函数的连续性习题.
数学《函数的连续性》练习题
第四章 函数的连续性例1) ()21f x x =+在2x =处连续.2) 1sin 0()00x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续.2.已知2,0,(),0,,0,x x f x A x x B x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩讨论()f x 在0x =处的连续性及左右连续性.3. 1) 求2(1)()(1)x x f x x x -=-的间断点类型.2) 举例定义在R 上且在1x =，2x =处间断的函数.思考 有无在R 上定义但仅在1x =，2x =处连续的函数?（判断题举例用）3) 考察,;(),,x x f x x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数的间断点.证明: Riemann 函数1,(,),()0,0,1p x p q q q R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩既约或无理数,在(0,1)内任何无理点均连续，但在任何有理点均不连续.例12 确定,,a b c 的值，使2111,0()0011x ax bx c x x f x x x -≤-⎧⎪++<≠⎪=⎨=⎪⎪≥⎩在R 上连续.例.如何补充定义使函数f 连续. 1) 24()2x f x x -=- 2) 3tan sin ()x x f x x-=5. 若f 在0x 处连续, 则||f 在0x 处连续. 反之呢? 又2f 呢？(易考判断题)6.构造满足下列条件的R 上定义的函数1) 仅在1,2x =处不连续的函数;2) 仅在1,2x =处连续的函数;3) 仅在1()x n N n =∈处间断的函数.7. 若对任何0ε>,f 在[,]a b εε+-上连续,则f 在(,)a b 上连续.8. . 设()sin f x x =,,0,(),0,x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩, 求证: (())f g x 在0x =处连续,而g 在0x =处间断.9. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明:g 在R 上每一点都右连续.10. 证明: 方程cos x x x =在0到2π之间有实根.11. 设f 在[,]a b 上的连续，([,])[,]f a b a b ⊂，证明：存在0[,]x a b ∈，使得0()f x x =.12. 1) 验证函数()f x ax b =+ (0)a ≠在R 上一致连续.2) 验证函数1()sinf x x=在(,1)c (01)c <<上一致连续.13. 验证()ln f x x =在[1,)+∞上一致连续.14. 若函数f 在有限区间(,)a b 上一致连续，则f 在(,)a b 上必有界.15. ()sin f x x =在R 上一致连续，()f x =[,)a +∞ (0)a >上一致连续.16. 当I [,)a =+∞，举例说明乘积f g ⋅在I 上未必一致连续.17. 设0≠x 时, )()(x g x f ≡, 而)0()0(g f ≠. 证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.18. 设f ,g 在点0x 连续, 证明:1) 若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >;2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥.19.证明：若f 在[,]a b 上连续,且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则f 在[,]a b 上 恒正或恒负.20. 设f 在],[b a 上连续,12,,...,[,]n x x x a b ∈.证明:存在],[b a ∈ξ,使得121()[()()()]n f f x f x f x nξ=++⋅⋅⋅+21.设f 在),[+∞a 上连续, 且)(lim x f x +∞→存在, 证明: f 在),[+∞a 上有界, 又f 在 ),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?22. 证明: 2()f x x =在[,]a b (,)a b R ∀∈上一致连续,而在(,)-∞+∞上不一致连续.证明: ()f x =[1,)+∞上一致连续.证明: x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续.证明: x x f =)(在),0[+∞上一致连续.计算极限：（直接写答案） 1) )1ln(15cos lim 20x x x e x x -+++→; 2) )(lim x x x x x -+++∞→; 3) )111111(lim 0xx x x x x x +--+++→; 4) 1lim ++++∞→x xx x x ;5) x x x cot 0)sin 1(lim +→. 例5 设f 、g 在区间I 上连续，记()max{(),()}F x f x g x =，()min{(),()}G x f x g x =证明：,F G 也都在I 上连续.例8 若f 在[,]a b 上连续且对任何[,]x a b ∈,()0f x ≠,则存在0c >, 使得 f 在[,]a b 上()0f x c ≥>或()0f x c ≤-<.例16 设f 在0x =处连续，且对任何,x y R ∈有()()()f x y f x f y +=+ 证明： 1) f 在R 上连续; 2) ()(1)f x f x =⋅.例17 设f 在R 上连续且lim (),lim ()x x f x A f x B →-∞→+∞==，求证：()f x 在R 上 一致连续.例19 设f 在R 上连续,g 在R 上一致连续且lim ()()0x f x g x →∞-=，求证： ()f x 在R 上一致连续.。
2019年最新-函数的连续性(2)-精选文档
x 0
x 0
lim f(x )li(m x 1 ) 1
x 0
x 0
在x=0处y是否间断，
yx1
1
o1 x
lim f(x)lim f(x)
x 0
x 0
所以函数在x=0处间断。 x=0是跳跃间断点
例 函y数 x21在x点 1没定 ,所 义 以函数
x 1
x 1
但f (1) 1,所以 2
limf(x)f(1).
x1
1
1
2o 1 x
因此，点x=1是函数 f(x)的间断点.但如果改变
函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在 x=1成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断 点.
1.6.3.2 第二类间断点 函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存 在的间断点，则称x0为第二类间断点。 例1.29 f (x) 2
x2
limf (x)不 存 在 x2
所以x = 2为函数的跳跃间断点
1.6.4 闭区间上连续函数的性质
定理1.6 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则 f(x)在 闭区间[a,b]上有界。
定理1.7 （最值定理） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续，则f(x)在[a,b]上有最大值和最小值
x2
x2
能不连 续，而
limf(x) limf (x)
x2
x2
在其它 定义区
limf (x)不 存 在 x2
间上连 续。
所以函数在x = 2 处不连续
ax 当x1时
例 设f(x)1
当x1时
axb 当x1时
在x = 1处连续，求a、b的值
解 f(1)1
——函数的连续性
第四章 函数的连续性第一节 连续性的概念一、函数在一点的连续性 1、函数的直观图解2、函数在一点连续的定义 （1）极限形式定义定义1：设f 在0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。
例、220(),lim ()lim 0(0)x x f x x f x x f →→====2()f x x ∴=在0x =处连续。
注：①讨论f 在点0x 连续，要求f 在0()U x （包括点0x ）由定义。
②f 在点0x 连续，意味着下面的运算法则成立()(l i m )l i mx x x x f x f x →→= （2）增量极限形式定义记自变量x （在点0x ）的增量0x x x =-，则0000()()()()y f x f x f x x f x y y =-=+-=-定义：若0lim 0x x y →=，则称()f x 在0x 处连续。
（3）εδ-语言定义若00,0,(,)x U x εδδ∀>∃>∀∈有0|()()|f x f x ε-<，则称()f x 在点0x 连续。
例、证明()()f x xD x =在0x =连续，其中1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，为狄利克雷函数。
（4）左、右极限形式定义定义2：设f 在在某区间0()U x +（或0()U x -）内由定义，且0l i m ()()x x f x f x +→=（或00lim ()()x x f x f x -→=） 则称f 在点0x 右（左）连续 （5）归结到数列极限定义f 在点0x 连续⇔000{}(),(),lim ()()n n n n x U x x x n f x f x →∞∀⊂→→∞=二、间断点及其分类 1、间断点定义定义3：设f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 无定义，或f 在0x 处有定义但是不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点。
2.9函数的连续性
x0时y0.
定义 1 设函数 y f ( x) 在N ( x ,) 有定义，若
lim y0
x0
则称函数 f ( x )在点 x 处连续，并称点 x 是函数 f (x) 的连续点。
∵ x x x ， ∴当x0 时，有 x x ；
∵ lim y lim [ f ( x) f ( x )]0 ，
x0 xx
x0 x
x0 ln(1 x) x0 x
11.
重要结论：
当 x0 时,
log
a
(1
x
)
～
1 lna
x
,
ln(1 x) ～x ,
e x 1 ～ x ,
a x 1 ～ xlna, (1 x) 1 ～x.
例 4．证明：若 lim u( x) A0 ， lim v( x) B ，则
x x
x x
lim u( x)v( x) AB （其中x 可以是有限数也可以是 ）。
2. 计算lim tan5x cos x 1 .
x0
sin 3 x
解
原式
lim
5x
1 2
x2
5
x0 3x
3
原式 lim tan 5x lim 1 cos x x0 sin 3x x0 sin 3x
lim
5x
lim
1 2
x2
5
x0 3x x0 3x 3
2. 计算lim tan5x cos x 1 .
∴ lim f ( x) f ( x ) 。
xx
定义 2 设函数 y f ( x) 在N ( x ,) 有定义，若
lim f ( x) f ( x )
x x
则称函数 f ( x )在点 x 处连续。
函数的连续性考试题及答案
函数的连续性考试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 可积的答案：A2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=a答案：A3. 函数f(x) = sin(x)在实数域R上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 不可导的答案：A二、填空题4. 若函数f(x)在点x=a处连续，则______。
答案：f(a) = lim(x→a) f(x)5. 函数f(x) = x^3在x=0处的连续性是______。
答案：连续6. 函数f(x) = 1/x在x=0处的连续性是______。
答案：不连续三、解答题7. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上连续。
因为该函数为多项式函数，多项式函数在其定义域内处处连续。
8. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求证f(x)在x=1处连续。
答案：要证明f(x)在x=1处连续，需要证明lim(x→1) f(x) =f(1)。
计算得：lim(x→1) (x^2 + 3x + 2) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6f(1) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6因为lim(x→1) f(x) = f(1)，所以f(x)在x=1处连续。
9. 判断函数f(x) = x^(1/3)在x=0处的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^(1/3)在x=0处不连续。
理由是当x接近0时，f(x)接近0，但f(0)不存在，因为0的1/3次方是未定义的。
四、证明题10. 证明函数f(x) = x^2在x=0处连续。
答案：要证明f(x) = x^2在x=0处连续，需要证明lim(x→0)f(x) = f(0)。
第二章习题§2—1连续函数的定义及运算
第2章 连续函数§2—1连续函数的定义及运算A 类1、研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：1）201()212x x f x x x ⎧≤≤=⎨−<≤⎩；2）⎩⎨⎧−<<≤≤−=11111)(x x x xx f 或2、下列函数在指定的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则 补充或改变函数的定义使它连续：1）2,1,23122==+−−=x x x x x y ；2）),2,1,0(2,,tan "±±=+===k ππk x πk x xx y ；3）0,1cos2==x xy ；4）。
⎩⎨⎧=>−≤−=1,1311x x x x x y3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f ,问（1）为何值时，在处有极限存在？b a ,)(x f 0=x （2）为何值时，在处连续？ b a ,)(x f 0=x4、设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−+−+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问为何值时，在处连续；为何值时，a )(x f 0=x a 0=x 是的可去间断点？)(x f5、设满足条件：)(x f ),(,21+∞−∞∈∀x x ，有)()()(2121x f x f x x f =+且在处连续，求证在上连续。
0=x )(x f ),(+∞−∞6、设xt x xt x f x t sin sin )sin sin (lim )(−→=，求的间断点并判断其类型。
)(x f7、证明：如果为连续函数，则)(x f )(x f 也为连续函数，逆命题成立吗？8、设在区间上连续，若记)()(x g x f 、],[b a )},(),({min )(],[x g x f x φb a x ∈==)(x ψ)}(),({max ],[x g x f b a x ∈证明：在区间上连续。
1按定义证明下列函数在其定义域内连续
间断点。 (4). f ( x) sgn | x | x=0 为 f 的间断点,由 lim sgn | x | lim sgn | x | 1 ， ∴x =0 为 f 的可去间断点。
(5). f ( x) sgn(cos x)
x 0
x 0
2 n =0,1, 2,…为 f 的间断点, 当 n 为奇数， f n 0 1, f n 0 1 2 2 当 n 为偶数， f n 0 1, f n 0 1 2 2
4
x0
) b
3 x 1 2x x 2 1 x 1 x 1 2 9．证明：若 f 在[a, b]上连续，且对x[a, b]，f (x)0，则 f 在[a, b]上恒正，或 恒负。 10．证明：任一实数奇次方程，至少有一根。 11．试用一致连贯的定义证明：若 f, g 都在区间 I 上一致连续，则 f+g 也在 I 上 一致连续。 12．证明 f ( x) x 在 [0,) 上一致连续。 13．证明 f (x)= x2 在[a, b]上一致连续，但在(-,+)上不一致连续。 证：(1). 因为 f (x)= x2 在(-,+)上连续，从而在[a, b]上连续，由闭区间上连续 必一致连续，知 f (x)= x2 在[a, b]上一致连续。 1 1 (2). 对0=1，对>0，取 n，s.t. , x' n ，x”=n，则|x’- x”|< n n 1 x' 2 x"2 2 2 0 n 14. 设 f 在区间 I 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数 L>0，使得对 I 上任意两点 x’, x”， 都有 | f (x’) - f (x”)| L |x’- x”| 证明 f 在 I 上一致连续。 15．证明 sinx 在(-,+)上一致连续。 16．设 f 在 [a,) 上连续，且 lim f ( x) 存在，证明 f 在 [a,) 上一致连续。
函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目,大致有3大类。
第一类就是计算或证明连续性;第二类就是对间断点(或区间)的判断,包括间断点的类型;第三类就是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质,零点存在性质),进行理论分析。
下面就这三大类问题,提供若干例题与习题。
还就是那句老话:瞧到题目不要瞧解答,而就是先思考先试着做！这就是与瞧文学小说的最大区别。
要提醒的就是,例题里有不少就是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题,您事先独立做了不？如果没有做,就是不会做好就是根本不想做,还就是没有时间？一.函数的连续例1、1(例1、20(一),这个序号值的就是《函数连续性(一)中的例题号,请对照)设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,且()f x 在0x =连续。
证明:()f x 在任意点x 处连续。
分析:证明题就是我们很多同学的软肋,不知道从何下手。
其实,如果您的基本概念比较清晰,证明题要比计算题号做,因为它有明确的方向,不像计算题,不知道正确的答案就是什么在本题里,要证的就是“()f x 在任意点x 处连续”,那么我们就先固定一个点x ,用函数连续的定义来证明在x 处连续。
您可能要问:函数连续的定义有好几个,用哪一个? 这要瞧已知条件,哪个容易用,就用那一个。
在本题中,提供了条件()()()f x y f x f y +=+,也就就是()()()f x y f x f y +-=,您的脑海里就要想到,如果设y x =∆,那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆;这个时候,您应该立即“闪过”,要用题目给的第二个条件了:()f x 在0x =连续！它意味着:0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明:因为 ()()()f x y f x f y +=+,取0y =,则有 ()()(0)f x f x f =+,所以(0)0f =。
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（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意 一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得 f(ξ)=C (a<ξ<b) 几何意义 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少 相交于一点.
第十节、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
最值概念 设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得 对任一x∈I，恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
例1 判断下列说法的正确性
(1)
(2)
f ( x )在 x0处连续，| f ( x ) | 在 x0 处也连续.
f f ( x ) 在 x 0 处连续，
( x ) 在 x0 处也连续.
g ( x )在 x0处不连续 (3) f ( x )在 x0 处连续， f ( x ) g( x ) 在 x0处一定不连续. g ( x ) 在 x0处不连续 (4) f ( x )在 x0处不连续， f ( x ) g( x )在 x0处一定不连续.
(5) f ( x ) 在 a , b 上不连续，则 f ( x ) 在 a , b 上无界
y
y f ( x)
推论
B C A
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域 o a 为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)
b x
在[a,b]上的最小值与最大值.
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
x 1 0 x 1 y 1 x 1 x 3 1 x 2
y
2
x 在[0,2]上
o
1
2
x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点. 定理
则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.
注 (1) 最大值可以等于最小值 (2) 函数在区间I上可能取不到最值 定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的
最大值和最小值.
几何意义
y
o a 注 定理的条件是重要的 例 y y= x 在(1,2)内 o 1
1
2 bx
(6) 一切初等函数在其定义域内连续.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
思路
初等函数
找间断点 分段函数 判类型 求极限
间断点 间断点
无定义的点 无定义的点 分段点（嫌疑）
二、题型练习
连续的概念 定义
x 0 x 0
注意
优点
lim y
lim [ f ( x0 x ) f ( x0 )] 0
左连续
x x0
x是变量
直观、 便于分析
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
三个要点
自然、 便于应用
（四）应用
例
证明方程 x 3 4 x 2 1 0 在区间(0,1)内至少 有一个实根.
例 若f (x)在 ( ,)内连续,且lim f ( x )存在,则
x
f (x)在 ( ,)内有界.
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
初等函数的连续性
连续函数经过四则运算仍连续 连续函数经过复合运算仍连续
基本初等函数在定义域内连续 初等函数 在其定义区间内连续
闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习
1 f ( x) ln x
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即
f(a)· f(b)<0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0. 几何意义 如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点 位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧 y
与x轴至少有一个交点. o
a ξ b x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
有定义的开区间
求连续区间 讨论分段点的连续性
合并
例2 确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间
1 1 1 (1) f ( x ) x 1 x 1 x 1 x
讨论全面
(2) f ( x ) ( x 1) sin x 2
( x 1) x
讨论左右极限
x=0也是间断点
(3)
右连续
0, 0 当| x x0 | 时
| f ( x ) f ( x0 ) |
x可以等于 x 0
清晰、便于论证
间断的概念与分类 概念
f ( x) 在 x0 处没有定义 f ( x) 在 x0 处有定义 但 lim f ( x) 不存在 f ( x) 在 x0 处有定义 lim f ( x) 存在 但lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
x x0
x x0
分类 第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) 间断点 都存在
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 ) 跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
无穷间断点
第二类间断点 振荡间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在