第八节 函数的连续性与间断点
(1) 在 x = x0 没有定义；
(2) 虽在 x = x0 有定义，但 lim f ( x ) 不存在； x x0
(3) 虽在 x = x0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 x x0 lim f (x) f (x0 ) , x x0
注意 增量 u 可正可负还可以为零.
第八节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
如果 l i m y l i m [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,
x 0
x 0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. y
例如
第八节 函数的连续性与间断点
y
(1) x π 为其无穷间断点 .
2
(2)
O - π x
2
y
x 0 为其振荡间断点 .
x
(3)
y
x 1 为可去间断点 .
O1 x
第八节 函数的连续性与间断点
x , x 1,
y
(4)
y1.
显然 lim f ( x ) 1 f (1) , 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值
的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 .
设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y 称为函 数的增量.
x1
1
x 1 为其可去间断点 .
2
O1
x
x 1, x 0 ,
y
(5) y
f
(
x)
0
,
x0,
x 1 , x 0 .
1
f (0 ) 1 , f (0 ) 1 ,
O -1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
第八节 函数的连续性与间断点
例3
求函数
yy
xx22
xx22 11 33xx
22
4. 区间连续函数 定义 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间
上的连续函数，或者称函数在该区间上连续.
如果区间包括端点，那么在左端点连续是指右连续， 在右端点连续是指左连续.
第八节 函数的连续性与间断点
例1 证明 y = cos x 在(- , +)上连续续..
证明 x (- , +)， 因为
第八节 函数的连续性与间断点
3. 左右连续函数
左连续： lim f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) .
x x0
右连续： lim f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) .
x x0
连
续：
f
(
x
0
)
f (x0)
f (x0) .
第八节 函数的连续性与间断点
的间断点点，，并指出其类类型..
解
y
x2 1 x第2 八3节x
2函数((的xx 连11))续((xx性12与)) ,间断点
lim lim 当 例x =41*求求和函函x数数= 2(ffx时((xx，)1))(函x11数11e1)e没11xxx定 x 的义间. 断x而点点1，，并指指出其类类型..
所以解 xli=m函1f数是x(x在第1) (一xx=类1,0)可(和x去xx间2=) 0断1为处点yx无f没.1(穷x定)x间义12断.1e1点xx;2 ,
xy
,0
.
这就证明了 y = cos x 所以 0 | y | 2sin
在x(c-os,
+)上2 连续 . x x 2sin
2 x
|
x
|
.
2 2
2
而 lim| x | 0 , 因此由夹逼定理有 lim y 0 .
第八节 函数的连续性与间断点
二、函数的间断点
1、定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
x0
因为当 x1- 时，l1ixmx2 x((xx11))((xOx,12)) f(x),x 0 ;
所以当xx=21是+ 时第，二类x 无穷间 断,点. f ( x) 1; 1 x
y
f (x)
1
x
1 e 1x
第八节 函数的连续性与间断点
作业： P61 习题1-8 3.(1)(2) 4.
第八节 函数的连续性与间断点
所以例例220*证证|明明yy|y==ssininxx在在(-(-,
,++)上)上连连续续..
2sin
x
| x | .
证明 x (- , +)， 因为
2
而
lim lim xy0
| x | sin(x
0
,x因) 此sin由x夹 2逼si定n 理x有cosxx0
则称函数 f (x)在 x0 间断，点 x0 称为函数f (x)的间断点.
第八节 函数的连续性与间断点
2、间断点分类
可去间断点
第一类间断点
间断点 第二类间断点
跳跃间断点
f (x0-) f (x0+)
无穷间断点
f (x0-) , f (x0+)中 有一个是无穷大
振荡间断点
f (x0-) , f (x0+)中有一个是 振荡（不好求）
x x0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续.
第八节 函数的连续性与间断点
连续定义分解：
lim f (x) f (x0 )
x x0
(1) 有定义，即 f (x0) 存在；
(2) 有极限，即 lim f ( x ) 存在； x x0
(3) 相等，即 lim f ( x ) f ( x 0 ) . x x0
y = f (x)
连续函数的图形是一条连续而不
y x
间断的曲线.
O
x0 x0+x x
第八节 函数的连续性与间断点
lim y lim [ f (x0 x) f (x0 )] 0 ,
x 0
x 0
连续的等价定义：
设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，如果
lim f (x) f (x0 ) ,
高等数学1.8精讲----函数的连续性与间断点
在 右连续.
在 连续
f x0
高等数学
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例3 证明 y sin x 在区间 , 连续.
证明：x , 当 x 取得增量 x 时，
对应的函数的增量为 y sin x x sin x
由公式
sin
x
x
sin
x
2 sin
x 2
cos
x
x 2
由
cos
x
x 2
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
跳
不相等 第一类间断点: 左右极限都存在
跃 型
间断点
相等
可
第二类间断点: 无穷型,振荡型.
去
型
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第 一
y
可去型
类
间
断 点
o x0
x
y
第
二
类
间 断
o
x0
x
点
无穷型
高等数学
y
跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
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4 f x0 f x0 f x0
证明题常用 1 判断函数在某点是否连续常用 2 分段函数在分段点处的连续性常用 4
高等数学
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例4 讨论函数
在 x 0 的连续性.
解：
lim f x lim x 2 2 f 0
x0
x0
lim f x lim x 2 2 f 0
y 0 就是 f x f x0 ,
高等数学
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1-8 函数的连续性与间断点 (高等数学)
§1.8 函数的连续性与间断点教学内容：一．函数连续的概念定义 增量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21-u u 称为变量u 的增量，记为∆u ，即21∆=-u u u .定义 在某一点处的连续性：（1）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 有增量x ∆时，函数相应的有增量y ∆， 若0lim 0x y ∆→∆=，则称函数()y f x =在点0x 处连续，0x 为()f x 的连续点.（2）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称()y f x =在点0x 处连续.（3）设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<，则称函数()y f x =在点0x 处连续.定义 函数在区间上的连续性：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内连续；如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，且在左端点x a =处右连续，在右端点x b =处左连续，则称()f x 在闭区间a b [,]上连续，并称a b [,]是()f x 的连续区间.注 (1) ()f x 在左端点x a =右连续是指满足lim ()();x a f x f a +→=(2) ()f x 在右端点x b =左连续是指满足lim ()()x b f x f b -→=.定理：函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是函数()f x 在点0x 处既左连续又右连续.二．函数的间断点定义函数间断点：如果函数()f x 在点0x 处不连续，则称函数()f x 在点0x 处间断，点0x 称为()f x 的间断点.第一类间断点 ()f x 在点0x 的左右极限00()f x -和00()f x +都存在的间断点为第一类间断点. 它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.第二类间断点 称00()f x -和00()f x +中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.。
高数讲义第一章第八节函数的连续性
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2sin x .
2
2
对任意的 , 有 | sin | | |, 故 y 2sin x x ,
2
| x | y | x | 当x 0时, y 0.
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
故| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0都连续.
但反之不成立.
例
f
(
x)
1, 1,
x0 x0
在 x0 0不连续
但 | f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 0连续
思考题解答
1, x 0
g(x) 1 x2
f ( x) sgn x 0, x 0
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1
称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y f (x)
y
y
y f (x)
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x x0
x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U ( x0 , )内有定义,.
如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的
函数的增量y也趋向于零,即 lim y 0 . x 0
x0
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数 f ( x) 在 (a, x0]内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处左连续 ; 若函数 f ( x) 在[x0 , b) 内有定义 , 且 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称 f ( x) 在点 x0 处右连续 .
同济大学高等数学第七版1-8-函数的连续性与间断点(new).
0
x0
x
f ( x) x 在x 2点连续。
2
“ ”语言： 0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
4
说明：
f ( x) 在 x x0 点连续 ⇔下列三条件同时成立：
(1) f ( x) 在U ( x0 , )内有定义；
x 1
所以， x0 1是 f ( x)的第二类间断点 .
1 (假设 lim f ( x) 存在，即， lim ln(1 x) sin 2 存在， x 1 x 1 x 1 1 由于 lim ln(1 x) 存在，故， lim sin 2 存在，矛盾 .） x 1 x 1 x 1
(2) lim f ( x) 存在；
x x0
（3） lim f ( x) f ( x0 ).
x x0
5
1 x sin , x 0, 例 1 试证 f ( x) 在 x 0 处连续. x x 0, 0,
1 证 lim x sin 0, x0 x f ( x ) f (0), 又 f (0) 0, lim x 0
处,
3
x x lim f ( x) lim x x0 x x0 sin x
x0 2, 3,
是 f ( x) 的无穷间断点， 即, 第二类间断点；
3
在 x0 0 处,
3 x x x lim x 1 lim f ( x) lim x 0 x x 0 x 0 sin x
第一类间断点： f ( x) 在间断点 x0 的左右极限都存在。
第二类间断点 : f ( x) 在 x0处的左、右极限至少有一个不存在.
1-8函数的连续性与间断点
, 如果函数在开区间(a, b)内连续 并且在左端点 x = a处右连续 在右端点x = b处左连续 则称 , , . 函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如, 例如 有理函数在区间(−∞,+∞)内是连续的.
第一类间断点:可去型 跳跃型 第一类间断点 可去型,跳跃型 可去型 跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型 振荡型 第二类间断点 无穷型,振荡型 无穷型 振荡型.
(见下图 见下图) 见下图
第 一 类 间 断 点
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
第 二 类 间 断 点
y
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
第八节 函数的连续性与间断点
• 一、函数的连续性 • 二、函数的间断点 • 三、小结 思考题
一、函数的连续性
1.函数的增量 函数的增量
设函数 f ( x)在Uδ ( x0 )内有定义, ∀ x ∈Uδ ( x0 ), ∆x = x − x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
∆y = f ( x) − f ( x0 ),称为函数f ( x)相应于 x的增量 . ∆
y
y = f (x)
y
∆y ∆y
y = f (x)
0
∆x x0 x0 + ∆x x
∆x
0
x0
x0 + ∆x
x
2.连续的定义 连续的定义
U 义1 定 1 设 数f (x) 在 δ ( x0 ) 内 定 ,如 义 函 有 义
当 变 的 量 时, 应 函 果 自 量 增 ∆x 趋 于 时,对 的 向 零 的 量 数 增 ∆y 也 向 零 即lim ∆y = 0 或 趋 于 ,
高等数学（8）函数的连续性与间断点
⾼等数学（8）函数的连续性与间断点⼀、函数的连续性增量变量u:初值u1 -> 终值u2增量Δu: Δu = u2-u1正的增量Δu:u1变到u2时是增⼤的负的增量Δu:u1变到u2时是减⼩的函数的增量即:当因变量增量随⾃变量增量趋于0，称为连续。
单侧连续·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)·定理函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续⼜右连续连续函数定义:在区间上每⼀点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续注2 连续函数的图形是⼀条连续⽽不间断的曲线例题例证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续⼆、函数的间断点第⼀类间断点(左右极限都存在)跳跃间断点·如果f(x)在x0处左右极限都存在·但f(x0-0)≠f(x0+0)则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点讨论f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0处的连续性可去间断点·如果f(x)在x0处极限存在·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处⽆定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点注意·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第⼀类间断点第⼆类间断点·如果f(x)在x0处左右极限⾄少有⼀个不存在·则称x0为函数f(x)的第⼆类间断点例题1讨论f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0处的连续性四、章⼩结·函数在⼀点连续必须满⾜的三个条件；1.在这⼀点有定义2.在这⼀点极限是存在的3.极限存在的情况下还要等于在这⼀点的函数值·区间上的连续函数;函数在区间上的任意⼀点都连续,我们就说函数在区间上是连续的·间断点的分类与判别;间断点{第⼀类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在第⼆类间断点:⽆穷型, 振荡型 (⾄少有⼀个极限不存在}。
大学高等数学_03连续性间断点_连续函数运算_连续函数性质与习题课
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
机动
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一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
o
1
x
y
1
o
f ( 0 ) 1 ,
f (0 ) 1
1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
存在 ;
存在 ;
机动
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
Q ( x0 , ) 0), , 都有 lim x)( x 0 R ) 只要 x0 ( lim P ( x)R ( P ) ( x0 continue
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
1 1 e
x 1 x
第八节 函数的连续性与间断点
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高等数学 第八节 函数的连续性
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
其中, 为任意常数.
定理
xl ixm 0 f(x)f(x0)
xl ix 0m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
x0为函数的.间断点
又 limf(x)lim sin1 不存在,
x0
x0 x
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y y sin 1
1
x
O
x
1
称x0为f(x)sin 1的振荡型. 间断 x
第 二 类 间 断 点
左右极限至少 有一个不存在
无穷型间断点
左右极限至少有一个为无穷
2、函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
xl ix0m f(x)f(x0)
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)xl ixm 0 f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 ) (3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
1x
ysinxC( [ , ] )
yarcxs iC n([1,1])
单调 增加 2 2 单增 调加
3、复合函数的连续性
定理 (复合函数连续性定理)
函数的连续性与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
1
第一章 函数与极限
函数的连续性与间断点
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.
x1
x1
O 1x
lim f ( x) lim(x 1) 2 f (1),
x1
x1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x)在点 x 1处不连续.
11
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续 区间在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
left);
the
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from
right)y .
the
y
左连续
右连续
O
x0
x
O
x0
x
9
函数的连续性与间断点
定理1 函数 f ( x)在 x0 处连续
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若 lim x x0 0