《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算
合集下载
《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算2
例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f (x) g(x)
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 可知 连续 .
也在
上
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数 在定义区间内 连续
例6
求 lim
1 x2 1 .
x0
x
0.
例7. 设 讨论复合函数
(x) xx, 4,
x 1 x 1
的连续性 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数在 定义区间内 连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.
2、lim x 1 1 ____________.
x0
x
3、lim ln(2cos 2x) ____________. x 6
4、lim x
2 2cos tan2 x
x
____________.
4
5、lim e t 1 ____________.
t t 2
6、设
e x , x 0 f (x)
定理3. 连续函数的复合函数是连续的.
证: 设函数
且 (x0 ) u0 .
于0
f [(x0 )]
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
在 x R* 上连续 .
高等数学 第一章、第十节 连续函数的运算与性质
幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算： 的极限计算：
若 lim u( x) = a > 0,
x→x0
x→x0
lim v( x) = b,
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) = [ lim u( x)] x→x0
x→x0 x→x0
= ab .
1 求 lim( x + 2ex ) x−1. 例6 x→0 1 1 lim 解： lim( x + 2e x )x−1 = [lim( x + 2e x )] x→0 x−1 x→0 x→0
∃ M > 0, 使对∀ x∈[a, b], 都有| f ( x) |≤ M （2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值 ）
即至少一点ξ1 ∈[a, b], 使 f (ξ1 )为最大值 ,
和至少一点ξ2 ∈[a, b], 使 f (ξ2 )为最小值 . y 1 注记： 注记： （1）区间一定要是闭区间。 ）区间一定要是闭区间。 y= x 1 3 例 y = , I = (0, 1) o 1 x 在 I = (0, 1) 上连续, 但无界, 1 也无最大值和最小值。 也无最大值和最小值。
第十节 连续函数的运算与性质
• • • • • 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 五、小结
一、四则运算的连续性
, 定理1 定理1 若函数 f ( x), g( x)在点x0处连续
f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 则 f ( x) ± g( x), f ( x) ⋅ g( x), g( x) 在点x 在点 0 处也连续.
(1) lim f ( x) = A , lim f ( x) = B, 且 A⋅ B< 0,
高数第一章函数的连续性与间断点
2
当 a＝ 1
2
时 f ( x） 在x
2
处连续
11
二、连续函数及运算法则
定义4
y f x x [a, b] 若 f x 在a, b 内连续，
且 f a f (a), f b f (b) 存在，则称
f x 在[a, b] 上连续， 称区间 [a, b] 为 f x 的连续区间。
高等数学
第九讲
主讲教师:
王升瑞
1
第八节 函数的连续与间断
一、 函数在一点的连续性 二、 连续函数及运算法则 三、 初等函数的连续性 四、 函数的间断点
第一章
五、 闭区间上连续函数的性质
2
客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变，
有的是突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念。 从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单
调递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
14
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
则在 x 1 处间断。
y
x 1 f x 作新函数 F x x 1 o 1 2 x x2 1 x 1 F x x 1 在 x 1处的连续性。 2 x 1 25
例9 讨论函数 解
间断点的类型.
x 1, 2 为间断点
lim f x lim x 1 2 x1 x 1 x 2
《高等数学》第三节 函数的连续性
如果 x0 是函数 第一类间断点 可去间断点
f ( x) 的间断点,可将其分成两类:
f ( x) 在点 x0 处的左右极限存在;
其它
f ( x) 在点 x0 处的左右极限至少有
第二类间断点
一个不存在. 无穷间断点 振荡间断点 其它
例2 考察函数
2 x 0 x 1 f ( x) 1 x 1 在 x 1处的连续性. 1 x x 1
解 该函数在点x 1 处没有定义,所以函数在x 1 处间断;又因为
1 x 1 x 1 lim
,极限
x 1
不存在，趋于无穷，所以 是函数
f ( x)
1 x 1 的第二类间断点,
且为无穷间断点.
例4 考察函数
解 该函数在
1 f (x) sin 在 x 0 处的连续性. x
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 0 函数增量 y 也趋于零,即 x0 x0
,则称函数
y f ( x) 在点 x0
处连续，x0 称为函数 f ( x)
的连续点．
若记 x x0 x ,则 y f ( x) f ( x0 ) ,且当
x 0 处没有定义,
所以函数在 x 0 处间断,又因为当
x0
时,极限不存在,函数值在1与－1之间无
限次地振荡,所以 x 0 是
f ( x ) sin 1 x
的第二
类间断点,且为振荡间断点.
二、初等函数的连续性
g ( x) 均 定理1（连续函数的四则运算） 如果 f ( x)、
在点
f (b) ,
为介于 f (a) 与 f (b) 之间的任一实
高等数学：第一讲 函数的连续性
y
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
y f (x)
f (x0 )
0
x0
x
2.函数在一点的连续性同极限一样，都是函数的局部性质.
3. 判别函数y=f (x)在点x0连续的步骤：
(1) y = f (x)在点x0的某个邻域内有定义， y = f (x0) 存在;
(2) 极限
存在；
(3) 函数在 x0 处极限值等于函数值，即
例1 讨论函数 f (x)=x+1在x=2处的连续性．
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处左连续.
设函数y = f (x) 在[x0, x0+ ) 有定义，
且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ) , 称y = f (x) 在x0处右连续.
定理1
函数 y f ( x)在点 x0处连续的充要条件
是函数 y f ( x)在点 x0处既左连续又右连续，即
定义 2 设函数y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如
果x→x0时，相应的函数值f(x)→f(x0)
，即
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )，
则称函数 y=f (x)在点x0连续，点x0为函数y=f (x)的连续点．
说明：
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义：函数图形在x0不断开， 图像是连续不断的.
函数的连续性
函数的连续性
1、函数y=f (x) 在点 x0处的连续性
定义1 设y=f (x)在点x0的某邻域内有定义，如果当x在
x0处的增量x趋于零时，相应的函数增量y=f (x0+ x)- f(x0)也
高等数学1.10连续函数的运算与初等函数的连续性教师教材.ppt
注：在定理6的条件下有
limf [j(x)]=f(u0)=f [j(x0)]．
x x0
青苗辅导
8
例 4 讨论函数 y=sin1 的连续性． x
解 函数 y=sin1 可看作是由 y=sin u 及 u1= 复合而成的．
x
x
sin u 在(-, +)内连续，1 在(-, 0)和(0, +)内连续． x
由定理 6，函数 sin1 在无限区间(-，0)和(0，+)内是连续的． x
青苗辅导
9
三、初等函数的连续性
基本的连续函数： 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ； 反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ； 指数函数：a x (a>0，a 1)； 对数函数：log ax (a>0，a 1)； 证明 指数函数ax (a>0，a1)对于一切实数x 都有定义，且
例 2 由于 y=sin x 在闭区间[- ， ]上单调增加且连续，
22 加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1,1]上也是单调 增加且连续的．
青苗辅导
4
同样，y=arccos x 在区间[-1，1]上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区 间(-，+)内单调减少且连续．
点 x0=0 是初等函数 f(x)= 1 - x2 的定义区间[-1，1]上的点，
所以lim 1 - x2 = 1 =1； x0
又如
点 x 0=
2
是初等函数 f(x)=ln sin x
的一个定义区间（0，）内
limf [j(x)]=f(u0)=f [j(x0)]．
x x0
青苗辅导
8
例 4 讨论函数 y=sin1 的连续性． x
解 函数 y=sin1 可看作是由 y=sin u 及 u1= 复合而成的．
x
x
sin u 在(-, +)内连续，1 在(-, 0)和(0, +)内连续． x
由定理 6，函数 sin1 在无限区间(-，0)和(0，+)内是连续的． x
青苗辅导
9
三、初等函数的连续性
基本的连续函数： 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ； 反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ； 指数函数：a x (a>0，a 1)； 对数函数：log ax (a>0，a 1)； 证明 指数函数ax (a>0，a1)对于一切实数x 都有定义，且
例 2 由于 y=sin x 在闭区间[- ， ]上单调增加且连续，
22 加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1,1]上也是单调 增加且连续的．
青苗辅导
4
同样，y=arccos x 在区间[-1，1]上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区 间(-，+)内单调减少且连续．
点 x0=0 是初等函数 f(x)= 1 - x2 的定义区间[-1，1]上的点，
所以lim 1 - x2 = 1 =1； x0
又如
点 x 0=
2
是初等函数 f(x)=ln sin x
的一个定义区间（0，）内
高等数学——连续函数的运算与性质
连续函数的运算与性质一、基本内容1. 连续函数的和、差、积、商的连续性：连续函数的和、差、积、商仍然连续。
2. 复合函数的连续性：设)(x u ϕ=在点0x 连续, 且00)(u x =ϕ, 而)(u f y =在点0u u =连续, 则)]([x f ϕ在点0x 也连续。
3. 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.4. 闭区间上连续函数的性质：1）最值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
2）有界性定理：在闭区间上连续的函数一定有界。
3）零点定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少存在一点ξ（b a <<ξ），使0)(=ξf 。
4）介值定理：设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值A a f =)(及B b f =)(，则对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间),(b a 至少有一点ξ（b a <<ξ），使C f =)(ξ（b a <<ξ）5）推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
二、学习要求1. 了解初等函数的连续性。
2. 知道在闭区间上连续函数的性质。
三、基本题型及解题方法题型1 求初等函数在其定义区间内某点的极限解题方法：只需求初等函数在该点的函数值。
即)()(lim 0→0x f x f x x =, （∈0x 定义区间）【例1】 求极限：52lim20+-→x x x ； 解：因为 52)(2+-=x x x f 是初等函数，而0=x 是定义区间内的点，所以 52lim 20+-→x x x =5500=+-【例2】 求下列极限：（1）xx x sin ln lim 0→； （2）x x e 1lim ∞→。
解：（1）x x x sin ln lim 0→=x x x sin lim ln 0→=1ln =0 （2）x x e 1lim ∞→=x x e 1lim ∞→=0e =1 题型2 利用闭区间上连续函数的性质证明一些相关问题，如讨论方程的实根，函数的有界性等解题方法：一般解题步骤1）作辅助函数2）寻找闭区间，使辅助函数在该区间端点处的值异号，利用零点定理。
高等数学 第八节 函数的连续性-55页文档
x0
x0
limf (x) limsinx0
x0
x0
lim f(x)lim f(x)
x 0
x 0
故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点.
将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.
例5 讨论 f(x)x21在x1处的连. 续 x1
解 函数在 x =1 无定义, x =1 为函数的间断点.
x0为函数的.间断点
又 limf(x)lim sin1 不存在,
x0
x0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称x0为f(x)sin 1的振荡型. 间断 x
第 二 类 间 断 点
左右极限至少 有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
x x0
x x0
a
f
(x0
).
2.函数间断点的分类
函
第一类间断点
数
的
跳跃
可去
间
断 点
第二类间断点
无穷 振荡 其它
(1) 第一类间断点
定义
若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且 x l ix0 m f(x)与 x l ix0 m f(x)存,在 则称 x0 为函数 f (x) 的第一类间断点.
例1 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?
解 y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 lim x2 0 x0
且
yx0x2 x00
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(Px)(
x x0
x0R) (
x0c)ontinue
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对自变量的增量
有函数的增量
函数 在点 连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f (x0 )
y y f (x)
第七节（2-1）
第一章
函数的连续性与
连续函数的运算
一、函数的连续性
二、函数的间断点 三、小结、思考题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 函数连续性的定义
定义: 设函数
在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x)在 x0 连续.
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
间断点分类:
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4
讨论函数
f
(
x)
x, 1 x,
2
(k
0,1,2,).
2
x, x 1
四 、 f ( x) 0, x 0 x 1 和 x 1 为 第 一 类 间 断 点 .
x, x 1
五、(1)a 0, b 1;
(2)a 1, b e .
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如, 在
( 有理整函数 ) 上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
o
x
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
o
x
★ 狄利克雷函数
y
D(
x
振荡型
思考与练习
1. 讨论函数
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 .
2. 设 连续函数.
提示:
时为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
补充题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业P70 1（1）、2（1，4）、3
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续 右连续
x
o x0 x x
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0) y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例.1 证明函数
在
内连续 .
证: x (, )
y sin(x x) sin x
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
再如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x 1为可去间断点 .
o1 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x , x 1
(4)
y
f (x)
1 2
,
x 1
y
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
二、研究函数 f ( x) 1, x 1 的连续性，并画出函数 的图形 .
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(
x)
x 3
1, x,
x x
1在 1
xR
上
.
2、 f ( x) x ,在x R 上 . tan x
内容小结
在点 连续的等价形式
左连续 右连续
在点 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
连续性.
二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 不连续 :
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数 在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点 称为间断点 .
存在 , 但
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、讨论函数
1 x2n f ( x) lim
的连续性，若有间断
n 1 x 2n
点，判断其类型 .
五、试确定 a, b 的值,使 f ( x) e x b ， ( x a)( x 1)
（1）有无穷间断点x 0 ；（2）有可去间断点 x 1 .
练习题答案
一、1、一类,二类； 2、一类,一类,二类.
x)
1, 0,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点.
★
f
(
x)
x, x,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
二、 f ( x)在(,1)与(1,)内连续, x 1为跳跃间 断点.
三、1、x 1为第一类间断点；
2、 x k 为可去间断点, 2
x k(k 0)为第二类间断点.
f1(
x)
x tan
x
,
x
k,
k
2
1, x 0
(k 0,1,2,),
f2(
x)
x tan 0, x
, x k,k x k
y
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
x x 0 0
即
这说明
在
同样可证: 函数
内连续 .
在
内连续 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2
试证函数
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
例3
讨论函数
f (x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
在 x 0处的
练习题
一、填空题： 1、指出 y x 2 1 在 x 1 是第_______类间 x2 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . 2、指出 y x 2 x 在 x 0 是第________类间 x ( x 2 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1
1 2
x1
o
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f (x)
Байду номын сангаас
x
0
1
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
1x
y
1
o
x
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,