第八节 函数的连续性与间断点

作业
P69习题1-9 3(3)(4)、 4(2)（3）、6
第十节 闭区间上连续函 数的性质
闭区间上连续函数的性质
定理(最值定理) 若函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连 续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值。
定理：（零点定理）若函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连
续，且 f (a)与 f (b)异号则至少存在一点 (a,b)
2．.函数在点x0 处的连续性
定义1 设函数f(x)在点x0 的某个领域内有定义
如果
lim Dy
Dx0
lim[
Dx0
f ( x0
Dx)
f ( x0 )]
0
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
定义2 设函数f(x)在点x0 的某个领域内有定义
如果
lim
x x0
例 3 函数 f(x) 0
x 0
x 1 x 0
y
1 o • 1
x
由于左极限 lim f ( x) lim( x 1) 1
x0
x0
右极限 lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
x0
所以x 0 点为函数 f (x) 的跳跃间断点。
例4
函数
f
(x)
=
x
1 -
1
在x
=
1点处
间断点可分为以下几种类型 , 按左、右极限是否 都存在来分类。
（一）第一类间断点 (左、右极限均存在)
1.可去间断点
lim f ( x) 存在；但 lim f ( x) f ( x)
x x0
x x0
或者
lim
x x0
f
( x) 存在；但f(x)在x0处无定义。
2.跳跃间断点 左右极限都存在，但不相等;
x
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义 域内是连续的.
★ 指数函数 y a x (a 0, a 1) 在(,) 内单调且连续
★ 对数函数 y loga x (a 0, a 1) 在 (0, ) 内单调且连续
★ y x a loga x 在 (0, ) 内连续
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2) 2 f (0)
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f (x)在点 x=0处不连续.
x2 x 1, 0 x 1
例
2:已知函数
f
x
a,
x1 ,
x b,
1 x2
试求a,b值，使函数在 x 1 连续。
解： lim f ( x) lim( x2 x 1) 1
第八节 函数的连续性 与间断点
内容提要
1.函数的连续性； 2. 函数的间断点；
教学要求
1. 理解函数在一点连续的概念，了解函 数在一点处的左、右连续概念以及函数 在一个区间上连续的概念
2. 会判断函数间断点及其类型
一、函数的连续性
1. 自变量的改变量和函数的改变量 设函数 y = f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，
定理3 若 lim ( x) a, 函数 f (u) 在点a处连续， x x0
则有 lim f [( x)] f (a) f [lim ( x)].
x x0
x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
例1 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式= limln(1 x) x x0
1
ln[lim(1 x) x ] ln e 1. x0
例2
求 lim e x 1 . x0 x
解 令 e x 1 y x ln(1 y),
x 0, y 0.
lim
x0
e
x
x
1
lim
y0
y ln(1
lim 1 y) y0
ln(1
1
y) y
1.
同理可得
lim a x 1 ln a. x0 x
所以x =1为函数f(x) 的可去间断点。
令 f (1) = 2
y
x2 1
则函数f (x)在x =1点处就连续了。2
•
y x1
o1 x
指出：
对于可去间断点，我们可以补充 ( 当 f (x0 )无定义时）
或改变 ( 当f (x0 )有定义时) 函数在x0 点处的定义 ,
使函数在x0 点处连续。
x 1 x 0
说明: 由此可见当
时, 有
ln(1 x) : x e x 1 ~ x
例7.求
3
lim(1 2 x)sin x .
x0
解: 原式
3 x
2 x
说明: 若 lim u( x) a , lim v( x) b,则有
x x0
x x0
lim u( x)v( x) ab
x x0
小结
1. 连续函数的运算法则; ① 法则1（连续函数的四则运算法则）; ② 法则2（反函数的连续性）; ③法则2（复合函数的连续性）; 2. 初等函数的连续性; 注意 初等函数求极限的方法代入法.
x x0
(3) lim f ( x) f ( x) x x0
由定义可知， f ( x)在 x0满足下列三 条中的任一条， x0就是 f ( x)的间断点。
1、 f ( x)在 x0没有定义
2、 lim f ( x)不存在 x x0
3、 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
间断点分类 ：
二、函数的间断点
如果函数 f (x) 在点x0 处不连续，就称f (x) 在点 x0 处间断，x x0 点称为函数 f (x)的间断点或者 不连续点。 由函数连续性定义可知 , f(x) 在点 x0 连续必须
同时满足以下三个条件:
(1) 函数 f (x)在点 x0 有定义; (2) lim f ( x) 存在；
则称 f ( x)在开区间 (a,b)内连续。 (2) 若函数f (x)在开区间(a,b)内连续, 在左端
点x =a处右连续且在右端点 x =b 处左连续 , 则称 f (x) 在闭区间 [a,b]上连续, 函数连续点的全体所 构成的区间 , 称为函数的连续区间。
在连续区间上,连续函数的图形是一条连绵不断的 曲线。
教学要求
1.了解连续函数的和、差、积、商的连续 性，知道反函数与复合函数的连续性， 了解初等函数的连续性
2.掌握用连续性计算初等函数的极限
一、四则运算的连续性
定理1 若函数 f ( x), g( x) 在点 x0 处连续，则
f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
当自变量从x0变到x，函数值也从f(x0)变到f(x) （1）自变量的改变量（增量）
x x0 称为自变量的该变量，记为 Dx , 即 Dx x x0 x x0 Dx (可正可负)
（2）函数的改变量（增量）
f ( x) f ( x0 ) 称为函数的该变量，记为Dy ,
即
Dy f ( x) f ( x0 ) (可正可负)
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点右连续。
结论: 函数 y = f (x)在x0点连续的充分必要条是： 函数y = f (x)在x0 点既左连续且右连续
例1
讨论函数
f
(
x)
x 2
1, 0 x,1
x x
1 3
在 x 1处的连续性。
解：
lim f x lim x 1 0
定理4 设函数 u ( x)在点 x x0连续且 ( x0 ) u0 而函数y f (u) 在点 u u0 连续，则 复合函数 y f [( x)] 在点 x x0也连续
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如, u 1 在 (, ) 内连续。 x
y sin u 在 (, ) 内连续。 y sin 1 在 (, ) 内连续。
x1
故 x = 1为函数的可去间断点. 令 f (1) = 2,
则
f
(
x
)
2
x,
1 x,
0 x 1, x 1, 在x =1处连续.
例2 函数
x2 1 f (x)
x1
lim f ( x) lim x2 1 lim( x 1) = 2
x1
x1 x 1 x1
f (x)在 x =1 处无定义，
小结
1. 函数在一点连续
函数在一点左右连续
2. 区间上的连续函数;
3. 间断点的分类与判别;
间断点 第一类间断点: 可去型,跳跃型. 第二类间断点: 无穷型,振荡型.
作业 P64 习题1-8
2(1) 3(1)
第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性
内容提要
1 连续函数的和、差、积、商的连续性 2.反函数、复合函数的连续性 3.初等函数的连续性
使得 f ( ) 0
x1
x1
lim f x lim 2 x 1
x1
x1
lim f x lim f x
x1
x1
lim f x 不存在 x1
f (x)在 x 1处不连续。
即 x 1是 f (x)的间断点。
2.讨论函数
f
(
x)
x x
2, 2,
x x
0 0
在x = 0处的连续性。
lim f ( x) lim ( x 2) 2 f (0)
，由于
lim f ( x) lim 1 所以x =1为f (x)的第
x1
x1 x 1
二类间断点。（无穷型间断点）
1
例5
讨论函数
y
sin
1 x
在
x
0
处的连续性。
解
f ( x) 在 x 0处没有定义，
且
1 lim sin
不存.在
x0
x
x 0 为第二类间断点。
y sin 1 x
（振荡间断点）
（二）第二类间断点 (左、右极限至少有一个不存在)
2 x, 0 x 1,
例1
函数
f
(x)
1,
x1
y
1 x, x 1,
2
f (1) 1, lim f ( x) lim 2 x 2
x1
x1
lim f ( x) lim(1 x) 2
1
o
1
x
x1
x1
lim f ( x) 2 f (1),
y au , u loga x.
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意
1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D : x 0,2p ,4p ,
这些孤立点的邻域内没有定义.
( g( x0 ) 0)
也在点 x0 处连续。
例如, sin x,cosx在(- ,+)内连续,
故 tanx,cot x,secx,cscx 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数的区间上单调增加（或单调减少） 且连续，那么他的反函数也在对应的区间上单调 增加（或单调减少）且连续。
lim
1 x2 1 .
x0
x
( 1 x2 1)( 1 x2 1)
解 原式 lim
x0
x( 1 x2 1)
x
0
lim
0
x0 1 x2 1 2
例5.求 解: 原式
例6.求
解: 令t a x 1, 则 x loga (1 t), 原式 lim t t0 loga (1 t )
f (x)
f ( x0 )
则称函数y = f ( x)在 x0点连续. x0称为f (x)的连续点.
若 f (x) 在点 x0 不连续，则称点 x0为f (x) 的间断点
【注】若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ), 则称函数 y = f (x)在x0
点左连续。
若
lim
x x0
f (x)
Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
注: Dx, Dy分别为整体记号,不能理解为D x及D y
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y f (x)
Dy f ( x0 Dx) f ( x0 )
Dx
f
(
x0
)
x0
f (x0 Dx)
x0 Dx
在几何上指，函数的改变量表示当自变量从x0 变到x+ Dx 时，曲线上相应点的纵坐标的改变 量。
y x2( x 1)3 , D : x 0, x 1,
在0点的邻域内没有定义. 函数在区间[1,) 上连续. 注意 2. 初等函数求极限的方法代入法.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
例3 求 limsin e x 1. x1
解 原式 sin e1 1 sin
e 1.
例4
求
x1
x1
lim f ( x) lim( x b) 1 b
x1
x1
f (1) a
要使函数在 x 1 点处的连续，必须
lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
解得 a 1 b 0
3、函数在区间上的连续性
(1) 若函数 f (x)在开区间(a,b)内每一点都连续。
例如,
y
=
sin
x在[-
p
2
,p2 ]上单调增加且连续
,
故 y = arcsin x 在[- 1,1]上也是单调增加且连续 .
同理 y = arccos x 在[- 1,1]上单调减少且连续 ; y = arctan x, y = arc cot x 在[,+]上单调且连续 .
反三角函数在其定义域内皆连续.