概率论与数理统计【第一到四章】公式
概率论与数理统计 公式(全)
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
n
A Bi
2°
i1 ，
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)
分布函数为
?
0，
x<a，
x
F(x) f (x)dx
xa,
当
a≤x1<x2≤b
时，X
落1b，在 a区间（
x1
,
xax2≤）>bx内。≤的b 概率为
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
。
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（6）分位数 （7）函数分布 欢迎阅读
（10）加法 公式
（11）减法 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)
（12）条件 概率
（13）乘法 公式
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下， P( A)
事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
(完整版)概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--例：证明：成立。
得证。
成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-⋃-⋃-==-=-⋃--)).) 2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ； 3、概率性率：(1))()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ⋃-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=⋃-=⋃==-+=⋃=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为无条件概率。
的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
（ 4 ）随 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的 机 试 验 可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它 和 随 机 出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 事件 试验的可能结果称为随机事件。
（ 5 ）基 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这
1
本事件、 样一组事件，它具有如下性质： 样 本 空 ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个 间 和 事 事件； 件 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件， 用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。 通常用大写字母 A，B，C，„表示事件，它们是 的子集。
第 1 章 随机事件及其概率
n Pm
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能
（ 1 ）排 数。 列组合 公式
n Cm
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能
数。 加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成， 第一种方法可由 m 种方法完成， 第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方 （ 2 ）加 法来完成。 法和乘 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ： m ×n 法原理 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种 方法来完成。 （ 3 ）一 重复排列和非重复排列（有序） 些 常 见 对立事件（至少有一个） 排列 顺序问题
P Ai P( Ai ) i 1 i 1
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函
数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 。
f (x)dx 1
2°
。
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
第 1 章 随机事件及其概率
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行
（1）排列组合公 式
排列的可能数。
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进
行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，
第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
pij 1.
ij
对 于 二 维 随 机 向 量 (X,Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
f (x, y)( x , y ) ，使对任意一个其邻边分别平行
于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
P{(X ,Y) D} f (x, y)dxdy,
为标准正态分布，记为 X ~ N (0,1) ，
其密度函数记为
(x)
1
x2
e2
2
，
x ，
分布函数为
(x) 1
x
t2
e 2 dt 。
2
( x) 是不可求积函数，其函数值，已
考研数学一概率论与数理统计公式整理
（6）事件的关 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
系与运算
Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB A B，A B AB
（7）概率的公 理化定义
（8）古典概型
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三
个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
第 1 章 随机事件及其概率
（1）排列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完
（2）加法和乘 成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
法原理
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完
成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
1 / 31
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件概率 （13）乘法公式
P( AB)
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
为事件 A 发生条件下，事件 B 发生
P( A)
P( AB)
的条件概率，记为 P(B / A)
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
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。
（3）离散与
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
连续型随机
变量的关系 积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
（4）分布函 数
似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) P( X x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。
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（7）概率的公理化定义
（8）古典概型
（9）几何概型 （10）加法公式 （11）减法公式 （12）条件概率 （13）乘法公式 （14）独立性
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Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB， AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它
们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1， 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
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概率论与数理统计公式整理(超全免费版)概率论与数理统计公式（全）2021-1-1第1章随机事件及其概率npm?（1）排列组合公式ncm?m!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
(m?n)!m!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!(m?n)!（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。
一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。
通常用大写字母a，b，c，…表示事件，它们是?的子集。
?为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
①关系：如果事件a的组成部分也是事件b的组成部分，（a发生必有事件b发生）：（3）一些常见排列（4）随机试验和随机事件（5）基本事件、样本空间和事件a?b（6）事件的关系与运算如果同时有a?b，b?a，则称事件a 与事件b等价，或称a等于b：a=b。
a、b中至少有一个发生的事件：a?b，或者a+b。
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概率论公式！
一、随机事件与概率
二、随机变量及其分布
三、多维随机变量及其分布
联合分布函数：对任意的n个实数，，，n个事件同时发生的概率
，，，，。
联合分布函数，性质：
单调性：对x，y单调非减。
有界性：，，，，，
右连续性：对每个变量右连续。
非负性：对任意，，有，，，，，。
二维离散随机变量：只取有限个或可列个数对。
联合分布列：，，i，j=1,2…
联合分布列性质：
非负性、正则性。
联合密度函数：，，使，，，，。
联合密度函数性质：
非负性、正则性、，
X的边际分布：，，。
Y的边际分布：，，。
二维指数分布：
，
，，
，其他
，是参数
其边际分布是一维指数分布。
边际分布列：
二维离散随机变量对单个变量求和：
，，，
边际密度函数：
，，，=，为X的边际密度函数。
，，，=，为Y的边际密度函数。
相互独立：多维随机变量的分布函数为，，，边际分布为，对任意n个实数，，：
，，
称，，相互独立。
可分离：，=，，，，。
①相互独立②非零区域可分解为两个一维区间乘积。
多维离散随机变量函数：，，为n维离散随机变量，则，，为一维离散随机变量。
可加性：同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布。
泊松分布的可加性：，，则.
二项分布的可加性：，，，，则，。
连续场合的卷积公式：X和Y独立，密度函数分别为和，则Z=X+Y的密度函数为：
正态分布的可加性：，，则。
变量变换法：即数分中求二重积分的变量变换法：
的联合密度函数是，，若，
，
有连续偏导数，且存在唯一反函数
，
，
，其
雅可比行列式，，
，，二维随机变量
，
，
，则的联合密度函数是：，，，，
增补变量法：若，，则可令或。
多维随机变量特征数：
数学期望：，的数学期望为，，，在离散场合，，，在连续场合
当，，得X的期望。
当，，的X的方差。
期望和方差的性质：
和的期望得期望的和：
积的期望得期望的积：X和Y独立，则
和差的方差得方差的和差：X和Y独立，
协方差（相关（中心）矩）：，特别的，
：正相关；：负相关。
：不相关：①X，Y取值毫无关联②存在某种非线性关系。
性质：
若X和Y独立，则不相关，反之不然。
和差的方差：
交换律：
若X或Y为常数a，则
倍数的协方差：
分配率：，
相关系数：，消除量纲，或解释为“相应标准化变量的协方差”。
二维正态分
布的相关系数是。
施瓦茨不等式：
相关系数性质：
有界：
线性相关的充要条件：，即X和Y存在线性相关关系，即存在a≠0和b，
其他：在二维正态分布中，不相关和独立等价。
条件分布：
离散场合的条件分布：联合分布列为，，则称
，
为给定条件下X的条件分布列。
离散场合的条件分布函数：给定条件下X的条件分布函数：
连续场合的条件分布：联合密度函数为，，边际密度函数为和，则称
，
，
为给定条件下X的条件分布函数和条件密度函数。
注：二维正态分布的边际分布和条件分布都是一维正态分布。
连续场合的全概率公式和贝叶斯公式：
乘法公式：，。
全概率公式：，
贝叶斯公式：，
条件数学期望：
，离散场合
，连续场合
重期望公式：
离散场合：
连续场合：
三、大数定律和中心极限定理
依概率收敛：设为一随机变量序列，X为一随机变量，若对任意有：
则称依概率收敛于X，记作。
若X为常数，则四则运算成立。
依分布收敛：设随机变量的分布函数为，若对的任一连续点x，有：
则称弱收敛于，记作，或按分布收敛于X，记作。
一般情况下：
若c为常数：
复随机变量：，其中和是实随机变量。
称为的共轭随机变量，其余同复数类似，其余同随机变量类似。
特征函数：称为X的特征函数，其总是存在。
有界：
相反数的特征函数为特征函数的共轭：（是的共轭）和的特征函数为特征函数的积：
可导：若存在，则可l次求导，且
推论：上式可用来求各阶矩。