高等数学：第一讲 函数的连续性
合集下载
高数第一章函数的连续性与间断点
2
当 a＝ 1
2
时 f ( x） 在x
2
处连续
11
二、连续函数及运算法则
定义4
y f x x [a, b] 若 f x 在a, b 内连续，
且 f a f (a), f b f (b) 存在，则称
f x 在[a, b] 上连续， 称区间 [a, b] 为 f x 的连续区间。
高等数学
第九讲
主讲教师:
王升瑞
1
第八节 函数的连续与间断
一、 函数在一点的连续性 二、 连续函数及运算法则 三、 初等函数的连续性 四、 函数的间断点
第一章
五、 闭区间上连续函数的性质
2
客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变，
有的是突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念。 从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单
调递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
14
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
则在 x 1 处间断。
y
x 1 f x 作新函数 F x x 1 o 1 2 x x2 1 x 1 F x x 1 在 x 1处的连续性。 2 x 1 25
例9 讨论函数 解
间断点的类型.
x 1, 2 为间断点
lim f x lim x 1 2 x1 x 1 x 2
高等数学：（11）函数的连续性（第一章极限）
高等数学：（11）函数的连续性（第一章极限）
我们生活中有很多关于连续函数的例子，如我们的身高随着时间发生变化的过程，河水的流动，一个物体的运动轨迹等等，今天我们就来学习函数的连续性。
一个连续的函数是可以一笔画到底的，不需要间断，如下图：
函数连续的定义：设函数y=f(X)在点Xo的某一领域内有定义，如果当X→Xo时，f(X)的极限值等于f(Xo), 那么称函数f(X)在点Xo连续。
一般关于函数连续的题目都是给出一个分段函数，告诉我们该函数在某处连续，然后让我们求出分段函数中的未知参数。
我们只需要求出函数在题目给的连续点的极限值，并将极限值与函数在那一点的值建立一个等式，解出未知数。
有时题目还会让我们讨论左右极限的情况，如下例题：
谢谢观看。
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
高等数学 第1章 第九节 函数的连续性与间断点
有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3） 虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续， 而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证： 设 x (,),
x x 当 有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数 判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,
高数讲义第一章第八节函数的连续性
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2sin x .
2
2
对任意的 , 有 | sin | | |, 故 y 2sin x x ,
2
| x | y | x | 当x 0时, y 0.
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
故| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 0连续
思考题解答
1, x 0
g(x) 1 x2
f ( x) sgn x 0, x 0
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1
称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y f (x)
y
y
y f (x)
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x x0
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U ( x0 , )内有定义,.
如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的
函数的增量y也趋向于零,即 lim y 0 . x 0
x0
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数 f ( x) 在 (a, x0]内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处左连续 ; 若函数 f ( x) 在[x0 , b) 内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处右连续 .
高等数学-函数的连续性
开区间(, )内连续.
如果函数()在开区间(, )内连续，且在左端点 =
处右连续，在右端点 = 处左连续，则称函数()在
闭区间[, ]上连续.
10
01 函数连续性的定义
结论
1.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
2.基本初等函数都是其定义域内的连续函数.
3.有理分式函数在其定义域内的每一点处都是连续的.
→0
点0 称为函数()的间断点或不连续点.
14
02 函数的间断点及其分类
间断点分类
间断点
第一类间断点： 在0 处的左右极限都存在
− ) = ( +
(
可去间断点：
0
0
分为：
− ) ≠ ( +
(
0
跳跃间断点： 0
第二类间断点： 在0 处的左右极限至少有一
个不存在
注（1）可以为正值，可以为负值，也可以为零.
（2）记号是一个整体性记号，不是与的乘积.
3
01 函数连续性的定义
1.函数在一点处的连续性
定义1.25 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
当自变量有增量时，函数相应地有增量，若
= 0，则称函数 = ()在点0 处连续，0 为
→0
()的连续点.
定义1.26 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
若 () = (0 )，则称函数 = ()在点0 处连续.
→0
4
01 函数连续性的定义
结论
函数 = ()在点0 处连续必须满足3个条件：
(1)在点0 的某邻域内有定义；
− () = + () = (0 ).
→0
→0
如果函数()在开区间(, )内连续，且在左端点 =
处右连续，在右端点 = 处左连续，则称函数()在
闭区间[, ]上连续.
10
01 函数连续性的定义
结论
1.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
2.基本初等函数都是其定义域内的连续函数.
3.有理分式函数在其定义域内的每一点处都是连续的.
→0
点0 称为函数()的间断点或不连续点.
14
02 函数的间断点及其分类
间断点分类
间断点
第一类间断点： 在0 处的左右极限都存在
− ) = ( +
(
可去间断点：
0
0
分为：
− ) ≠ ( +
(
0
跳跃间断点： 0
第二类间断点： 在0 处的左右极限至少有一
个不存在
注（1）可以为正值，可以为负值，也可以为零.
（2）记号是一个整体性记号，不是与的乘积.
3
01 函数连续性的定义
1.函数在一点处的连续性
定义1.25 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
当自变量有增量时，函数相应地有增量，若
= 0，则称函数 = ()在点0 处连续，0 为
→0
()的连续点.
定义1.26 设函数 = ()在点0 的某邻域内有定义，
若 () = (0 )，则称函数 = ()在点0 处连续.
→0
4
01 函数连续性的定义
结论
函数 = ()在点0 处连续必须满足3个条件：
(1)在点0 的某邻域内有定义；
− () = + () = (0 ).
→0
→0
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
而2 ∈ [− 5, 5]，所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
《函数连续性》课件
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函 数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行 加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续 。
《函数连续性》ppt课 件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状 态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态 ，如果函数在这一点或这个范围内的 极限值等于该点的函数值，则函数在 该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对 于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使 得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是 说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭 区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过 渡。
函数连续性的性质
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
趋于零，即
lim
x0
y
lim
x0
f
(
x0
x)
f ( x0 ) 0，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f(x)的连续点．
解 f (x)在x=2及其近旁有定义且f(2)=3;
lim f ( x) lim( x 1) 3;
x2
x2
lim f ( x) 3 f (2).
x2
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
2. 函数 y = f (x) 在x0处的左、右连续
定义 3 设函数y=f (x)在(x0-, x0] 有定义，
x 1
x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 2,
x 1
x 1
lim f ( x) lim f ( x), lim f ( x)不存在.
x 1
x 1
x 1
因此函数 f (x) 在 x = 1 处不连续.
函数的连续性内容小结:
(1)f (x)在一点处连续：特殊的极限．解题三步走：一、求极限，二、 函数值，三、比较相等.
lim
x x0
f (x)
f
( x0 )
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
= lim x x0
f ( x).
例2
讨论函数
f
(
x)
Байду номын сангаас
x x
1, 1,
在 x = 1 处的连续性．
x 1, x1
解 f (x)在x=1及其近旁有定义且f (1)=0,
lim f ( x) lim ( x 1) 0,
(2)若f (x)是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限讨论极限、 函数值等，根据函数的点连续性定义去判断．
（3）连续的几何反映：函数的图形是一条连续不断的曲线.
谢谢
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
趋于零，即
lim
x0
y
lim
x0
f
(
x0
x)
f ( x0 ) 0，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f(x)的连续点．
解 f (x)在x=2及其近旁有定义且f(2)=3;
lim f ( x) lim( x 1) 3;
x2
x2
lim f ( x) 3 f (2).
x2
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
2. 函数 y = f (x) 在x0处的左、右连续
定义 3 设函数y=f (x)在(x0-, x0] 有定义，
x 1
x 1
lim f ( x) lim ( x 1) 2,
x 1
x 1
lim f ( x) lim f ( x), lim f ( x)不存在.
x 1
x 1
x 1
因此函数 f (x) 在 x = 1 处不连续.
函数的连续性内容小结:
(1)f (x)在一点处连续：特殊的极限．解题三步走：一、求极限，二、 函数值，三、比较相等.
lim
x x0
f (x)
f
( x0 )
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
= lim x x0
f ( x).
例2
讨论函数
f
(
x)
Байду номын сангаас
x x
1, 1,
在 x = 1 处的连续性．
x 1, x1
解 f (x)在x=1及其近旁有定义且f (1)=0,
lim f ( x) lim ( x 1) 0,
(2)若f (x)是分段函数，则在分界点处往往要从左、右极限讨论极限、 函数值等，根据函数的点连续性定义去判断．
（3）连续的几何反映：函数的图形是一条连续不断的曲线.
谢谢