1.2函数及其表示知识点及练习题

函数及其表示
（一）知识梳理
1．映射的概念
设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).
2．函数的概念
(1)函数的定义：
设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A
(2)函数的定义域、值域
在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成
值域。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析
考点1：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f
1.2函数及其表示练习题（2）
一、选择题
1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=
x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；
⑶x x f =)(，2)(x x g =
；
⑷()f x =
()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .
A. ⑴、⑵
B. ⑵、⑶
C. ⑷
D. ⑶、⑸
2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 1或2
3. 已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）
A. 2,3
B. 3,4
C. 3,5
D. 2,5
4. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f x =，则x 的值是（ ）
A. 1
B. 1或32
C. 1，32
或 D.
5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）
A. 沿x 轴向右平移1个单位
B. 沿x 轴向右平移
12
个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)
10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、填空题
1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x
x x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数4
22--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，
则这个二次函数的表达式是 .
4.
函数0
y =_____________________.
5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.
三、解答题
1.
求函数()f x =
.
2. 求函数12++=
x x y 的值域.
3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又
2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.
4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.
参考答案（2）
一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D
∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =
5. D 平移前的“1
122()2
x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122
x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.
二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=
-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a
<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠
3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-
4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨
->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244
f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-
2. 解： ∵221
331(),244
x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-
224(1)2(1)
4102m m m m =--+=-+
∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.
4. 解：对称轴1x =，[]
1,3是()f x 的递增区间， max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即
min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.1
44a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得
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