数理统计5.1大数定律
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概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
14级--GZ《概率与统计》_第12讲_5.1大数定律_5.2中心极限定理
§2 中心极限定理
5.2 中心极限定理
简介
中心极限定理是研究在什么条件下，独立随机变 量序列部分和的极限分布为正态分布的一系列定理 的总称。 在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立 的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都 很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。 中心极限定理就是从数学上证明了这一现象 。 它是近两个世纪概率论研究的中心问题，因此这 些定理称为中心极限定理。
P(120000 aX 60000 ) 0.9，即 P( X
由棣莫弗 - 拉普拉斯定理知，
60000 ) 0.9. a
60000 X 60 60000 a 60 P( X ) P( ) 0 . 9. a 60 9.4% 60 9.4%
5.2 中心极限定理
定理1：独立同分布中心极限定理 （变形）
P( k 1
n
X
n
k
n
当n 时 x) ( x)
n
k
X
式中
k 1
n
n
X n n 1 X X
分子分母同时除以n n k 1
k
X 近似 ~ N (0,1) 故： n
或
X ~ N (,
为什么会有这种规律性？这是由于大量试验过程中，随
机因素相互抵消、相互补偿的结果。
用极限方法来研究大量独立（包括微弱相关）随机试验
的规律性的一系列定律称为大数定律。
5.1 大数定律
弱大数定理（辛钦大数定理）
设随机变量序列 X1, X2, … 独立同分布，具有有限的 数学期望 E(Xk)=μ, k=1, 2, …，则对任给 ε >0 ，有
棣莫弗 – 拉普拉斯定理 (针对二项分布)
第五章大数定律及中心极限定理
k 1
其中 X1, X2 ,, Xn是相互独立的、服从同一
均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布的随机变量
n
X1,X2,…,Xn之和 X k 的标准化变量，当n充分
大时，有
k 1
n
k 1
Xk
nm
～近似N(0,1)
ns
n
这样可以用(标准)正态分布来对 X k 作
k 1
理论分析或实际计算，不必求分布函数
19/41
§5.2 中心极限定理
将上式改写为
即对任意的正数ε，当n充分
lim P n
1 n
n k 1
Xk
m
1.
大时，不等式 立的概率很大
|
X
m | 成
3/41
证 由随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立，且具有 相同的数学期望和方差，有
E
1 n
n k 1
Xk
lim
n
P
1 n
(X1
X2
Xn)
p
1,
即
lim
n
P
nA n
p
1.
伯努利大数定理表明，事件发生的频率nA/n依概率收敛
于事件的概率p，以严格的数学形式表达了频率的稳定性和概
率的合理性
近似：当n很大时，事件发生的频率nA/n与概率有较大偏差的 可能性很小，因此由实际推断原理，由于小概率事件几乎不
辛钦定 理
X P m
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理
nA 一种提法是： “当 n 足够大时，频率 n 与概率 p 有较大偏差
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
11 / 102
§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
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§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
第五章 数理统计 大数定律与中心极限定理
) 0.999
查正态分布函数表得
(3.1) 0.999
故
N 120 48
≥ 3.1,
从中解得N≥141.5,
即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的 概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.
例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数
是一个随机变量，设一个学生无家长、 1名家长、名 2 家长来参加会议的概率分别为0.05、.8、.15.若学校 0 0 共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互 独立，且服从同一分布.
lim P n X np np 1 p x 1 2
x
t
2
e
2
dt x
证明:设 则
第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生
由中心极限定理,结论得证
当 n 充分大时，二项分布 X ~ B n , p 可近似地用正态分布N np , np 1 p 来代替。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 n 机变量. 即考虑随机变量X k ( k 1,n)的和 X k
k 1
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分 布这一类定理都叫做中心极限定理.
5.2
中心极限定理 标准化随机变量
如
意思是:当
时,Xn落在
内的概率越来越大.
a
而
意思是:
,当
几个常用的大数定律
定理5-2 切比雪夫大数定律
，
设{Xi, i=1,2,...}为独立的随机变量序列， 且存在数学期望、方差 E X n nDBiblioteka X n2 nDX
概率论与数理统计5.1大数定律
即
1 n lim P X i ò 1. n n i 1
证明超本课程范围，略，详见魏宗舒的教材。 定律的含义：观测量X在相同的条件下重复观测n 次，当n充分大时，“观测值的算术平均值接近 于期望”是一大概率事件。 以任意大的把握用观测值 1 n 的算术平均值近似期望。 xi 依概率收敛于 n i 1 1 n 即n充分大时， x xi n i 1 9
2
n
1.
6
说明大量随机试验的平均具有稳定性.
2). 一般情形 定理 设随机变量列 { X n }相互独立，且均具有 数学期望, 且方差有界，即 D( X n ) C, n 1, 2,..., 则 ò 0, 有 1 n 1 n lim P X i E ( X i ) ò 1. n n i 1 n i 1
成立，则称 X n 服从大数定律。
随机变量列前若干项的算术平均依概率收敛于某 数列。
4
切比雪夫（Chebyshev)不等式
设随机变量X具有有限数学期望EX和方差DX，则 对于任意正数
，如下不等式成立。
DX
P X EX
2
——切比雪夫不等式
5
2. 切比雪夫定理
1). 特殊情形 定理5.1 设随机变量列 { X n }相互独立，且具有相 同的数学期望和方差， E( X n ) , D( X n ) 2 , n 1, 2,...,
A发生的频率代替概率的理论依据.
前面介绍的大数定律要求各随机变量方差存在。
8
于 ò 0, 有
4. 辛钦大数定律（样本平均数稳定性） 定理 设随机变量X1，X2，…，Xn，„相互独
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
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则 g( Xn , Yn ) P g(a, b).
三、基本定理
定理5.2的推论 切比雪夫大数定律
切比雪夫定理的特殊情况
设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立,
且具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( X k ) 2 (k 1, 2, ), 作前 n 个随机变量
p)
令
1
1 n2
np(1 0.012
p)
0.90
解得
n
p(1 0.1
p) 0.012
0.75 0.25 0.1 0.012
18750
所以至少应做18750次试验．
• 例3:在供暖的季节,住房的平均温度为20度, 标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的 偏差的绝对值小于4度的概率的下界.
解
22 1 P{| X 20 | 4} 42 4
P{| X 20 | 4}
1 P{| X 20 | 4}
1 1 3 44
【练习】若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10， 试估计及格率至少为多少？
解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X) = 80，方差D(X) = 100，所以
P{60 X 100} P{60 < X < 100}
这两个例 子说明：
在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率 具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也 具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数 定律的客观背景。
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并 论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、 在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳 定性.
第一节 大数定律
一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
例1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现一点的概率 是1/6,在掷的次数比较少时,出现一点的频率可能与 1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现一点的 频率接近1/6几乎是必然的. 例2 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于 a,量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测 量的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.
从切比雪夫不等式还可以看出, 对于给定的 >0, 当方 差越小时，事件{|X-E(X)|≥}发生的概率也越小，即X的
取值越集中在E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个 描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量．
当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了X与E(X)的偏
差小于 的概率的估计值．
做题时如何选取？
定理5.1 契比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
成立.
P{|
X
E( X ) | } 1
D( X )
2
证明 取连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 f ( x),则有
P{ X μ ε}
的算术平均
数 有
X
1 n
n k 1
Xk,
则对于任意正
lim P{|
n
X
|
}
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
Байду номын сангаас
1.
证明
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1 n
n
,
D
1 n
n k 1
= P{|X – 80| < 20}
所以及格率至少为75%．
1
100 (20)2
0.75
75%
练习 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的 概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝 雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之 间的概率。
解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从 n=10000，p=0.7的二项分布，这时
解： 设需做n次试验，其中成功的次数为X，
则X～B(n，p)，E(X) = np，D(X) = np(1 – p)。
因为
根据契比P谢{0夫.74不等Xn式应0有.76}
P{|
X n
0.75 |
0.01}
X
1
P{0.74
X n
0.76} 1
D( ) n
0.012
1
n2
np(1 0.012
E(X ) np 7000, D(X ) npq 2100.
由切贝雪夫不等式可得:
P{6800 X 7200}
P{| X 7000 | 200} 1 2100 0.95． 2002
二、依概率收敛的概念
定义： 若存在常数a,使对于任何
0, 有
lim
n
P{
Xn
a
}
1
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a
f (x)d x
xμ ε
x μ2
xμ ε
ε2
f (x)d x
1 ε2
(
x
μ)2
f
(
x)d
x
1 ε2
σ2.
得
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
.
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
σ2 P{ X μ ε} 1 ε2 .
切比雪夫不等式的用途： （1）证明大数定律； （2）估计事件的概率或区间内取值的下界。
切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就 可对的概率分布进行估计。
例1 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞 数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400)
P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
记： Xn Pa
如 Xn P a 意思是:当 n 时,Xn落在
(a , a ) 内的概率越来越大. n0, n n0
Xn
lim
n
P{
Xn
a
}
1
而 Xn a
a a a
意思是: 0, n0 ,当 n n0
Xn a
lim
n
Xn
a
依概率收敛序列的性质:
设 Xn Pa, Yn Pb, 又设函数 g( x, y) 在点(a,b) 连续,
= P{ |X-E(X)| 2100}
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
D( X ) 1 (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
【例5-2】已知n重伯努利试验中参数p = 0.75，问至少应 做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之 间的概率不低于0.90？
三、基本定理
定理5.2的推论 切比雪夫大数定律
切比雪夫定理的特殊情况
设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立,
且具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( X k ) 2 (k 1, 2, ), 作前 n 个随机变量
p)
令
1
1 n2
np(1 0.012
p)
0.90
解得
n
p(1 0.1
p) 0.012
0.75 0.25 0.1 0.012
18750
所以至少应做18750次试验．
• 例3:在供暖的季节,住房的平均温度为20度, 标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的 偏差的绝对值小于4度的概率的下界.
解
22 1 P{| X 20 | 4} 42 4
P{| X 20 | 4}
1 P{| X 20 | 4}
1 1 3 44
【练习】若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10， 试估计及格率至少为多少？
解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X) = 80，方差D(X) = 100，所以
P{60 X 100} P{60 < X < 100}
这两个例 子说明：
在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率 具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也 具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数 定律的客观背景。
大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并 论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、 在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳 定性.
第一节 大数定律
一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
例1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现一点的概率 是1/6,在掷的次数比较少时,出现一点的频率可能与 1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现一点的 频率接近1/6几乎是必然的. 例2 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于 a,量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测 量的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.
从切比雪夫不等式还可以看出, 对于给定的 >0, 当方 差越小时，事件{|X-E(X)|≥}发生的概率也越小，即X的
取值越集中在E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个 描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量．
当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了X与E(X)的偏
差小于 的概率的估计值．
做题时如何选取？
定理5.1 契比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
成立.
P{|
X
E( X ) | } 1
D( X )
2
证明 取连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 f ( x),则有
P{ X μ ε}
的算术平均
数 有
X
1 n
n k 1
Xk,
则对于任意正
lim P{|
n
X
|
}
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
Байду номын сангаас
1.
证明
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1 n
n
,
D
1 n
n k 1
= P{|X – 80| < 20}
所以及格率至少为75%．
1
100 (20)2
0.75
75%
练习 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的 概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝 雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之 间的概率。
解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从 n=10000，p=0.7的二项分布，这时
解： 设需做n次试验，其中成功的次数为X，
则X～B(n，p)，E(X) = np，D(X) = np(1 – p)。
因为
根据契比P谢{0夫.74不等Xn式应0有.76}
P{|
X n
0.75 |
0.01}
X
1
P{0.74
X n
0.76} 1
D( ) n
0.012
1
n2
np(1 0.012
E(X ) np 7000, D(X ) npq 2100.
由切贝雪夫不等式可得:
P{6800 X 7200}
P{| X 7000 | 200} 1 2100 0.95． 2002
二、依概率收敛的概念
定义： 若存在常数a,使对于任何
0, 有
lim
n
P{
Xn
a
}
1
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a
f (x)d x
xμ ε
x μ2
xμ ε
ε2
f (x)d x
1 ε2
(
x
μ)2
f
(
x)d
x
1 ε2
σ2.
得
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
.
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
σ2 P{ X μ ε} 1 ε2 .
切比雪夫不等式的用途： （1）证明大数定律； （2）估计事件的概率或区间内取值的下界。
切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就 可对的概率分布进行估计。
例1 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞 数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 .
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400)
P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
记： Xn Pa
如 Xn P a 意思是:当 n 时,Xn落在
(a , a ) 内的概率越来越大. n0, n n0
Xn
lim
n
P{
Xn
a
}
1
而 Xn a
a a a
意思是: 0, n0 ,当 n n0
Xn a
lim
n
Xn
a
依概率收敛序列的性质:
设 Xn Pa, Yn Pb, 又设函数 g( x, y) 在点(a,b) 连续,
= P{ |X-E(X)| 2100}
由切比雪夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
D( X ) 1 (2100)2
1 ( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
【例5-2】已知n重伯努利试验中参数p = 0.75，问至少应 做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之 间的概率不低于0.90？