函数的连续性练习题解答
函数的连续性考试题及答案
函数的连续性考试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 可积的答案：A2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=a答案：A3. 函数f(x) = sin(x)在实数域R上是：A. 连续的B. 可导的C. 不连续的D. 不可导的答案：A二、填空题4. 若函数f(x)在点x=a处连续，则______。
答案：f(a) = lim(x→a) f(x)5. 函数f(x) = x^3在x=0处的连续性是______。
答案：连续6. 函数f(x) = 1/x在x=0处的连续性是______。
答案：不连续三、解答题7. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上连续。
因为该函数为多项式函数，多项式函数在其定义域内处处连续。
8. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求证f(x)在x=1处连续。
答案：要证明f(x)在x=1处连续，需要证明lim(x→1) f(x) =f(1)。
计算得：lim(x→1) (x^2 + 3x + 2) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6f(1) = 1^2 + 3*1 + 2 = 6因为lim(x→1) f(x) = f(1)，所以f(x)在x=1处连续。
9. 判断函数f(x) = x^(1/3)在x=0处的连续性，并说明理由。
答案：函数f(x) = x^(1/3)在x=0处不连续。
理由是当x接近0时，f(x)接近0，但f(0)不存在，因为0的1/3次方是未定义的。
四、证明题10. 证明函数f(x) = x^2在x=0处连续。
答案：要证明f(x) = x^2在x=0处连续，需要证明lim(x→0)f(x) = f(0)。
函数的连续性
x 2 ( x 1)3 , D { x x 0, 及 x 1}
在点x = 0的去心邻域(邻域半径小于1)内没有定义,
因此它在 x=0 处不连续，从而在其定义域内不连续.
但此函数在其定义区间 [1,)上连续.
2° 初等函数求极限的方法代入法. 设 f ( x )是初等函数，x0 定义区间, 则
f ( x ) g(x)
在点x0 连续. 此运算法则对有限个函数成立.
2. 反函数的连续性
定理1.15 如果函数 y f ( x ) 在区间 I x 单调增加
(减少) 且连续. 则其反函数 x f 1( y ) 在对应区间
I y { y y f ( x), x I x }
π x 2 nπ ，即 ② 2 π x 2 nπ (n 0, 1, 2 , L ) 2 2°判 断 类 型
上亦单调增加(减少)且连续. (证明略)
例如：y sin x 在 [ , ] 上连续单调递增， 2 2 其反函数 y arcsin x 在[－1 , 1]上也连续单调递增. 类似地, y arccos x在区间[ 1, 1] 上连续单调递减.
y arctan x 及 y arccot x
x x0
o
1. 定义设 f ( x ) 在点x 0的某去心邻域 U ( x 0 )内有定义，
如果上述三个条件中有一个不满足，则称 f (x) 在
点x0 处不连续(或间断)，并称点x0为 f (x)的不连续
点 (或间断点).
2. 间断点的分类 根据： f ( x ) 与 f ( x ) 是否同时存在 .
xx0
x x0
lim f ( x) f ( x0).
函数的连续性问题(讲解)
函数的连续性问题(讲解)连续性是函数学中一个十分重要的概念，它涉及到极限、导数等多个知识点的运用。
本文将结合数学公式和图形，讲解函数连续性的相关问题。
什么是函数的连续性函数的连续性是指当自变量取一个接近某一值时，函数值也随之接近一个确定的值，换言之，函数在该点附近的图像不会出现突变。
换一种说法，如果一个函数在某个点的左侧、右侧和该点处的值都存在并相等，那么这个函数就是在该点的连续的。
函数的间断点具体来说，如果一个函数在某个点的值不存在，或者存在但和左右两侧的值不相等，那么这个点就是函数的间断点。
常见的间断点有可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点是指，在函数的某个点上左极限、右极限存在，并且相等，但是函数本身在该点的值会“跳跃”，例如$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处的函数值即为可去间断点。
跳跃间断点是指，在函数的某个点上左极限和右极限都存在，但是值不相等，例如$f(x)=[x]$在整数处的函数值即为跳跃间断点。
连续函数与间断函数函数有时可以用连续函数和间断函数的形式表示。
如果一个函数在定义域内的所有点处都是连续的，那么这个函数就是连续函数。
反之，如果一个函数在定义域内至少有一个点是不连续的，那么这个函数就是间断函数。
应用举例举个例子，我们可以来看一下函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$的连续性。
首先，我们可以求这个函数在$x=0$处的极限。
因为$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$，所以$f(0)$的定义为$1$。
由于$f(x)$在$x=0$处的极限存在并且等于$f(0)$，因此$f(x)$是在$x=0$处连续的。
再举个例子，我们可以来看一下函数$g(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的连续性。
因为$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$不存在，因此$g(x)$在$x=0$处不连续。
总结本文简单讲解了函数的连续性问题，包括连续性的具体定义、间断点的分类、连续函数和间断函数的区别，以及应用举例。
函数的连续性
x
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D {x | x 2k , k Z}
函数的连续性
一、函数的连续性 二、连续性原理 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
3.第二类间断点
如果 f ( x) 在点 x0 处的左、右极限至 少有一个不存在, 则称点 x0 为函数 f ( x)的 第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0为函数的第二类间断点.
上连续，且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
求 lim
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
初等函数连续性
x 0
解： f 0
1
2
x
x
x 0
lim f
x
f 0
y f
x在 点 x
0处 连 续 。
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二、 闭 区 间 上 连 续 函 数
性质 1：若函数 f ( x ) 在区间 a , b 内连续，则它在 区间 a , b 上一定有最大值和最小值。
不连续的点——间断点
如果一函数在某区间内每一点都连续 该函数就是这个区间内的连续函数
初等函数在其定义区间内一定连续 连续函数从图像上看，就是一连绵不断的曲 线
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判断函数在某点是否连续
典 型 例 题 分 析
——判断该点的极限是否等于该点函数值
三个步骤
1、观察有没有定义——没有就不连续
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
a
2
1 b
x
o
2
x
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二、 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质
性质 2：若函数 f ( x ) 在区间 a , b 内连续，且在该 区间的两个端点取的不同的函数值 f a A ，与
f b B ，那么，对于介于 A 、 B 之间的任何一
第一章
极限与连续
第四节 函数的连续性
一、定义
一、 连 续 函 数 的 概 念
定义：设函数 y f ( x ) 在 x 0 处有定义，
lim 即 f x 0 存在， 若当 x x 0 时， f x
x x0
也 存 在 ， 且 lim f x f x 0 ， 则 称
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章函数的连续性1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续(1)f(x)=；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)当x,x0∈D时，有=由三角不等式可得：|x|≥|x0|-|x-x0|，∴≤对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有<δδ∴要使<ε，只要使δδ=ε，即当δ=εε>0时，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在其定义域内连续.(2)f(x)=|x|在R上都有定义。
任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|.对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有||x|-|x0||<δ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在R连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)f(x)=为有理数为无理数；(7)f(x)=.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点.(2)f(x)在x=0间断.∵==1，== -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…)∵=0，=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点. (4)f(x)在x=0间断，∵=1，=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±间断，(k=0,±1,±2,…)∵=-1，= 1；= 1，= -1，∴x=2kπ±是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵=-7，不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又=0，=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=xcos.解：(1)∵f(x)=在x=2没有定义，且==12；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(2)∵f(x)=在x=0没有定义，且===；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(3)∵f(x)=xcos在x=0没有定义，且=0；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<ε.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =为有理数为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则=f(0)；=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴=，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
高数第一章第八节 函数的连续性与间断点
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2.【函数间断点的几种常见类型】
(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点).
①［跳跃间断点］如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数
f ( x )的跳跃间断点 . x, 【补例4】讨论 f ( x ) 1 x ,
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. x , 当x是有理数时, ★ f ( x) x , 当x是无理数时, 仅在x = 0 处连续, 其余各点处处间断.特别地
22
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如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续. 记 f ( x ) C[a , b].
【几何表现】
闭区间[a,b]上的连 续函数的集合
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
Q( x0 ) 0 时 ， F ( x ) F ( x0 ) 已证 lim
x x0
③ 函数 y x 在 (0,)内是连续的
lim ∵§3 例5 已证明 x0 0 时 ， x x
x
目录
x0
11
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【例3】 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
y
【解】 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0为函数的第二类间断点
这种情况称为无穷间断点