高数高等数学1.8函数的连续性与间断点

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(整理)函数的连续性与间断点

(整理)函数的连续性与间断点

1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→, 那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系:函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当x →0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数y x 在区间∞, ∞)内任意一点x 都是连续的.4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0); 则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2 π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数x y 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x 1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y . 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f . 因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象, 我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。

1.8连续性间断点

1.8连续性间断点

连续
有极限
二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 不连续 :
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数
在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点 称为间断点 .
存在 , 但
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )

上连续 .
又如, 有理分式函数
适用于专升本及高职高专各专业
高等数学
M A T H E M A TICS
第一章 函数与极限
第八节 连续性与间断点
函数的连续 函数的间断点
花的生长、温度实时的变化是一个连续 不断的过程,还能举例生活中哪些是连 续的过程
一、 函数连续性的定义
设函数
在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f (x)在 x0 连续.
❖ 前者在点 x0 可以没有定义,后者必须有定义.
❖ 设 x x0 时, f x A,后者必须满足 f x0 A. ❖ 若函数 y f x 在点 x0 处连续,则 f x 在点 x0 处
的极限一定存在;反之,若 f x 在点 x0 处的极限 存在,则 f x 在点 x0 处不一定连续.
是第_____类间断点 .

函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1.设函数yf (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0x ), 因此函数y 的对应增量为y f (x 0x ) f (x 0).函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量xx x 0 趋于零时, 对应的函数的增量yf (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即lim 0=∆→∆y x 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数yf (x )在点x 0 处连续.注 ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x x 0+x , 则当x 0时, x x 0, 因此lim 0=∆→∆y x 0)]()([lim 00=-→x f x f x x )()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x 0|<的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )f (x 0)|<,那么就称函数y f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称yf (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称yf (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系: 函数yf (x )在点x 0处连续Û函数y f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(¥, ¥)内是连续的.这是因为, f (x )在(¥, ¥)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数xx f =)(在区间[0,¥)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(¥,¥)内是连续的.证明 设x 为区间(¥, ¥)内任意一点. 则有y sin(xx )sin x )2cos(2sin 2x x x ∆+∆=,因为当x 0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数ysin x 在区间(¥,¥)内任意一点x 都是连续的.4. 函数y cos x 在区间(¥, ¥)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一: (1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )¹f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. 例1. 正切函数ytan x 在2π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数xy 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x0是函数x1sin的间断点.当x ®0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x 0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x 1没有定义, 所以点x1是函数的间断点.因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x 1时y 2, 则所给函数在x 1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点. 例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x1处的定义:令f (1)1, 则函数f (x )在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x 0处产生跳跃现象, 我们称x0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.希望以上资料对你有所帮助,附励志名言3条:1、常自认为是福薄的人,任何不好的事情发生都合情合理,有这样平常心态,将会战胜很多困难。

高等数学方明亮版课件1.8 函数的连续性与间断点

高等数学方明亮版课件1.8 函数的连续性与间断点
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高等数学方明亮版课件1.8 函数 的连续性与间断点
,
汇报人:
目 录
01 函 数 的 连 续 性 02 函 数 的 间 断 点 03 连 续 性 与 间 断 点 的 关 系
01
函数的连续性
连续性的定义
函数在某点处连续, 是指在该点处函数 值等于该点的极限 值
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THANK YOU
汇报人:
连续函数的应用
微积分:连续 函数是微积分 的基础,用于 计算面积、体
积等
物理:连续函 数在物理中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
工程:连续函 数在工程中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
经济:连续函 数在经济学中 用于描述价格、 需求、供给等
02
函数的间断点
间断点的定义
间断点:函数在某点处没有定义的点 间断点类型:跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点、振荡间断点 跳跃间断点:函数在该点处左右极限不相等 可去间断点:函数在该点处左右极限相等,但函数值不等于极限值 无穷间断点:函数在该点处极限不存在 振荡间断点:函数在该点处左右极限相等,但函数值不等于极限值,且函数在该点处左右极限不相等
ห้องสมุดไป่ตู้
间断点对函数性质的影响
间断点可能导致函数不连 续
间断点可能导致函数值跳 跃
间断点可能导致函数值无 法定义
间断点可能导致函数无法 求导
连续性与间断点在数学分析中的应用
连续性与间断点在函数极限中的应用 连续性与间断点在函数导数中的应用 连续性与间断点在函数积分中的应用 连续性与间断点在函数微分方程中的应用
连续性是函数最重 要的性质之一,它 决定了函数的光滑 程度和可导性

高数上1.8函数的连续与间断

高数上1.8函数的连续与间断
x0
f (x)
lim 1 x0
x 2
1
lim f ( x) lim 1 x2 1
x0
x0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1
x0
x0
解 如图所示,
lim
x0
f (x)
lim 1 x0
x 2
1
lim f ( x) lim 1 x2 1
x0
x0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1
1,
x1
1 x, x 1
在 x 1 处的连续性.
注: 若修改定义 f (1) 2, 则
2 x, 0 x 1
例9
讨论函数
f (x)
1,
x1
1 x, x 1
在 x 1 处的连续性.
注: 若修改定义 f (1) 2, 则
2 x, 0 x 1 f (x)
1 x, x 1 在 x 1 处连续.
f ( x)当 x x0 时的极限存在, 且等于它在点 x0
处的函数值
f ( x0 ),
即 lim x x0
f (x)
f ( x0 ),
函数的连续性
定义2 设函数 f ( x) 在 U ( x0 ) 内有定义, 如果
f ( x)当 x x0 时的极限存在, 且等于它在点 x0
处的函数值 f ( x0 ),
例 10(1)
讨论函数
f
(
x)
1 x
,
x 0在x 0
x, x 0
处的连续性.
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0 为函数的第二类间断点(无穷间断点).
例 10(2)

函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义,如果 函数 f (x) 在点 x0 满足下列三种情况之一,则点 x0 为
f (x) 的间断点:
①、在 x0 处没有定义;
②、在 x0 处有定义,但 lim f (x) 不存在;
xx0
③、在 x0 处有定义,且 lim f (x) 存在,但
xx0
例3 证明函数 y sin x 在 (, ) 内连续 .
证 x (, )
y sin(x x) sin x

2sin
x 2
cos(x

x 2
)
y

2
sin
x 2
cos(x

x 2
)
2
x 2
1
x
0
(x 0)

lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 (, ) 内连续 .
同样可证:函数 y cos x 在 (, ) 内连续 .
五、函数的间断点
定义5 如果函数 f (x) 在点 x0 不连续, 则称 f (x)
在点 x0 处间断, 并称点 x0为函数 f (x) 的间断点或
不连续点 .
1
o
x
1
解 因为 lim f (x) lim(x 1) 1 f (0 0)
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1 f (0 0)
x0
x0

f (0 0) f (0 0)
所以是跳跃间断点 .
第二类间断点
如果函数 f (x) 在 x0 的左、 右极限至少有一个 不存在, 则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点 .

高等数学1.8精讲----函数的连续性与间断点

高等数学1.8精讲----函数的连续性与间断点

在 右连续.
在 连续
f x0
高等数学
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例3 证明 y sin x 在区间 , 连续.
证明:x , 当 x 取得增量 x 时,
对应的函数的增量为 y sin x x sin x
由公式
sin
x
x
sin
x
2 sin
x 2
cos
x
x 2

cos
x
x 2
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;

不相等 第一类间断点: 左右极限都存在
跃 型
间断点
相等

第二类间断点: 无穷型,振荡型.


高等数学
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第 一
y
可去型


断 点
o x0
x
y



间 断
o
x0
x

无穷型
高等数学
y
跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
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4 f x0 f x0 f x0
证明题常用 1 判断函数在某点是否连续常用 2 分段函数在分段点处的连续性常用 4
高等数学
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例4 讨论函数
在 x 0 的连续性.
解:
lim f x lim x 2 2 f 0
x0
x0
lim f x lim x 2 2 f 0
y 0 就是 f x f x0 ,
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《高等数学》函数的连续性与间断点

《高等数学》函数的连续性与间断点

lim
x x0
(2
x
1)
2
x0
1,
f (x0 ) 3
所以有 x0 1,a 2
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
2、间断点及其分类
间断点
不连续点
设函数 y f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义,若下列情形至少一个成立,则 x0 是
f(x)的不连续点。
1)f(x)在 x0 点无定义。
y1 x
其中至少有一个是振荡,称 x0 为振荡间断点 y sin 1
x
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
f(x)在点 x0 连续
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
lim f (x) lim f (x) f (0)

x0
x0

lim y 0
x0


可去间断点

第Ⅰ类间断点


(包括) 跳跃间断点
x0
所以函数在x=0处连续。
lim f (x) lim f (x) 1
x0
x0
lim f (x) 1
x0
f(x)在点 x0 连续
lim f (x) lim f (x) f (0)
x0
x0
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
定义2 设变量 u 从它的一个初值 u1 变化到终值 u2 ,则称终值与初值的差 u2 u1
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
本讲学习目标:
1、描述函数在一点连续的概念,列举连续的三个定义式。 2、描述函数在一点左右连续的概念。 3、描述函数在区间上连续的概念。 4、列举间断点的类型,描述其分类标准。
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sin sin 2sin

2
cos

2
x x y 2 sin cos( x ) 2 2
x 0, sin x x
x
x 0
0
即函数 y sin x在(, )内连续 .
同理可证 y cos x在(, )内连续 .
x 2 , x 0, 例3 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
下列情形之一,y f ( x)在 x0不连续:
(1) f ( x)在 x0无定义;
(2) f ( x )在 x0有定义,但 lim f ( x )不存在;
x x0
(3) f ( x )在 x0有定义,且 lim f ( x )存在,但是
x x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x0 x ) f ( x0 )
yy f ( x) Nhomakorabealim y 0

y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x
x
0 , 0, 当 x x0 x 时,有
f ( x ) f ( x0 ) y .
x U ( x0 ),
y f ( x) f ( x0 ) ---函数的增量
y
y f ( x)
y
y
x
0
x
0
x0
x 0 x x
x0
x 0 x
x
2. 函数连续的定义 定义 设函数y f ( x )在 x0的某邻域内有定义,如果
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 0 x 0 x 0
作业:
P65 习题1-8 2.(2) 3.(1)(2)(4)
x 1
x
x 1为可去间断点.
补充定义:x 1时,y 2, 该函数在x 1处连续.
说明: 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的
的定义, 则可使其变为连续点.
y
y tan x
解 x 无定义,是间断点. 2 π x 为无穷间断点. 2 y
o
o

2
x
解 在x 0处没有定义,
3. 连续区间与连续函数
且在a右连续,在 b左连续.
连续区间
区间上连续: 指函数在区间[a, b]上的每一内点都连续,
记为:C [ a , b ].
连续函数:y f ( x)在整个区间都连续. 说明:连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
y
y f ( x)
o
a
b
x
例如: 多项式函数
x x0
x 0 x 0
故当 a 1时,f ( x)在 x 0处连续 .
评注: (1) 函数无定义的点一定是间断点、分段函数的 分界点可能是间断点; (2) 判别间断点的类型主要方法是讨论极限、 左、右极限.
小结
左连续
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在
这样的 x0称为 f ( x )间断点.
2. 间断点的分类 第一类间断点:

称 x0为可去间断点 .
称 x0为跳跃间断点 .
第二类间断点:
若其中一个为 , 称 x0为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡, 称 x0为振荡间断点 .
例1 求下列函数的间断点
y
2
o
1
解 x 1无定义,是间断点.
lim (x 1)
x 1,x 3时无定义是间断点.
x 1 x 1 1 lim 2 lim , x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 2
2
x 1是可去间断点.
x2 1 lim 2 , x 3是无穷间断点. x3 x 2 x 3
1 2 x sin , x 0 在x 0连续. 例3 当a为何值时,f ( x ) x 2 a x , x0
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
说明: f ( x )在 x0连续要满足三条件:
(1) f ( x)在 x0有定义,即f ( x0 )存在;
(2) 极限 lim f ( x )存在;
x x0
(3) 极限值等于函数值,即 lim f ( x ) f ( x0 ).
x
x 0时,函数值在 1与1之间变动无限次,
1 lim sin 不存在, x 0为振荡间断点. x 0 x
y
解 lim f ( x ) lim x 1 f (1)
x 1 x 1
1 2
o
1
x
x 1为可去间断点.
y
1
o
1
x
解 lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
第八节 函数的连续性 与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
一、函数的连续性
1. 函数的增量 设变量u从初值u1 ,变到终值u1 , 称 u u2 u1 ---变量u的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义,
x x x0 ---自变量的增量
y
y f ( x)
lim P ( x ) P ( x0 )
又如: 有理分式函数
只要 Q( x0 ) 0, 都有 lim R( x ) R( x0 )
x x0
在其定义域内连续.
1 x sin , 例2 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在x 0处连续.
证明 lim x sin
x0
1 0, x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
所以函数 f ( x)在 x 0处连续.
例3 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证明 任取 x (,),
y sin( x x ) sin x
1 f ( x ) lim x sin 1, 解 lim x 0 x 0 x
2
x0
2 lim f ( x ) lim ( a x ) a , x 0

f (0) a,
f ( x ) lim f ( x ) f (0) 当a 1时, lim
x x0
f ( x ) f ( x0 ); 左连续: f ( x 0 ) lim
) lim f ( x ) f ( x0 ). 右连续: f ( x0 x x0 x x0

等价命题:
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
x 0
x 0

2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2
cos

二、函数的间断点
1. 间断点的定义 定义 设函数y f ( x)在 x0的某去心的邻域内有定义,
x 0 x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
x 0
x 0 为跳跃间断点.
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
例2 解
x2 1 ( x 1)( x 1) , 2 x 2 x 3 ( x 1)( x 3)
那么就称 y f ( x)在点x0连续.

x x0 x, y f ( x ) f ( x0 ), x 0 x x0 , f ( x) f ( x0 ) y 0.
连续的等价定义
设函数y f ( x)在 x0的某邻域内有定义,如果
那么就称 y f ( x)在点x0连续.
解 lim f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
三角函数和差化积公式
sin sin 2sin
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