函数的连续性
高等教育：函数的连续性
例8
讨论函数 f (x) 1 在 x 0 处的连续性. x
解 f (x) 1 在 x = 0 无定义, y
x
y1
x = 0为函数的间断点,
x
又 lim f (x) lim 1 ,
x0
x0 x
O
x
故
x = 0为函数
f
(x)
1 x
的第二类间断点.
由于 lim f (x) 所以称它为无穷间断点. x0
例1 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?
解 y = x 2 在 U(0) 内有定义,
又 lim x2 0 x0
且 y x0 x2 x0 0
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.
2.连续性的《 － 语言》形式
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. x x x0
由 x0 的任意性, | f (x) | 在区间 I 上连续.
(若 I 为闭区间, 则对区间端点时指的 左, 右极限. )
注意：
该定理的逆命题不成立.
1, x 为有理数, 例如, f (x) =
1, x 为无理数.
例10 设 f (x)、g(x) C(I ), 则函数
1(
x)
min{ xI
f
(
x),
g( x)},
2
(
x)
max{ xI
f
(x),
g(x)}
在区间I 内连续.
证由
1(x)
f (x) g(x) | 2
f (x) g(x) |,
2(x)
f (x) g(x) | 2
函数的连续性连续函数的定义与性质
函数的连续性连续函数的定义与性质函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。
本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。
如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。
而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。
在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。
跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。
无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。
二、连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。
如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。
连续函数具有以下重要性质：1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。
2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。
3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。
4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。
5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)<c<f(b)或者f(b)<c<f(a)），在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0)=c。
第六节 函数的连续性
如果函数 f ( x )在开区间 (a , b)内连续 , 且在 左端点x a处右连续 , 在右端点 x b处左连续 , 则称函数f ( x )在闭区间 [a, b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
6
例3 证明函数y sinx在区间 (,)内连续 .
证 x (,),
x 0 x 0
f ( x ) lim f ( x ) f ( x ).
故 f ( x)在（ ， ）上连续 .
12
例5 设f ( x )在（ 0， ）上连续，且满足x (0, ), f ( x ) f ( x ). 证明 f ( x )在 (0, ) 上为常数.
1 当 x 0 时， lim f ( x ) 2, l i m f ( x ) f (0). x 0 x 0 a 1 所以当 a 时 ，f ( x )在 （ ， ） 内 是 连 续 的 ; 2 1 当a 时 ，f ( x )在 （ ， 0） （0， ） 内 连 续 2 23 且x 0 是 第 一 类 跳 跃 型 间 断.点
y sin 1 x
1 解 因 为 f ( x )在x 0 处 没 定 义 , 且limsin 不 存 在 ， x 0 x 所以 x 0 为第二类间断点 .
这种情形称为振荡型间断点.
19
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f [ ( x0 )] f ( u0 ).
函数的连续性
函数的连续性
函数的连续性是指函数在定义域上的变化情况，其主要内容是有限性、连续性和可导性。
有限性的概念是指函数的解析可以是有限的，它可以用有限的表示法来描述。
例如，函数y = x^2 + 2x - 4的解析表示式就是一个有限的表达式。
有限性是理解函数特征的基础，而连续性是更进一步理解函数特征的手段。
连续性定义为：存在任意位置x0处，它的函数值y0（即
y=f(x0)=y0）与其附近的函数值的差别不会超过一定的正定值，当此附近的自变量值在x0处的改变量趋近于零时，此函数值
的改变量也趋近于零，我们就称该函数在x0处是连续的，写
成数学形式就是：lim (x→x0) f(x) = y0
可导性是连续性的强化，也就是说它综合考虑了函数的变化和变化量之间的关系，它是指函数在定义域上任意一点x处，只要自变量x存在可导的微分，就说明函数y有可导的前提。
可导性的表述方式就是不等式：|f(x1)-f(x2)| ≤ M|x1-x2|，即自变
量x1和x2之间的变化量应小于某个正常数M，函数值在x1
和x2之间的变化量应小于M |x1-x2|。
函数的连续性是数学分析中的基本概念，它与微积分的应用紧密相连。
它的概念很容易理解，但在实际应用中却要求解答者拥有较强的抽象意识和概括能力，因此学习和研究它的概念是非常重要的。
函数的连续性
一、函数的连续性 二、函数的间断点
三、闭区间上连续函数的性质
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一、函数的连续性
变量的增量
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义 在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量 称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)为函数y的增量
二、函数的间断点
y
y
f (x)在 x0 处无定义
O
x
0
x0
x
0
x0
y
f (x)在 x0 处无极限
O
x
0
x0
y
lim
xx0
f (x)
f
(x0 )
O
x
0
x0
二、函数的间断点
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定 义 并且
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
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连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=-2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 3-4x 2+1=0
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
数学知识点：函数的连续性_知识点总结
（1）如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，并且满足，则称函数y=f（x）在点x=x0处连续；否则称y=f（x）在点x=x0处不连续，或间断点。
（2）如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x）,高考语文，如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有，在右端点x=b处有，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
函数的连续性的特点：
（1）f（x）在x0处有定义；
（2）f（x）在x0处的极限存在；
（3）f（x）在点x0处的极限等于函数值。
三大特点，缺一不可。
常用结论：
如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
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结论： 设（1）设函数 f (x) 在点x0连续，函数 g (x)在点x0不连续；（2）函数 f (x)和 g (x) 在点x0 都不连续. 问函数 f (x) + g (x)， f (x) g (x) 分别在(1), (2)情况下，在点 x0是否连续？ x4 e 1 补例3. 求 lim x 0 1 cos( x 1 cos x )
有函数的增量
函数连续性的等价定义 对自变量x0的增量 函数
在点 x0 连续有下列等价命题:
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim y 0
左连续
lim f ( x0 x) f ( x0 ) x 0 y y f ( x)
y
f ( x0 0) f ( x0 ) f ( x0 0)
注意：对于非连续函数，极限符号与函数符号不 一定可以交换.
x 0 x 0
x x0
二、 函数的间断点
在点 的某空心邻域内有定义 , 则下列 设 情形之一函数 f (x) 在点 不连续 : (1) 函数 在 无定义 ; (2) 函数 在 虽有定义，但 不存在; (3) 函数 在 虽有定义 , 且 存在 , 但
若函数 f (x)在开区间(a, b)内每一点都连续 , 而且在 点 x =a 右连续，在点 x =b 左连续 , 则称函数 f (x)在闭 区间[a, b]上连续. 或称它为[a, b]上的连续函数 . 由 f ( x) 在 x0 连续知
f ( lim x)
这说明，对于连续函数，极限符号与函数符号可 以交换. 例如 lim cos x cos(lim x) cos 0 1
x t a 1, 则 x log a (1 t ) , 解: 令
lim (1 x)
x 0
1 x
t 原式 lim t 0 log a (1 t )
说明: 当
例3 求 解: 原式
时, 有 ln(1 x) ~ x, e 1 ~ x
3 sin x ln(1 2 x )
第二章
§2.8 函数的连续性
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
现实世界中很多变量是连续不断的. 如气温、时间、 物体的运动等等，都是连续变化的. 这种现象反映在数学上就是连续性， 函数的连续性是微积分的又一重要概念！
一、 函数连续性的定义(点和区间)
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且 lim f ( x) f ( x0 ) , 则称函数 f ( x) 在 x0 连续.
y tan x
x
x 为其无穷间断点 .
2
o
2
y
y sin
1 x
x 0为其振荡间断点 .
0
x
y
x 1为可去间断点 .
x , x 1 (4) y f ( x) 1 , x 1 2 显然， lim f ( x) 1 f (1)
y
1 2
o 1
x x0
0
例如, 复合而成 , 因此
是由连续函数链
x0
在 x 0上连续 .
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续. 连续函数经四 则运算仍连续, 连续函数的复合函数连续. 一切初等函数在其定义区间内连续.（87页）
利用连续函数的复合函数的连续性求极限
例1.求 解: 原式
例2. 求
这样的点 称为函数 f ( x )的间断点 . 间断点的分类: 第一类间断点: 如果 及 均存在 ,
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
若 称 x0 为可去间断点 . 若 称 x0 为跳跃间断点 . 第二类间断点: 如果 及 中至少一个不存在 , 若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 . 若其中有一个为振荡 , 称 x0为振荡间断点 . y 例如:
x
1
x 1为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0 f (0 0) 1, f (0 0) 1 x 0 为其跳跃间断点 .
x1
o
y
1
1
x
o
1
x
练习题
1. 讨论函数 间断点的类型. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 1 x sin , x 0 0 时 f ( x) 在 , a ____ 2. 设 f ( x) x 2 a x , x0 x =0连续函数. 提示: f (0 0) 0 , f (0 0) f (0) a
内容小结
在点 连续的等价形式
左连续 在点
右连续
间断的类型 可去间断点 第一类间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
连续函数的运算与
第二章
初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则
二、初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商 (分母不为 0) 运算的结果, 仍是一个在该点 连续的函数. ( 利用极限的四则运算法则证明) 定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续 单调递增(递减). (证明略) 例如, y sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 在 上连续单调 递增, 又如, 在 上也连续单调递增. 其反函数 定理3. （连续函数的复合函数是连续的） 若函数 在点 x0 连续，且 ( x0 ) u0 ,函数 f (u ) 在点 u0 连续，则复合函数 f [ ( x)] 在点 x0 连续，即
x
x0
lim
3 sin x
ln(1 2 x )
x0
lim
3 x
2 x e6 .
x 2 2
例4 求
1 1 解: 原式 = lim [(sin cos ) ] x x x x 2 2 lim (1 sin ) 1 x x 2 sin 2 (1 sin x ) x
e
课本89页例题 例10 求 lim [sin ( x 2 4) lg( x 8)]
x 2
解 lim [sin ( x 2 4) lg( x 8)]
lim [sin ( x 2 4)] lim [lg( x 8)] sin lim ( x 4) lg lim ( x 8) sin 0 lg 10 1
第二章
五 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理2.15.在闭区间上连续的函数在该区间上一 定有最大值和最小值. 从而在闭区间有界. (证明略) 即: 设 f ( x)在[ a , b ] 上连续 , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使 f (1 ) min f ( x), f ( 2 ) max f ( x) . y y f ( x)
2 3
x 0
cos x cos a （4） 求 lim x a xa xa xa 2 sin sin cos x cos a 2 2 解 lim lim x a x a xa xa xa sin xa xa 2 lim sin sin a lim sin xa xa xa 2 2 2 1 cos x （5） 求 lim x 0 x (1 cos x ) 1 cos x 1 1 cos x lim 解 lim 2 x 0 x 0 x (1 cos x ) ( x ) 1 cos x x 2 2 x 2 1 1 1 lim lim . 2 x 0 ( x ) 1 cos x x0 1 cos x 2 x 2
2 x 2
x 2
x 2
e cos x 例11 求 lim x 0 arcsin( 1 x ) x2 02 e cos x e cos 0 2 lim 解 x 0 arcsin( 1 x) arcsin( 1 0)
x 2
x2
x 2
课本94页---习题28 ( 1 2 x 1) arcsin x （2） 求 lim x 0 tan x 2 2x x ( 1 2 x 1) arcsin x 2 解 lim lim 1 2 2 x 0 x 0 tan x x tan x sin x （3） 求 lim x 0 2 x 2 (e x 1) tan x sin x tan x sin x lim 解 lim x 0 2 x 2 (e x 1) x0 2 x 2 x 3 1 1 tan x(1 cos x) tan x sin x lim lim lim x 0 2 3 x 0 2 x3 2 x x x 0 1 x x2 2 1 lim . 3 2 x 4
a x b
a x b
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点， 结论不一定成立 . o a 1 2 例如, 无最大值和最小值. y 又如,
2
b
x
也无最大值和最小值 推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 二、介值定理 定理2.14 ( 零点定理 ) 设函数满足 f (a) f (b) 0, 则至少存在一点 y 使 ( 证明略 ) y f ( x) 定理2.16. ( 介值定理 ) 设函数 f (x) a b x 在[ a , b ] 上连续, 且 f (a) A , f (b) B , o A B , 则对A与B 之间的任一数 C ，至少 （定理2 图） y 存在一点 使 y f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) f ( x) C , B C 则 ( x)在[ a , b ]上连续 , 且 A ( A C )( B C )