界，从而有极限，设极限为r ，则∞→n lim n x =∞→n lim （-n y ）=-r 。
定理证完。
2.实数基本定理→确界定理证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。
A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。
事实上，不空，不漏显然。
而A ，a ∈∀对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有0x ∈X ，使得0x a ，而由B ，b ∈知0x ≤b ，故a < b 。
由实数基本定理， A|B 是实数的一个分划，∴A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证r=supX 。
首先证明r 是X 的上界。
用反证法。
如果不然，则有0x ∈X ，使得0x r ，这时有a=20rx +a=20rx +∈A ，且有a r ，这是不可能的。
因此r 是X 的上界，而由于b r B ，b ≤∈∀有，∴r 是X 的最小上界。
同理可证下确界的情形。
定理证完。
3．实数基本定理→区间套定理 证明：设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套，令},|{n a x n x A ≤∃=，A R B \=，则B A |是R 的一个分划。
事实上A a ∈1，B b ∈+11，即B A ,非空；由B 的定义，B A ,不漏；A a ∈∀，B b ∈∀，则∃，n a b n >∀,，故b a <，即B A ,不乱。
故B A |确是R 的一个分划。
由实数连续性定理，存在唯一的实数r ，使得A a ∈∀，B b ∈∀，有b r a ≤≤。
下证 ∞=∈1],[n nnb a r 。
因为n ∀，由A 的定义，A a n∈，故r a n ≤。
又m n ,∀，有n m b a <，则B b n ∈，从而n b r ≤。
即 ∞=∈1],[n n n b a r 。
最后证明唯一性。
若有r r ',满足 ∞=∈1],[n n n b a r ， ∞=∈'1],[n n nb ar ，则)(0||∞→→-≤'-n a b r r n n故r r '=。
即这样的r 是唯一的。
定理证完。
二．用单调有界定理证明其它定理1． 单调有界定理→实数基本定理证明：给定实数的一个分划，任取A a ∈1，B b ∈1。
用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ， 2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。
其中A a n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。
由单调有界定理，知∃r ，使∞→n lim n a = r∞→n lim （n n a b -）=0 ∴∞→n lim n a +（n n a b -）= r∀ a ∈A ，有a <n b （n=1，2，……），令∞→n ，知a <rB b ∈∀，有na <b （n=1，2，……）， 令∞→n ，知 r <b ∴b r a ≤≤ 下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤ 对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令 221'r r r +=显然 2'1r r r << ⇒ A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2．单调有界定理→确界定理证明：已知实数集A 非空。
∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记1a =a ，1b =b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +B ∈，则取2a =1a ， 2b =211b a +；如果211b a +A ∈，则取2a =211b a +，2b =1b ；……如此继续下去，便得两串序列}{n a }{n b 。
其中Aa n ∈单调上升有上界（例如1b ），B b n ∈单调下降有下界（例如1a ）并且n n a b -=211a b -)(∞→n 。
由单调有界定理，知∃r ，使∞→n lim n a = r 。
由∞→n lim （n n a b -）=0 有∞→n lim n a +（n n a b -）= r}{n b 是A 的上界，∴A x ∈∀，有≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r 是A 的上界。
而,0>∀ε 由∞→n lim n a = r 知，a r N ，n N ，n εε-∃>∀有当知,0从而X ，a r A ，X n ε-∈∃使 ∴r=supA 。
同理可证非空有下界数集有下确界。
定理证完。
3．单调有界定理→区间套定理 证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n lim n a = r ， 同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b =r ' ，由∞→n lim （n n a b -）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r'=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。
定理证完。
三．用确界定理证明其它定理1． 确界定理→实数基本定理证明：对给定R 的一个分划A|B ，由于B b ∈∀，b 是集合A 的上界，由确界定理可得，集合A 有上确界r ，即r a A a ≤∈∀有。
r 是集合A 的上确界，∴r 是集合A 的全体上界的最小数。
B b ∈∀，有r b ≤。
唯一性同用单调有界定理对实数基本定理的证明（即二。
1）。
定理证完。
2． 确界定理→单调有界定理证明：设}{n x 是单调上升有上界的实数列。
由确界定理可得，∃r ，使r=sup }{n x 。
r x n n ≤∀∴有,，并且εε-∃∀r x ，x ，N N 有0 r x x r N n n N ≤≤≤-∀∴ε有, ，即ε ||r x n -∴∞→n limn x = r 。
单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明（即一.1）。
定理证完。
3． 确界定理→区间套定理证明：由[1+n a ，1+n b ] ⊂[n a ，n b ]，知}{n a 是单调上升有上界的实数列，}{n b 是单调下降有下界的数列。
且1b 是n a 的上界，1a 是n b 的下界。
设∞→n lim n a = r ，∞→n lim n b =r '，由确界定理对的证明知r=sup }{n a ，r '=inf }{n b 。
由∞→n lim （n n a b -）=0得r r '-=0即r r '== sup }{n a =inf }{n b∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一.3）。
定理证完。
4． 确界定理→有限覆盖定理证明：设E 是闭区间[b a ，]的一个覆盖。
定义数集A={a x ≥|区间[x a ，]在E 中存在有限子覆盖} 从区间的左端点a x =开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数集A 的定义可见,若∈x A,则整个区间[x a ，]⊂A.∴若A 无上界,则b ∈A,那么[b a ，]在E 中存在有限子覆盖.若A 有上界, 由确界定理可得∃r,使r=sup A 。
∴r x ∀，都有∈x A 。
事实上，,0)( x r -∀,y ∃使得x x r r y =--)( 。
[y a ，]在E 中存在有限子覆盖，∴[x a ，]⊂[y a ，]在E 中存在有限子覆盖下证b <r 。
用反证法。
如果不然，r ≤b ，则r ∈[b a ，]。
因此，在E 中存在有一开区间覆盖αE 覆盖r 。
0a ∃，0b ∈αE ，使0a 0b r 。