函数的连续性的例题与习题集
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章 函数的连续性 1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1x ；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=1x 的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞) 当x,x 0∈D 时，有 1x −1x 0= x −x 0|x||x 0|由三角不等式可得：|x|≣|x 0|-|x-x 0|，∴ 1x −1x 0≢ x −x 0|x0|2−|x −x 0||X 0|对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有 x −x 0|x 0|2−|x −x 0||X 0|<δ|x 0|2−δ|X 0|∴要使 1x −1x 0<ε，只要使δ|x 0|2−δ|X 0|=ε，即当δ=εx 021+ε|X 0|>0时，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在其定义域内连续. (2)f(x)=|x|在R 上都有定义。
任取x, x 0∈R ，有||x|-|x 0||≢|x-x 0|. 对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有||x|-|x 0||<δ ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在R 连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=x +1x ；(2)f(x)=sinx|x|；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)； (6)f(x)= x, x 为有理数−x, x 为无理数；(7)f(x)= 1x+7, x <−7x, −7≤x ≤1 x −1 sin 1x −1, x >1.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点. (2)f(x)在x=0间断. ∵lim x →0+sinx|x|=lim x →0+sinx x=1，lim x →0−sinx|x|=lim x →0−sinx −x= -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=n π间断，(n=0,±1,±2,…)∵limx→nπ+[|cos x|]=0，limx→nπ−[|cos x|]=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点.(4)f(x)在x=0间断，∵limx→0+sgn |x|=1，limx→0−sgn |x|=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±π2间断，(k=0,±1,±2,…)∵limx→(2kπ+π2)+sgn(cosx)=-1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= 1；limx→(2kπ−π2)+sgn(cosx)= 1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= -1，∴x=2kπ±π2是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵limx→−7+f(x)=-7，limx→−7−f(x)不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又limx→1+f(x)=0，limx→1−f(x)=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=x3−8x−2；(2)f(x)=1−cos xx2；(3)f(x)=xcos1x.解：(1)∵f(x)=x 3−8x−2在x=2没有定义，且limx→2x3−8x−2=limx→2(x2+2x+4)=12；∴延拓函数得F(x)=x3−8x−2, x≠212, x=2在R上连续.(2)∵f(x)=1−cos xx2在x=0没有定义，且limx→01−cos xx2=limx→02sin x22x2=limx→0sin x222x22=12；∴延拓函数得F(x)=1−cos xx2, x≠012, x=0在R上连续.(3)∵f(x)=xcos1x 在x=0没有定义，且limx→0xcos1x=0；∴延拓函数得F(x)=xcos1x, x≠00, x=0在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≣||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<M2，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<εM.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≢|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<εM·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =x, x为有理数−x, x为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则limx→0f(x)=f(0)；limx→0g(x)=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴limx→0f(x)=limx→0g(x)，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
函数的连续性练习题及解答
函数的连续性练习题及解答函数的连续性练习题1.证明方程 x ?cosx =0 在区间(0.π2)内有实根。
2.函数 y =x 2?1x 2?3x+2 的间断点是。
3.函数 f (x )=?x ?1,当x ≤1时3?x,当x >1时的间断点是。
4.函数 f (x )=?3x, 当?1<="" 当1 x=1处连续，则a= 。
5.设 f (x )=?sin ?(x+1)x+1, 当x ≠?1时；2k, 当x =?1时在x=-1处连续，则k= 。
6.函数 f (x )=x 2?x sin πx 的可取间断点的个数为。
7.函数f (x )=|x|sin ?(x ?1)x (x ?1)(x ?2)在下列区间有界的是。
A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2)D.(2,3)8.设f (x )=arctanx,g (x )=sin2x+π3, 求g{f (?1)]。
9.设f (x )=lim u →+∞1u ln (ee uu +xx uu ) (xx >0) （1）求f(x)；（2）讨论f(x)的连续性。
10.求下列函数的间断点，并确定所属类型：y =e 1x ?x+1x ?1 。
11.确定常数k，使下面函数f(x)在x=0处连续。
f(x)=?sinx x+xsin1x,x≠0k, x=0。
12.求函数 y=sinx x的间断点，并指出其类型。
13.求函数 y=x2?1x2?5x+4 的间断点，并指出其类型。
14.讨论函数f(x)=lim n→∞1?x2n1+x2n的连续性，若f(x)有间断点，判别其类型。
15.设函数f(x)=?x, x≤16x?5,x>1 ，试讨论f(x)在x=1处的连续性，并写出f(x)的连续区间。
16.设函数 f(x)=?1+e x,x<0x+2a,x≥0 ，问常数a为何值时，函数f(x)在（-∞，+∞）内连续。
17.问a为何值时，函数f(x)=?x2+1,|x|≤a,2|x|, |x|>a连续？18.证明：若函数y=f(x)对于一切正实数x1,x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=1处连续，则f(x)在任一点x0(x0>0)处连续。
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在高等数学中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解这部分知识对于后续学习微积分等内容有着至关重要的作用。
接下来，我们将通过一些例题来深入探讨函数的连续性与间断点，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，并且当＄x$ 趋近于＄x_0$ 时，函数值＄f(x)＄趋近于＄f(x_0)＄，则称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言可以表示为：＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄二、函数连续性的条件函数在某点连续必须满足以下三个条件：1、函数在该点有定义；2、函数在该点的极限存在；3、函数在该点的极限值等于函数值。
三、函数间断点的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处不满足连续的条件，则称点＄x_0$ 为函数＄f(x)＄的间断点。
四、间断点的类型间断点主要分为以下三类：1、第一类间断点：左右极限都存在的间断点。
可去间断点：左右极限相等，但不等于函数在该点的函数值，或者函数在该点无定义。
跳跃间断点：左右极限存在但不相等。
2、第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点。
无穷间断点：函数在该点的极限为无穷大。
振荡间断点：函数在该点的极限不存在且函数值在某两个值之间来回振荡。
五、例题解析例 1：讨论函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
首先，当＄x ＼neq 1$ 时，＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼frac{（x ＋ 1)（x 1)｝｛x 1} ＝ x ＋ 1$而当＄x ＝ 1$ 时，函数在该点无定义。
＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} （x ＋ 1) ＝ 2$由于函数在＄x ＝ 1$ 处无定义，且极限存在为 2，所以＄x ＝1$ 为可去间断点。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 2, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
函数连续性判定方法例题和知识点总结
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
函数的连续性考试题及答案
函数的连续性考试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 可积的答案：A2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=a答案：A3. 函数f(x) = sin(x)在实数域R上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 不可导的答案：A二、填空题4. 若函数f(x)在点x=a处连续，则______。
答案：f(a) = lim(x→a) f(x)5. 函数f(x) = x^3在x=0处的连续性是______。
答案：连续6. 函数f(x) = 1/x在x=0处的连续性是______。
答案：不连续三、解答题7. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上连续。
因为该函数为多项式函数，多项式函数在其定义域内处处连续。
8. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求证f(x)在x=1处连续。
答案：要证明f(x)在x=1处连续，需要证明lim(x→1) f(x) =f(1)。
计算得：lim(x→1) (x^2 + 3x + 2) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6f(1) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6因为lim(x→1) f(x) = f(1)，所以f(x)在x=1处连续。
9. 判断函数f(x) = x^(1/3)在x=0处的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^(1/3)在x=0处不连续。
理由是当x接近0时，f(x)接近0，但f(0)不存在，因为0的1/3次方是未定义的。
四、证明题10. 证明函数f(x) = x^2在x=0处连续。
答案：要证明f(x) = x^2在x=0处连续，需要证明lim(x→0)f(x) = f(0)。
函数的连续性
x 2 ( x 1)3 , D { x x 0, 及 x 1}
在点x = 0的去心邻域(邻域半径小于1)内没有定义,
因此它在 x=0 处不连续，从而在其定义域内不连续.
但此函数在其定义区间 [1,)上连续.
2° 初等函数求极限的方法代入法. 设 f ( x )是初等函数，x0 定义区间, 则
f ( x ) g(x)
在点x0 连续. 此运算法则对有限个函数成立.
2. 反函数的连续性
定理1.15 如果函数 y f ( x ) 在区间 I x 单调增加
(减少) 且连续. 则其反函数 x f 1( y ) 在对应区间
I y { y y f ( x), x I x }
π x 2 nπ ，即 ② 2 π x 2 nπ (n 0, 1, 2 , L ) 2 2°判 断 类 型
上亦单调增加(减少)且连续. (证明略)
例如：y sin x 在 [ , ] 上连续单调递增， 2 2 其反函数 y arcsin x 在[－1 , 1]上也连续单调递增. 类似地, y arccos x在区间[ 1, 1] 上连续单调递减.
y arctan x 及 y arccot x
x x0
o
1. 定义设 f ( x ) 在点x 0的某去心邻域 U ( x 0 )内有定义，
如果上述三个条件中有一个不满足，则称 f (x) 在
点x0 处不连续(或间断)，并称点x0为 f (x)的不连续
点 (或间断点).
2. 间断点的分类 根据： f ( x ) 与 f ( x ) 是否同时存在 .
xx0
x x0
lim f ( x) f ( x0).
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
极限习题及答案：函数的连续性
分段函数的极限和连续性例 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f（1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？（2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？（3）确定函数）x f (的连续区间．分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim )(lim 11==--→→x x f x x 11lim )(lim 11==++→→x x x f ∴1)(lim 1=→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限．（2）)(lim 21)1(1x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续．（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 000x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在． 函数的图象及连续性例 已知函数24)(2+-=x x x f ，（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；（2）求）x f (的不连续点0x ；（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(00x f x f x x →=即可． 解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ．因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22,当2≠x 时，.224)(2-=+-=x x x x f 其图象如下图．（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ．（3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f所以4)2(lim )(lim 22-=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523=+-x x 是否存在实数根．分析：要判定方程0)(=x f 是否有实根，即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可．解：设152)(3+-=x x x f ，则）x f (是R 上的连续函数．又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[]0,3-内必存在一点0x ，使0)(0=x f ，所以0x 是方程01523=+-x x 的一个实根．所以方程01523=+-x x 有实数根．说明：作出函数)(x f y =的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用． 函数在区间上的连续性例 函数24)(2--=x x x f 在区间（0，2）内是否连续，在区间[]2,0上呢？ 分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续． 解：224)(2+=--=x x x x f （R ∈x 且2≠x ） 任取200<<x ，则)(2)2(lim )(lim 0000x f x x x f x x x x =+=+=→→ ∴ )(x f 在（0，2）内连续．但)(x f 在2=x 处无定义，∴ )(x f 在2=x 处不连续．从而)(x f 在[]2,0上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例 讨论函数)0()11lim ()(+∞<≤⋅+-=∞→x x x x x f n n n 在1=x 与21=x 点处的连续性 分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x 以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(x f 的表达式，使解答搁浅．讨论)(x f 在1=x 与21=x 点处的连续性，若作出)(x f 的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于)(x f 的表达式并非显式，所以须先求出)(x f 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含nx ，故须分类讨论．解：（1）求)(x f 的表达式： ①当1<x 时，x x x x x x f nn nn =⋅+-=⋅+-=∞→∞→0101lim 1lim 1)( ②当1>x 时，x x x xx x f n n x -=⋅+-=⋅+-=∞→10101)1(1)1(lim )( ③当1=x 时，01111lim )(=⋅+-=∞→x x f nnx ∴⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)(（2）讨论)(x f 在1=x 点处的连续性：1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1111-=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x ∴)(lim 1x f x +→不存在，)(x f 在1=x 点处不连续 （3）讨论)(x f 在21=x 点处的连续性： 21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x ∴)21(21)(lim 21f x f x ==→，)(x f 在21=x 点处连续． 根据函数的连续性确定参数的值例 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,0,)1()(3x a x x x f x 在0=x 处连续，试确定a 的值 解：xx x x x f 300)1(lim )(lim +=→→ ,)0(,)1(lim 3310a f e x x x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→欲)(x f 在0=x 处连续，必须使)0()(lim 0f x f x =→，故3e a = 说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。
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函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
（#）对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，但从（&）知，0lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以lim 0x y ∆→∆=。
根据函数连续的定义E ，()f x 在任意点x 处连续。
你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。
很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。
其实计算也并不轻松。
例1.2（例1.21（一））设常数0a ≠，212(1)1()lim 1n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--，求()f x 的分段表达式，欲使()f x 连续，试确定a 的值。
分析：首先要注意，函数()f x 不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形式来表示一个函数。
所以它要求先写出()f x 的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a 的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。
这里需要计算极限的基本功。
()f x 中出现了几个幂函数 221,,nnn x x x+，根据幂函数的性质，x 的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响，所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。
所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。
（1）||1x <： 221,,nnn x x x+都趋于零（当n →∞时），所以1()11f x -==-。
（2）||1x >： 此时221,,nnn x x x+都将趋于无穷大。
为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应的部分，来简化函数()f x ：2112122(1)11()lim11n n n n n n n a x x x f x x a x xx +++→∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
（3）1x =： 11()a af x a a--==-；（4）1x =-： 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n nn n n n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----， 极限不存在。
故得 ,11,1()1,||1,1x x a x f x ax x x >⎧⎪-⎪=⎪=⎨⎪<⎪<-⎪⎩。
欲使()f x 连续，即使()f x 在1x =连续，等价于11a a -=，故12a =。
例1.3 （例1.22（一））证明连续函数的局部保号性：设()f x 在0x x =处连续，且0()0f x >，那么存在0δ>，当0||x x δ-<时，()0f x >。
分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。
这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。
证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明：因为()f x 在0x x =处连续，所以对任给的0ε>，总存在0δ>，使得当0||x x δ-<时，恒有0|()()|f x f x ε-<，也就是 0()()f x f x εε-<-<。
（+）若取 0()0f x ε=>，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ()0f x >； 若取01()02f x ε=>，那么就有 01()()2f x f x >。
（不过，此时的0||x x δ-<中的δ要变小） 当然，你也可以取不同的0ε>，当然δ要变。
如果我们只需要证实()f x 的值为正，那么取0()0f x ε=>就已经够了。
例1.4（例1.23（一）） 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零，证明1()f x 在[,]a b 也连续。
分析：我们需要证明的是：在[,]a b 上任取点0x ，对任给的0ε>，存在一个0δ>，使当0||x x δ-<时， 有011()()f x f x ε-<。
直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在0x 的一个邻域中有01()()2f x f x >！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。
证明：对任一0[,]x a b ∈，0()0f x >，0x 是()f x 的连续点。
由局部保号性，存在0x 的邻域01(,)N x δ，使得01()()2f x f x >。
所以在这个邻域中，002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<； 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知，对于任给0ε>，存在20δ>，使得当02||x x δ-<时，有200()|()()|2f x f x f x ε-<。
我们取12min(,)δδδ=，那么在这个更小的邻域中，（即0||x x δ-<）有002000|()()|2|()()|11()()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<， 则有函数的连续的定义知， 0x 是函数1()f x 的连续点；又由0x 的任意性，得1()f x 在区间[,]a b 也连续。
例1.5 确定,a b 之值，使函数21,0()sin(),0x e x f x ax b x -⎧⎪>=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续。
解：在0x >和0x ≤两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。
所以，要使()f x 在整个实数域中连续，只需确定在0x =的连续性条件。
()f x 在0x =有定义，所以我们只需考虑它在0x =的极限。
0lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --→→=+= 22211111lim ()lim lim 0lim x x x x xxx f x e e e +----→→→→====；由此得方程 sin 0b =， 容易解得： ,0,1,2,b k k π==±±，而对参数a ，连续性条件对它没有任何限制，所以a 可取任何实数。
例1.6 设,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，,1()1b x g x x <⎧⎪=≥，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。
解：两个函数的定义域不同，所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。
显然，需要考虑3个区间：0,01,1x x x <≤<≥：,0()(),01,1x e b x f x g x a x b x a x x ⎧+<⎪+=++≤<⎨+≥。
现在可以对2个分界点0,1x x ==处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）：lim(()())lim()1xx x f x g x e b b --→→+=+=+， 0lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++→→+=++=+， 故有方程 1a b b +=+， （1） 又 11lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --→→+=++=++，11lim(()()))1x x f x g x a x +→+→+=+=+，又有方程11a b a ++=+， （2）联立（1）（2），解得1,a b ==练习题1 设()f x 满足条件：12,x x ∀，有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且()f x 在0x =处连续。
求证()f x 在整个实数域连续。
练习题2 设,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩，,0()1,0b x g x x x ≤⎧=⎨+>⎩，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连续。