函数的连续性与间断点
03.函数的连续性
x → s x = cos x0
x→x0
所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.
一、函数的连续点与间断点
x, 当x ≥ 0时, 在x = 0处连续. 例1. 证明f ( x) =| x |= − x, 当x < 0时,
0
x→ x0
间断点有2类： 跳跃间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)存在但不相等； 第一类间断点： 可去间断点： f ( x)存在但 lim f ( x) ≠ f ( x ).或f ( x )无定义 lim 0 0 x → x0 x → x0 第二类间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)中至少有一不存在.
第 二 类 间 断 点
0
x0
y
y
x
0
x 振荡型
无穷型
一、函数的连续点与间断点
lim f ( x) ≠ f ( x0 )或f ( x0 )无定义
+ 0 − 0
间 断 点
可去间断点
x → x0
跳跃间断点 xlim f ( x ) ≠ xlim f ( x ) →x →x 无穷间断点
f ( x ) 在 x 0点 左 右 极 限 至 少 有 一 个 为 无 穷 大
x →0
故, f (x)在x=0间断. 图形为
y 1 o –1
y=f (x)
x
一、函数的连续点与间断点
若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在 开区间(a, b)内连续.
若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续.
函数的连续性和间断点
函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。
如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。
二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。
（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。
如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。
如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。
如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。
至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。
历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。
1.6函数的连续性与间断点
则 点 义 称 x0为 数f (x) 可 间 点 函 的 去 断 .
x2 −1 x ， 例8 函 f（ ） x −1， ≠1 数 x = y 0 x =1 。 ， x2 −1 在 x =1 ， 为 点 处 因 lim = x→ x −1 1 1 lim x +1 = 2 而（） 0 （ ） ， f 1 = ，
不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 返回
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时 , y = D( x ) = 0, 当x是无理数时 ,
在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间 在定义域 内每一点处都间断,且都是第二类间 内每一点处都间断 断点. 断点
x→ 1
y=
x −1
2
x −1
以 所 x =1是 数 可 间 点 函 的 去 断 。 o
1
x
返回
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. y 数的定义 则可使其变为连续点 如上例中, 如上例中 令 f (1) = 2,
x 则f ( x )在 =1处 续 连 .
y=
解
f (0−0) = 0,
f (0+0) =1 ,
y
Qf (0−0) ≠ f (0+0),
∴x = 0 函 的 跃 断 . 为 数 跳 间 点
o
x
返回
点 的 限 在 2.可去间断点 如 f (x)在 x0处 极 存 , 可去间断点 果 lim 但x→x f (x) = A≠ f (x0 ), 或f (x)在 x0处 定 点 无
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线
函数的连续性与间断点分析
函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。
本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。
函数的连续性可以用极限的概念进行描述。
如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。
换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。
函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。
函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。
二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。
根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。
通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。
例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。
2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。
这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。
§1. 8 函数的连续性与间断点
•函数连续的定义 设函数 yf(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果
Dx0
lim [ f (x0 + Dx) - f (x0)] 0 或 , lim f (x) f (x0 )
x x0
那么就称函数 yf(x) 在点x0处连续
•讨论 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？
§1. 8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
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一、函数的连续性
•变量的增量 若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的 增量 记作Du 即Du u2-u1 •函数的增量 设函数yf(x)在点x0的某一 个邻域内有定义 当自变量x在 该邻域内从 x0 变到 x0+Dx时 对 应的函数 y 的增量为 Dy f(x0+Dx)- f(x0)
x x0
lim P(x) P(x0 )
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•函数在区间上的连续性
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端 点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是 指右连续
•连续函数举例
2 函数 ysin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数ysin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
1 y sin x
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•间断点举例
2 -1 x 例3 3 函数 y 例 在 x1 没有定义 x -1 所以点x1是函数的间断点 2 -1 x lim (x +1) 2 因为 lim x 1 x -1 x1 如果补充定义: 令x1时y2 则所给 函数在 x1 成为连续 所以 x1 称为 该函数的可去间断点
函数的连续点与间断点
函数的连续点与间断点在数学中，连续性是描述函数的一种性质。
一个函数在某个点连续意味着在该点附近可以通过函数图像的一条连续曲线来表示。
换句话说，函数在该点的值与该点的极限值相等。
在函数的定义域上，我们可以将连续点分为两类：间断点和连续点。
一个函数的间断点是指在函数定义域上的某个点，该点的函数值与该点的极限值不相等。
可以将间断点进一步细分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点：在这种情况下，函数在该点的极限存在，但函数的值与极限值不相等。
这种情况发生在该点存在一个孤立点，也就是说，通过改变函数在该点的定义，可以使其在该点处连续。
例如，函数$f(某) = \frac{某^2 - 1}{某-1}$在$某 = 1$处有一个可去间断点。
2. 跳跃间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限都存在，但极限值不相等。
这种情况下，函数图像会出现一个间断或跳跃。
例如，函数$g(某) = \begin{cases} 1, & 某 < 0 \\ 0, & 某 \geq 0\end{cases}$在$某 = 0$处有一个跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限至少有一个为无穷大。
例如，函数$h(某) = \frac{1}{某}$在$某 = 0$处有一个无穷间断点，在该点的左右极限分别是负无穷和正无穷。
连续点是指在函数定义域上的点，其函数值与该点的极限值相等。
换句话说，函数图像在该点处没有间断或跳跃。
对于一个函数$f(某)$，如果$f(某)$在其定义域上的每一个点都连续，那么该函数被称为在其定义域上连续的函数。
连续性在数学中具有很多重要的性质和应用。
例如，连续函数具有介值定理，即如果$f(a)<y<f(b)$，那么在闭区间$[a,b]$上存在一个$某$使得$f(某)=y$。
这个定理可以应用于实际生活中的许多问题，例如求根问题、优化问题等。
在微积分中，连续性是很重要的。
高等数学方明亮版课件1.8 函数的连续性与间断点
20XX.XX.XX
高等数学方明亮版课件1.8 函数 的连续性与间断点
,
汇报人：
目 录
01 函 数 的 连 续 性 02 函 数 的 间 断 点 03 连 续 性 与 间 断 点 的 关 系
01
函数的连续性
连续性的定义
函数在某点处连续， 是指在该点处函数 值等于该点的极限 值
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汇报人：
连续函数的应用
微积分：连续 函数是微积分 的基础，用于 计算面积、体
积等
物理：连续函 数在物理中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
工程：连续函 数在工程中用 于描述物体的 运动、力、能
量等
经济：连续函 数在经济学中 用于描述价格、 需求、供给等
02
函数的间断点
间断点的定义
间断点：函数在某点处没有定义的点 间断点类型：跳跃间断点、可去间断点、无穷间断点、振荡间断点 跳跃间断点：函数在该点处左右极限不相等 可去间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值 无穷间断点：函数在该点处极限不存在 振荡间断点：函数在该点处左右极限相等，但函数值不等于极限值，且函数在该点处左右极限不相等
ห้องสมุดไป่ตู้
间断点对函数性质的影响
间断点可能导致函数不连 续
间断点可能导致函数值跳 跃
间断点可能导致函数值无 法定义
间断点可能导致函数无法 求导
连续性与间断点在数学分析中的应用
连续性与间断点在函数极限中的应用 连续性与间断点在函数导数中的应用 连续性与间断点在函数积分中的应用 连续性与间断点在函数微分方程中的应用
连续性是函数最重 要的性质之一，它 决定了函数的光滑 程度和可导性
函数的连续性与间断点
1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量设变量u从它的一个初值u1变到终值u2终值与初值的差u2−u1就叫做变量u的增量记作Δu即Δu=u2−u1设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x在这邻域内从x0变到x0+Δx时函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Δx) 因此函数y的对应增量为Δy= f(x0+Δx)− f(x0)函数连续的定义设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增量Δx=x −x0趋于零时对应的函数的增量Δy= f(x0+Δx)− f(x0)也趋于零即或那么就称函数y=f(x)在点x0处连续注①②设x=x0+Δx则当Δx0时xx0因此函数连续的等价定义2设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义的正数ε总存在着正数δ使得对于适合不等式|x−x0|<δ的一切x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)−f(x0)|<ε那么就称函数y=f(x)在点x0处连续左右连续性如果则称y=f(x)在点处左连续如果则称y=f(x)在点处右连续左右连续与连续的关系函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1 如果f(x)是多项式函数则函数f(x)在区间(−+)内是连续的这是因为f(x)在(−+)内任意一点x0处有定义且.2 函数在区间[0 +)内是连续的3 函数y=sin x在区间(−+)内是连续的证明设x为区间(−+)内任意一点则有Δy sin(xΔx)sin x因为当D x0时 D y是无穷小与有界函数的乘积所以这就证明了函数y=sin x在区间(-+)内任意一点x都是连续的．4 函数y=cos x在区间(−+)内是连续的二、函数的间断点间断定义设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在x0没有定义(2)虽然在x0有定义但f(x)不存在(3)虽然在x0有定义且f(x)存在但f(x)f(x0)则函数f(x)在点x0为不连续而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点例1正切函数y=tan x在处没有定义所以点是函数tan x的间断点因为故称为函数tan x的无穷间断点例2 函数在点x=0没有定义所以点x=0是函数的间断点当x0时函数值在−1与+1之间变动无限多次所以点x=0称为函数的振荡间断点例3函数在x=1没有定义所以点x=1是函数的间断点因为如果补充定义令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续所以x=1称为该函数的可去间断点例4 设函数因为所以x=1是函数f(x)的间断点如果改变函数f(x)在x=1处的定义令f(1)=1 则函数f(x)在x=1 成为连续所以x=1也称为该函数的可去间断点例5 设函数因为,所以极限不存在x0是函数f(x)的间断点因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点间断点的分类:通常把间断点分成两类如果x0是函数f(x)的间断点但左极限f(x0−0)及右极限f(x0+0)都存在那么x0称为函数f(x)的第一类间断点不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点在第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点不相等者称为跳跃间断点无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点。
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第七节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作
x
∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义
定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量
x
∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y
＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当
0x x →时的极限存在，即)()(lim 00
x f x f x x =→，则称函数y
＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数
ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值
)(x f 都满足不等式：ε
<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义）
，（2） )(lim 0
x f x x →存在；（3）)()(lim 00
x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：
（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且
)()(lim 000
x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且
)()(lim 000
x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续⇔函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连
续。
(3)、函数y ＝)(x f 在点0x 处连续是)(lim 0
x f x x →存在的充分条件，而非必要条件。
3、函数在区间上连续的定义
定义4：如果函数y ＝)(x f 在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数y ＝)(x f 在该区间上是连续的。
例1：讨论下列函数在区间),(+∞-∞内的连续性 （1）2)(x x f = （2）x x f cos )(= （3）x e x f =)(
例2：设⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<=0
02sin )(2x a
x x x
x
x f ，试确定b 的值，使函数)(x f 在0=x 处连续。
二、函数的间断点
（一）．间断点概念：设函数)(x f 在),(0δ∧
x U 内有定义（在点0x 处可以无定义），如果函数)(x f 在点0x 处不连续，则称点0x 为函数)(x f 的一个间断点（或不连续点）。
函数)(x f 在点0x 连续： 函数)(x f 在点0x 不连续：
（1）函数)(x f 在点0x 有定义， （1*） 函数y ＝)(x f 在点0x 没有定义 （2） )(lim 0
x f x x →存在； （2*）)(lim 0x f x x →不存在
（3）)()(lim 00
x f x f x x =→ （3*）)(lim 0
x f x x →存在，但)(x f 在点0x 没有定
义， 或)()(lim 00
x f x f x x ≠→
（二）.间断点的分类
设0x 为函数)(x f 的一个间断点， 1、第一类间断点
)0(0-x f ，)0(0+x f 都存在，
（1）若)0(0-x f =)0(0+x f ，即)(lim 0
x f x x →存在，此类间断点称为可去间断点。
函数)(x f 在点0x 无定义，函数)(x f 在点0x 有定义，但)()(lim 00
x f x f x x ≠→。
（2）若)0(0-x f ≠)0(0+x f ，即)(lim 0
x f x x →不存在，此类间断点称为跳跃间断点。
2. 第二类间断点
)0(0-x f 与)0(0+x f 中至少有一个不存在。
其中有两类特殊的间断点：无穷
间断点和振荡间断点。
例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型
（1）x
x x f 2sin )(=
（2）x
x f 1arctan
)(= （3）2
31)(2
2
---=
x x x x f
（4）x
x f 1sin )(=。