函数的连续与间断
连续性间断点,连续函数的运算
无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x
函数的连续性与间断性
lim x21lim (x1)2. x 1x1 x 1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1 x
例6 函数
x,x1 y f(x)12,x1
1
y
这 li里 fm (x ) lix m 1 ,
x 1
x 1
但f(1)1,所以 2
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si n xcoxs(x)
2
2
因为 coxs(x)1, 从而 y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
3. 间断点的分类
设 x0是函 f(x数 )的间断点
(1).如 果 左 极 限 f(x０ )及 右 极 限 f(x０ )都 存 在 , 那 么 x0称 为f (x)的第一类间断点;
(2)如 . x0 果 不f(是 x)的第一,那 类x0 么 称 间为 断点
f (x)的第二类间断点.
在第一类间断右 点极 中限 左相 、等者称为
x
例4
函数 ysin 1在x0处没有 . 定义
x
1
Sin
x
1
当 x 0 时 ,函数 1 与 值 1 之 在 间0.5
-0.4 -0.2
变动无,所 限以 多 x点 0 次 称
-0.5
x
0.2
0.4
-1
为函s数 in1的振荡间.断点 x
例5 函y数 x21在x点 1没定 ,所 义 以函数
函数的连续与间断
f(x)=f(x0 )］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.
设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－
f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)
b左连续；如果
limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.
一、 函数的连续性
定义19
y=f(x)
x0连续.
在定义16中，若令x=x0+Δx, 即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就
是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而
limΔx→0Δy=0
limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).
因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.
A=x2，当自变量x有一个改变 量Δx时，相应函数的增量为ΔA.
ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.
一、 函数的连续性
2. 函数的连续性概念
定义16
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，
函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数
一、 函数的连续性
定义17
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0) 成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.
(1)函数y=f(x)在点x0有定义.
(2)limx→x0f(x)
.
(3)极限值等于该点的函数值f(x0) .
图 2-12
函数的连续性与间断点
。
.
O
x
10
例3 函数
x − 1, y = f ( x) = 0, x + 1,
x → −0 x → +0 x → −0
x < 0, x = 0, x > 0.
y
lim f ( x ) = lim ( x − 1) = −1
。
１
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = +1
18
1 − x 2n ⋅ x 的连续性，若有间断点 例7 讨论函数 f ( x ) = lim 的连续性， 2n n→∞ 1 + x
判断其类型。 判断其类型。 解 Q lim x 2 n
n→∞
0, = 1, ∞,
1, x <1 2n 1− x x = 1, lim = 0, 2n n →∞ 1 + x − 1, x >1
x → +0
O。
－１
•
x
x 不存在。 所以 lim f ( x )不存在。 = 0 称为 x→0
跳跃间断点。 该函数的跳跃间断点 该函数的跳跃间断点。
11
例4 正切函数 y = tan x 在 x =
π
处没有定义， 处没有定义，
2 π 的间断点。 所以 x = 是函数 y = tan x 的间断点。 2
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x Q cos x + ≤1 2 ∆x ∴ ∆y = sin( x + ∆x ) − sin x ≤ 2 sin . 2 又因为当α ≠ 0 时， sinα < α
函数的连续性和间断点
函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。
如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。
二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。
（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。
如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。
如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。
如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。
至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。
历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。
数学中的连续性与间断点分析
数学中的连续性与间断点分析在数学中，连续性与间断点是一种重要的概念和分析方法。
连续性描述了数学函数在某一区间内的平滑性和连贯性，而间断点则指出了函数在某些点上的不连续性和突变性。
本文将从连续性的定义、间断点的分类和分析方法三个方面来探讨数学中的连续性与间断点。
1. 连续性的定义在数学中，连续性是指函数在某一区间上的无缝性和连贯性。
形式化地说，函数f(x)在某一点a处连续，当且仅当满足以下三个条件：（1）f(a)存在；（2）f(x)在点a的邻域内有定义；（3）lim(x→a) f(x) = f(a)，即当x趋近于a时，f(x)趋近于f(a)。
2. 间断点的分类间断点是指函数在某些点上不满足连续性的情况。
根据间断点的性质和出现形式，可以将其分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
（1）可去间断点：当函数在某一点上左右极限存在且相等，但与函数在该点的函数值不相等时，称该点上的间断点是可去间断点。
可去间断点的特点是可以通过修改函数在该点的函数值来消除间断并使其连续。
（2）跳跃间断点：当函数在某一点上左右极限存在但不相等时，称该点上的间断点是跳跃间断点。
跳跃间断点的特点是函数在该点处发生了突变或跳跃，从极限的角度看，左极限和右极限不相等。
（3）无穷间断点：当函数在某一点上的极限为正无穷大或负无穷大时，称该点上的间断点是无穷间断点。
无穷间断点的特点是函数在该点的函数值无限增大或无限逼近某一极限。
3. 连续性与间断点的分析方法分析函数的连续性与间断点可以利用以下方法：（1）图像分析：通过绘制函数的图像，观察函数在各点上的连续性和间断点的特征。
图像分析可以直观地展示函数的变化和趋势，找到可能存在的间断点。
（2）函数性质分析：根据函数性质和运算规则，推理函数在某些点上的连续性和间断点。
例如，有理函数的定义域和分母的零点通常会导致函数的间断点。
（3）极限分析：通过计算函数在某一点的左右极限，并与该点的函数值进行比较，判断函数在该点上的连续性和间断点。
函数的连续性与间断点
第 一 章 函 数 与 极 限
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
( 3) 虽然在 x x0 有定义 , 且 lim f ( x ) 存在,
x x0
但 lim f ( x ) f ( x0 );
x x0
则 f ( x ) 在 x0 不连续, x0 称为 f ( x ) 的不连续点(间断点).
高 等 数 学
思考与练习
3. 确定函数 f ( x )
第 一 章 函 数 与 极 限
1 1 e
x 1 x
的间断点的类型 .
解
间断点为 x 0 , x 1.
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
因为 lim f ( x ) , 所以 x 0 为无穷间断点 ; x 0
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例1
第 一 章 函 数 与 极 限
1 x sin , 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在 x 0处
连续.
证
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
1 因为 lim x sin 0, x 0 x
又 f (0) 0,
由定义2知
lim f ( x ) f (0),
x 0
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续.
上一张
下一张
返 回
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例2 证明函数 y sinx在 (,)内每一点连续 . 证
第 一 章 函 数 与 极 限
任取 x ( ,),
y sin( x x ) sin x 2 sin
函数的连续性和间断点
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
这种情况称为无穷间 断点.
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
y
y f ( x)
y
x
0
x0
x 0 x x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 果当自变量的增量 x 趋向于零时,对应的函 数的增量y 也趋向于零,即 lim y 0
x 0 x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
故| f ( x ) |、 f ( x )在 x0 都连续.
2
但反之不成立.
1, x 0 例 f ( x) x0 1,
在 x0 0 不连续
但 | f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x0 0 连续
练 习 题
一、填空题：
x2 1 1 、指出 y 2 在 x 1 是第 _______ 类间 x 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . x2 x 2 、指出 y 在 x 0 是第 ________ 类间 2 x ( x 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1 二、研究函数 f ( x ) 的连续性，并画出函数 1, x 1 的图形 .
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y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y
y f ( x)
y
y y
y f ( x)0源自x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
注意
定理4是定理3的特殊情况.
1 例如, u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x
四、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
1.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
x, 例4 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义,如果
函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限存在,且等于它在 点 x 0 处的函数值 f ( x 0 ) ,即 lim f ( x ) f ( x0 ) x x
故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.
, 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续 2 2 故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续 .
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续 ; y arctan x, y arc cot x 在[,]上单调且连续 .
lim 数的增量y 也趋向于零,即x 0 y 0
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如, 有理整函数在区间 ,)内是连续的 ( .
例3 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证
任取 x (,),
x x cos( x ) 2 2 x 则 y 2 sin . 2
y sin( x x ) sin x 2 sin
lim lim f [ ( x )] f (a ) f [ x x ( x)]. x x
0
0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换;
2.变量代换( u ( x ))的理论依据 .
ln(1 x ) . 例9 求 lim x 0 x
解 原式 lim ln(1 x )
第九节
函数的连续与间断
一、函数的连续性
二、函数的间断点及其分类
三、连续函数的运算 四、初等函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质
六、小结 思考题
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y
2 1
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在 .
3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x ) x , x 0,在x 0处的连续性. x , x 0, y
三、连续函数的运算
定理1
若函数 f ( x ), g ( x )在点 x0处连续,
f ( x) 则 f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x ), ( g ( x0 ) 0 ) g( x ) 在点 x0处也连续.
例如, sin x, cos x在(,)内连续,
y
解
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
但 lim f ( x ) A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定 x x
0
那末就称函数 f ( x ) 在点x 0 连续.
" " 定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x 0, x 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
同理可得
1 ln(1 y )
1 y
1.
ax 1 lim ln a . x 0 x
定理4
设函数 u ( x ) 在点 x x0连续, 且
( x0 ) u0 , 而函数 y f ( u) 在点 u u0 连续, 则复合函数 y f [( x )]在点 x x0也连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
x 2 , x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
解 lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
反三角函数在其定义域内皆连续.
定理3
若 lim ( x ) a , 函数 f ( u)在点a连续,
x x0 x x0
则有 lim f [( x )] f (a ) f [ lim ( x )].
x x0
证
f (u)在点 u a连续,
0, 0, 使当 u a 时, 恒有 f ( u) f (a ) 成立.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x 0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 则称 , 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
又 lim ( x ) a, x x
0
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有 ( x ) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时,
f ( u) f (a ) f [ ( x )] f (a ) 成立.
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
★
1, 当x是有理数时, f ( x) 1, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续. 判断下列间断点类型:
y
y f x
x1
o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0, 解 f ( 0) a ,
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续.
x 0 1 x
ln[lim(1 x ) ] ln e 1. x 0
1 x
ex 1 . 例10 求 lim x 0 x
解
令 e x 1 y,
则 x ln(1 y ),
当x 0时, y 0.
y lim 原式 lim y0 y 0 ln(1 y )
(均在其定义域内连续 )
定理5
x 1
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 0为函数的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例5中, 令 f (1) 2,
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续.
连续的.
★ 指数函数 y a x
(a 0, a 1)
在(,)内单调且连续 ;
★ 对数函数 y loga x
(a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续;
★
y x a log