函数的连续性和间断性
函数的连续性与间断性
lim x21lim (x1)2. x 1x1 x 1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1 x
例6 函数
x,x1 y f(x)12,x1
1
y
这 li里 fm (x ) lix m 1 ,
x 1
x 1
但f(1)1,所以 2
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si n xcoxs(x)
2
2
因为 coxs(x)1, 从而 y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
3. 间断点的分类
设 x0是函 f(x数 )的间断点
(1).如 果 左 极 限 f(x０ )及 右 极 限 f(x０ )都 存 在 , 那 么 x0称 为f (x)的第一类间断点;
(2)如 . x0 果 不f(是 x)的第一,那 类x0 么 称 间为 断点
f (x)的第二类间断点.
在第一类间断右 点极 中限 左相 、等者称为
x
例4
函数 ysin 1在x0处没有 . 定义
x
1
Sin
x
1
当 x 0 时 ,函数 1 与 值 1 之 在 间0.5
-0.4 -0.2
变动无,所 限以 多 x点 0 次 称
-0.5
x
0.2
0.4
-1
为函s数 in1的振荡间.断点 x
例5 函y数 x21在x点 1没定 ,所 义 以函数
函数的连续与间断
f(x)=f(x0 )］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.
设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－
f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)
b左连续；如果
limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.
一、 函数的连续性
定义19
y=f(x)
x0连续.
在定义16中，若令x=x0+Δx, 即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就
是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而
limΔx→0Δy=0
limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).
因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.
A=x2，当自变量x有一个改变 量Δx时，相应函数的增量为ΔA.
ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.
一、 函数的连续性
2. 函数的连续性概念
定义16
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，
函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数
一、 函数的连续性
定义17
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0) 成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.
(1)函数y=f(x)在点x0有定义.
(2)limx→x0f(x)
.
(3)极限值等于该点的函数值f(x0) .
图 2-12
函数的连续性与间断点
。
.
O
x
10
例3 函数
x − 1, y = f ( x) = 0, x + 1,
x → −0 x → +0 x → −0
x < 0, x = 0, x > 0.
y
lim f ( x ) = lim ( x − 1) = −1
。
１
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = +1
18
1 − x 2n ⋅ x 的连续性，若有间断点 例7 讨论函数 f ( x ) = lim 的连续性， 2n n→∞ 1 + x
判断其类型。 判断其类型。 解 Q lim x 2 n
n→∞
0, = 1, ∞,
1, x <1 2n 1− x x = 1, lim = 0, 2n n →∞ 1 + x − 1, x >1
x → +0
O。
－１
•
x
x 不存在。 所以 lim f ( x )不存在。 = 0 称为 x→0
跳跃间断点。 该函数的跳跃间断点 该函数的跳跃间断点。
11
例4 正切函数 y = tan x 在 x =
π
处没有定义， 处没有定义，
2 π 的间断点。 所以 x = 是函数 y = tan x 的间断点。 2
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x Q cos x + ≤1 2 ∆x ∴ ∆y = sin( x + ∆x ) − sin x ≤ 2 sin . 2 又因为当α ≠ 0 时， sinα < α
函数的连续性和间断点
函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。
如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。
二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。
（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。
如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。
如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。
如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。
至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。
历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。
函数的连续性与间断点分析
函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。
本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。
函数的连续性可以用极限的概念进行描述。
如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。
换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。
函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。
函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。
二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。
根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。
通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。
例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。
这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
函数连续性定义和间断点
x0
x
1 y sin
x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点 间断点 第一类间断点 跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
(见下图)
左右极限都存在 左右极限至少有 一个不存在
第y 一
2、 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f(0 ) a ,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
2.跳跃间断点
如果f在 x点0 存在左、右极限，但
lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
则称 x为0 函数 的f 跳跃间断点
例4：讨论函数
f (x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
四、小结
连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性.
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
思考题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x2 ，试研 究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.
函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1.设函数yf (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0x ), 因此函数y 的对应增量为y f (x 0x ) f (x 0).函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量xx x 0 趋于零时, 对应的函数的增量yf (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即lim 0=∆→∆y x 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数yf (x )在点x 0 处连续.注 ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x x 0+x , 则当x 0时, x x 0, 因此lim 0=∆→∆y x 0)]()([lim 00=-→x f x f x x )()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x 0|<的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )f (x 0)|<,那么就称函数y f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称yf (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称yf (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系: 函数yf (x )在点x 0处连续Û函数y f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(¥, ¥)内是连续的.这是因为, f (x )在(¥, ¥)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数xx f =)(在区间[0,¥)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(¥,¥)内是连续的.证明 设x 为区间(¥, ¥)内任意一点. 则有y sin(xx )sin x )2cos(2sin 2x x x ∆+∆=,因为当x 0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数ysin x 在区间(¥,¥)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(¥, ¥)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一: (1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )¹f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. 例1. 正切函数ytan x 在2π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数xy 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x0是函数x1sin的间断点.当x ®0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x 0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x 1没有定义, 所以点x1是函数的间断点.因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x 1时y 2, 则所给函数在x 1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点. 例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x1处的定义:令f (1)1, 则函数f (x )在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x 0处产生跳跃现象, 我们称x0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
函数的连续性与间断点
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
第一类间断点:可去型,跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
23
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
24
无穷型
定理
函 数在 fx () x 处 连 续 函 数在 fx () x 0 0 处 既 左 连 续 又 右 连 续 .
6
x 2 ,x 0 , 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0 处的 x 2 ,x 0 , 2 ) 解 lim 2 f( 0 ),
( 1 ) f( x ) 在点 x 处有定义 ; 0
( 2 ) lim f(x ) 存在 ;
x x 0
( 3 ) lim f ( x ) f ( x ). 0
x x 0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数 f(x ) 在点 x 处不连续 ( 或间断 ),并称点 x 为 0 0 f(x ) 的不连续点 ( 或间断点 ).
1 ), lim f ( x ) 2 f(
x 0 为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
14
f( 1 ) 2 , 如例6中, 令
, 0x1 , 2 x 则f(x ) 1x , x1 , 在 x1 处连续 .
如果函数在开区间 ( a ,b ) 内连续 , 并且在左端 xa 处右连续 , 在右端点 xb 处左连续 , 则称 函数 f(x ) 在闭区间 [ a ,b ] 上连续 .
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但
lim
x x0
f
( x)不存在;
(3) 虽在x
x0有定义,
且
lim
x x0
f ( x)存在,但 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
则 函数 f ( x)在点 x0为不连续(或间断), 而点x0称为函数f ( x)的不连续点(或间断点).
2.间断点举例
例3
正切函数y tan x在x 处没有定义, 2
连续点.
lim
x0
f
(x0
x)
f
( x0 )
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时,
恒有 f ( x) f ( x0 ) .
例1
试证函数
f
(
x)
x sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 因为 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2sin x cos( x x)
2
2
因为 cos( x x) 1, 从而 y 2sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,
断点.因y f ( x)的图形在x 0处产生跳跃现象,称x 0
为函数f ( x)的跳跃间断点.
3. 间断点的分类
设x0是函数f ( x)的间断点
(1).如果左极限f (x０ )及右极限f (x０ )都存在, 那么x0称为 f (x)的第一类间断点;
(2).如果x0不是f ( x)的第一类间断点,那么x0称为 f ( x)的第二类间断点.
由定义知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
x
0.2
0.4
-1
为函数sin 1 的振荡间断点. x
例5 函数y x2 1在点x 1没定义,所以函数在点
x1 x 1为不连续.但这里
lim x2 1 lim( x 1) 2. x1 x 1 x1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1x
例61 2
,
x
1
y
1
这里lim f ( x) lim x 1,
x1
x1
但f (1) 1 ,所以 2
1
2o 1 x
lim f ( x) f (1).
x1
因此，点x=1是函数f(x)的间断点.但如果改变函
数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在x=1
成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断点.
例７
函数
f (x)
x 0,
1,
这里,当x 0时, x 1,
lim f ( x) lim ( x 1) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1.
x0
x0
x 0,
x 0, y x 0.
y x 1
1
o 1
x
故极限lim f ( x)不存在,所以点x 0是函数f ( x)的间 x0
在第一类间断点中左、右极限相等者称为可 去间断点,不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点
和振荡间断点是第二类 间断点.
练习：
1.函数
f
(
x)
1
2x 1
2x
1 1
1
x0 x0
X=0是—————间断点。
2.确定函数间断点的类型.
f (x)
1
x
1 e1x
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
4.连续函数与连续区间
在开区间（a,b）内每一点都连续的函数,叫做在 该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连 续.
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续.
所以点x 是函数tanx 的间断点.因
2
lim tan x ,
x
称x
2
为函数tan x
y
2
的无穷间断点.
o 2
2
3
2
x
例4
函数 y sin 1 在 x 0处没有定义.
x
1
Sin
x
1
当x 0时,函数值在 1与 1之间
0.5
变动无限多次,所以点x 0称
-0.4 -0.2 -0.5
一、函数的连续性
1.函数的增量
U 设函数 f ( x)在U ( x0,)内有定义, x ( x0,),
x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量. y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) ,称为函数 f ( x)相
应于x的增量.
y
y f (x)
故 y 2sin x x , 所以 当x 0时,y 0. 2
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
二、函数的间断点
1.定义
设函数 f ( x)在点 x0的某去心邻域内有定义,在此前提
下,如果函数f (x)有下列三种情形之一 :
(1) 在x x0没有定义;
(2) 虽在x
x0有定义,
y
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U (x0, )内有定义,如果
lim y 0
x 0
或
lim[
x 0
f
( x0
x)
f ( x0 )] 0,
那么就称函数 f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的