1.061--连续函数1--连续性间断点

§1.6 连续函数
一、函数的连续性
1.函数的增量
设 函 数f(x)在 U(x0,)内 有 定 义 , xU(x0,),
xxx0, 称为自变量在点x0的增量(xx0x)
yf(x0x)f(x0),称 为 函 数f(x)相 应 于 x的 增 量 .
y
y
yf(x)
yf(x)
(2)limf(x)存在 ; xx0
(3)x l ix0m f(x)f(x0).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称 函 数f(x)在 点x0处 不 连 续(或 间 断 ), 并 称 点x0为 f(x ) 的 不 连 续 点 ( 或 间 断 点 ) .
二、 函数的间断点
设 f (x) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一函数 f (x) 在点 x 0 不连续 :
在 ( ,)上连续 . 又如, 有理分式函数 R(x) P(x)
Q(x)
在其定义域内连续.
只x 要0 Q ( (x0, ) 0) ,,都x l 有x i 0 xP l m ( ixx m 0) R (P x)( x 0 R )(x0c)ontinue
对自变量的增量 xxx0,有函数的增量
cos(x0
) 1, 2
sinx x 00, 2
当 x 0 时 , y 0 .
即 函 数 y s i n x 对 任 意 x 0 ( , ) 都 是 连 续 的 .
故 y sx i C n ,
二、函数的间断点
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三 (1)f(x)在x点 0处有;定义
x 1 x 1
x 1
limf(x)2 f(1), x 0为函数的可去间.断
x1
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处 函数的定义, 则可使其变为连续点.
如例4中, 令f(1)2,
则f(x)2 x, 0 x1, 1x, x1,
在x1处连续 .
y
2 1
左连续 右连续
2. f (x) 在点 x 0 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限至少有一 个不存在
连 续
的连续函数,或者说函数在(a, b)上连续.
区 间
● 如 果函数在 开区间(a,b)内连续 , 并且 在 左端点
xa处 右 连 续 , 在 右 端 点xb处 左 连 续 ,则 称
函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ] 上 连 续 .
连 ●C a , b 表 示 在 开 区 间 ( a , b ) 内 全 体 连 续 函 数 构 成 的 集 合 ;
xx0
(3) xl ix0 m f(x)f(x0).
若 f (x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作 C[a,b]. 例如, P (x ) a 0 a 1 x a n x n ( 有理整函数 )
间断点分类:
第一类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 均存在 ,
若 f(x0)f(x0), 称 x 0 为可去间断点 . 若 f(x0)f(x0), 称 x 0 为跳跃间断点 .
第二类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x 0 为无穷间断点 .
x 0
l i m f x l i m f x l i m f x 不 存 在 .
x x 0
x x 0
x x 0
右连续但不左连续 ,
故 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 处 不 连 续 .
4.连续函数与连续区间
● 在(a, b)上每一点都连续的函数,叫做(a, b)上
显然 lim f(x)1f(1)
x 1
x 1为其可去间断点 .
y
1
1 2
o 1x
(5) y f (x) x01,,
x0 x 0
x1, x0
f (0)1,
f (0) 1
y
1
ox
1
x 0 为其跳跃间断点 .
例4 讨论函数
y
2 x , 0 x 1,
x1为函数的第二类间. 断点 o x 这种情况称为无穷断间点.
例7 讨论f函 (x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
解 在x0处没有,定义
且lim si1 n, lim si1 n不存 . 在
x x x 0
x 0
x0为第二类间. 断点
这种情况称为振荡型断 间点.
例8 当 a取何,值时
x 0
x 0
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 .
内容小结
1. f (x) 在点 x 0 连续的等价形式
xl ix0m f(x)f(x0)
lx i0 [f m (x 0 x ) f(x 0 ) ]0 f(x 0 )f(x 0 )f(x 0 )
o
x
x 0为函数的跳跃间.断点
第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、
右极限至少有在 一 , 则个称不 x0点 为 存函数 f(x)的第二类.间断点
例6 讨论函 f(x) 数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00) ,
(1) 函数 f (x) 在 x 0 无定义 ;
(2) 函数 f (x) 在 x 0 虽有定义 , 但 lim f (x) 不存在;
xx0
(3) 函数 f (x)在 x 0 虽有定义 , 且 lim f (x) 存在 , 但
xx0
limf(x)f(x0)
xx0
这样的点 x 0 称为间断点 .
即 x l im x 0 fxfx0,则 称 f(x ) 在 点 x 0 处 右 连 续 .
定理 函 数f(x)在x0 处 连 续 是 函 数f(x)在x0
处 既 左 连 续 又 右 连 续 .
即函 数f(x)在x0 处 连 续xl im x0 fxf(x0)
x l im x 0 fx x l im x 0 fx f( x 0 ) .
若其中有一个为振荡 , 称 x 0 为振荡间断点 .
例如:
(1) ytanx
x

2
为其无穷间断点 .
(2) y sin1 x
x 0 为其振荡间断点 .
y
ytaxn
o
x
2
y y sin 1 x
0x
(3) y x2 1
y百度文库
x 1
x 1为可去间断点 .
o1
x
x, x1 (4) y f (x)12 , x1
左连续 右连续
x
o x 0 xx
0, 0, 当 xx0 x 时, 有
f(x)f(x0)y
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
续
函 如 果 函 数 f x 在 开 区 间 ( a , b ) 内 连 续 , 记 为 f x C a , b ,
数 集
● C a , b 表 示 在 闭 区 间 a , b 上 全 体 连 续 函 数 构 成 的 集 合 .
如 果 函 数 f x 在 闭 区 间 a , b 上 连 续 , 记 为 f x C a , b ,
● 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例3 证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任 取 x 0 ( , ),
y s i n ( x 0 x ) s i n x 02sin 2xcos(x0 2x)
x
o1
x
例5
讨论f(函 x) 1 数 xx ,,
x0,在 x0处的.连 x0,
解 lim f x limx 0,
x0
x0
y
lim f x lim1 x 1,
x0
x0
lim fx lim fx
x 0
x 0
由定义2知，函f数 (x)在 x0处连 . 续
3.左、右连续
若 fx 函 在 ( a ,x 0 ] 内 数有 fx 0 定 0 fx 0 义 ,
即 x l im x 0 fxfx0,则 称 f(x ) 在 点 x 0 处 左 连 续 ;
若 fx 函 在 [ x 0 ,b ) 内 数有 fx 0 定 0 fx 0 义 ,
yf(x ) f(x 0 ) f(x 0 x ) f(x 0 )
函数 f (x) 在点 x 0 连续有下列等价命题:
xl ix0m f(x)f(x0) limy0
x0
lx i0m f(x 0 x )f(x 0 ) y y f(x)
y
f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 )
根据函数极限、左右极限定义。
例2
讨论f函 (x) 数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的 x0,
连续 . 性
解 lif m (x ) li(m x 2 )2 f(0),
x 0
x 0
lif m (x ) li(m x 2 )2 f(0),
x 0
f
(
x)

1,
x1
2
1 x , x 1,
1
在 x 1处的连续性 .
o
解 lim fxlim 2x2,
x 1
x 1
y1x
y2 x
1
x
lim fx lim 1 x 2 ,
x 1
x 1
l i m f x l i m f x l i m f x 2 ,
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在x0处连 . 续
解 f(0)a,
lim f(x)lim co xs1,
x 0
x 0
lif m (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 使 limfxlimfxf(0), a1 ,
y
y
x
x
0 x 0 x0 x x 0 x0 x x 0
x
2.连续的定义
定义: 设函数 yf(x)在 x 0 的某邻域内有定义 , 且 xl ix0 m f(x)f(x0),则称函数 f(x)在x0连续 .
可见 , 函数 f (x) 在点 x 0 连续必须具备下列条件: (1) f (x) 在点 x 0 有定义 , 即 f (x0) 存在 ; (2) 极限 lim f (x) 存在 ;