函数-在一点的连续概念
函数的联系性连续函数的概念
注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定
义无关. 3. 第二类间断点: 若 f 在点 x0 的左、右极限至少 有一个不存在, 则称 x0 是 f 的一个第二类间断点.
§1 连续函数的概念
一、函数在一点的连续性
二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x )在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续 性的，换句话说连续就是指 f ( x ) 在点 x0的极限不
有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点
x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说,
极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 )
仅存在,而且其值恰为 f ( x ) 在点 x0的函数值 f ( x0 ) .
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例如：f ( x ) x sgn x 在 x 0 处连续，这是因为
lim x sgn x 0 f (0).
x 0
y y x sgn x
O
x
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又如：函数
x, f ( x) a,
x x0
无定义, 或者有定义但 f ( x0 ) A, 则称 x0 是 f 的
一个可去间断点.
第2章第1节连续函数_2_--在一点的单侧连续性
二、函数在一点单侧连续的概念【导语】函数在一点单侧连续指的是函数在一点左连续或右连续。
当研究分段函数在分端点，或研究函数在其定义区间的端点的连续性时，都会碰到单侧连续的问题。
本讲将介绍左连续和右连续的概念，并给出函数在一点连续与左、右连续的关系。
【正文】定义2 设函数()f x 在区间000(,]x x δ-内有定义，若00lim ()()x x f x f x -→=成立，则称函数()f x 在0x 处左连续；设函数()f x 在区间00[,)x x δ+内有定义，若00lim ()()x x f x f x +→=成立，则称函数()f x 在0x 处右连续．左连续与右连续统称为单侧连续．对于分段函数，在分段点处我们只能首先讨论它的单侧连续性；对于定义在区间[,]a b 上的函数，在区间端点我们也只能讨论它的单侧连续性．若函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点都连续，就说()f x 在该区间内连续．一般地，用(,)C a b 表示所有在区间(,)a b 内连续的函数，即()(,)f x C a b ∈表示函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点都连续．若函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点都连续，且在x a =处右连续，在x b =处左连续，则说()f x 在区间[,]a b 上连续．一般地，用[,]C a b 表示所有在区间[,]a b 上连续的函数．定理1 (连续与单侧连续的关系） 函数()f x 在0x 处连续的充分必要条件是：()f x 在0x 处既是左连续又是右连续．例1 判断取整函数[]y x =在整数点的单侧连续性． 解 对任意的整数n ，当(1,)x n n ∈-时，根据取整函数的定义可知[]1y x n ==-，所以 lim[]1x nx n -→=-． 当[,1)x n n ∈+时，有[]y x n ==，所以lim[]x n x n +→=．因为[]n n =，所以lim[][]x n x n -→≠，lim[][]x nx n +→=．故取整函数[]y x =在整数点右连续，但并不左连续． 例2 已知函数2ln(1),0()1,0,x x f x x x x -⎧<⎪=⎨⎪-⎩,≥ 判断()f x 在0x =处的连续性．解 因为(0)1f =-，且000ln(1)lim ()lim lim 1x x x x x f x x x---→→→--===-， 所以0lim ()(0)x f x f -→=．即()f x 在0x =处左连续． 又因为200lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=-=-， 所以0lim ()(0)x f x f +→=．即()f x 在0x =处右连续． 由于()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，所以()f x 在0x =处连续．例3 当常数,a b 取什么值时，函数,0,e 1(),0,5,0ax x b x f x x xx +>⎧⎪-⎪=<⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处连续？ 解 因为000e 1lim ()lim lim ax x x x ax f x a xx ---→→→-===，且(0)5f =， 所以当且仅当5a =时函数()f x 在0x =处左连续．又因为00lim ()lim()x x f x x b b ++→→=+=， 所以当且仅当5b =时函数()f x 在0x =处右连续．综上可知，当且仅当5a =，5b =时，函数()f x 在0x =处连续．【本讲总结与下讲预告】本讲介绍了函数在一点左连续和右连续的概念；给出了函数在一点连续与左、右连续的关系；了解了利用左、右连续处理相关问题的常用方法。
——函数的连续性
第四章 函数的连续性第一节 连续性的概念一、函数在一点的连续性 1、函数的直观图解2、函数在一点连续的定义 （1）极限形式定义定义1：设f 在0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。
例、220(),lim ()lim 0(0)x x f x x f x x f →→====2()f x x ∴=在0x =处连续。
注：①讨论f 在点0x 连续，要求f 在0()U x （包括点0x ）由定义。
②f 在点0x 连续，意味着下面的运算法则成立()(l i m )l i mx x x x f x f x →→= （2）增量极限形式定义记自变量x （在点0x ）的增量0x x x =-，则0000()()()()y f x f x f x x f x y y =-=+-=-定义：若0lim 0x x y →=，则称()f x 在0x 处连续。
（3）εδ-语言定义若00,0,(,)x U x εδδ∀>∃>∀∈有0|()()|f x f x ε-<，则称()f x 在点0x 连续。
例、证明()()f x xD x =在0x =连续，其中1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，为狄利克雷函数。
（4）左、右极限形式定义定义2：设f 在在某区间0()U x +（或0()U x -）内由定义，且0l i m ()()x x f x f x +→=（或00lim ()()x x f x f x -→=） 则称f 在点0x 右（左）连续 （5）归结到数列极限定义f 在点0x 连续⇔000{}(),(),lim ()()n n n n x U x x x n f x f x →∞∀⊂→→∞=二、间断点及其分类 1、间断点定义定义3：设f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 无定义，或f 在0x 处有定义但是不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点。
函数在一点连续和极限存在的关系
函数在一点连续和极限存在的关系在数学中，函数是一种描述一个变量与另一个变量之间关系的工具。
而连续和极限是函数的两个重要概念。
连续性描述了函数在某一点附近的行为，而极限则是函数在某一点无限接近某个特定值时的性质。
本文将探讨函数在一点连续和极限存在之间的关系。
我们先来了解一下连续性的概念。
一个函数在某一点连续，意味着当自变量接近这一点时，函数值也会接近于这一点的函数值。
换句话说，如果一个函数在某一点连续，那么无论我们如何接近这一点，函数值都会趋近于同一个值。
这可以用数学语言表示为：对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|x - x0| < δ时，|f(x) - f(x0)| < ε。
在函数连续的性质中，我们可以看到极限的影子。
事实上，一个函数在某一点连续，意味着它在这一点的极限存在且等于该点的函数值。
也就是说，如果一个函数在某一点连续，那么它在这一点的极限就是这一点的函数值。
这是因为连续性的定义要求函数值在这一点附近趋近于这一点的函数值，而函数的极限定义要求函数值无限接近于某个特定的值。
因此，如果一个函数在某一点连续，那么它在这一点的极限就是这一点的函数值。
另一方面，如果一个函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值，那么它在这一点也是连续的。
这是因为极限的定义要求函数值无限接近于某个特定的值，而连续性的定义要求函数值在这一点附近趋近于这一点的函数值。
因此，如果一个函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值，那么它在这一点也是连续的。
函数在一点连续和极限存在是等价的。
如果一个函数在某一点连续，那么它在这一点的极限存在且等于该点的函数值；反之亦然，如果一个函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值，那么它在这一点也是连续的。
这就是函数在一点连续和极限存在之间的关系。
在实际应用中，这种关系有着重要的意义。
连续性和极限的概念帮助我们理解函数的性质和行为。
通过研究函数在某一点的连续性和极限的存在性，我们可以推导出函数的其他性质和行为，从而解决实际问题。
函数连续性定义和间断点
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点 间断点 第一类间断点 跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
见下图)
左右极限都存在 左右极限至少有 一个不存在
当 xU(x时0,，) 有 f(x)0(或 f(x)0)
性质3：（连续函数的四则运算法则
若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,则 f (x) g(x), f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)在点 x0处也连续.
例如：sin x,cos x在(,)内连续,
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
例1：证明函数 y 在xn ( 内,是连)续的。
性质4：（复合函数的连续性
设函数u
(
x)在x0点连续，(即
lim
x x0
(
x)
（x0）
u0
),
函数
y f (u)在点u0连续, 则复合函数y f ((x))在点x0连续。
（即 lim x x0
f [(x)]
f
(u0 )
f [ lim (x)].） x x0
2.函数 f (x在) 点x0连续的等价定义
定义：设函数 f (x)自变量由 x 0变到 x,则xxx0
叫做自变量的增量；相应的函数值由 f (x0 ) 变到f (x) ,
则 y f(x)f(x0)叫做函数值 y 的增量（改变量
函数在一点连续的定义
函数在一点连续的定义
在数学中，函数在一点连续的定义是指：对于函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在该点的左右两侧的函数值都能够通过无限次连续微小变化得到，那么函数f(x) 在x0 处就是连续的。
举个例子，函数y=x^2 在x=0 处就是连续的，因为当x 从负数变化到0 时，函数值y 也从正数变化到0，可以通过无限次连续微小变化得到。
函数连续性是数学中很重要的概念，在很多数学理论和应用中都有着广泛的应用。
比如，在微积分中，连续函数的导数存在，可以用来计算函数的单位变化率。
此外，连续函数的图像也很容易理解，因为其没有断点，图像是连续的。
当然，并不是所有函数都是连续的。
例如，函数y=|x| 在x=0 处就不是连续的，因为当x 从负数变化到0 时，函数值y 从正数变化到0，但是当x 从0 变化到正数时，函数值y 从0 变化到正数，中间缺少了一个值，不能通过无限次连续微小变化得到。
总的来说，函数在一点连续的定义是指函数在某一特定点处具有连续性，即在该点的左右两侧的函数值都能够通过无限次连续微小变化得到。
这是数学中一个重要的概念，在很多数学理论和应用中都有着广泛的应用。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是微积分中非常重要的概念，它们用来描述函数的趋势以及函数在某一点的行为。
本文将介绍函数极限和连续性的概念，并探讨它们的性质。
一、函数的极限的概念与性质函数的极限是研究函数趋势的基本工具。
我们先来介绍一下极限的概念。
1.1 极限的定义设函数 f(x) 在点 a 的某个去心领域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，那么我们称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，记为lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，包括极限的唯一性、四则运算法则等。
这里只介绍其中的一些性质。
（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，同时又以 M 为极限，那么 L = M。
（2）四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 当 x 趋近于 a 时分别以 L和 M 为极限，则有以下运算法则：- f(x) ± g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L ± M 为极限；- f(x)g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L × M 为极限；- f(x)/g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L/M 为极限（假设M ≠ 0）。
这些性质为我们进行函数极限的计算提供了便利。
二、函数的连续性的概念与性质函数的连续性是指函数在其定义域内没有间断点，即函数的图像是连续的。
接下来我们会详细讨论连续性的概念与性质。
2.1 连续性的定义设函数 f(x) 在某个区间 (a, b) 内有定义，如果对于任意选取的点x0∈(a, b)，当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限都存在且等于 f(x0)，那么我们称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
2.2 连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，包括若干个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。
函数的连续性及其应用
函数的连续性及其应用函数连续性是微积分中的重要概念，它描述了函数在其定义域内的某一点上是否具有无间断的性质。
连续性的概念在数学和自然科学中有着广泛的应用。
本文将介绍函数连续性的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数连续性的定义函数连续性的定义可以从两个方面来理解。
一方面，若函数在某一点a的左极限等于该点的右极限，且函数在该点的值等于其极限值，那么该函数在该点处是连续的。
另一方面，若函数在定义域内的每一个点都是连续的，那么该函数在整个定义域上是连续的。
函数连续性的定义可以用极限的语言重新表述。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，那么函数f(x)在点a处是连续的。
二、函数连续性的性质函数连续性具有以下性质：1. 连续函数的和、差、积仍为连续函数；2. 连续函数的复合仍为连续函数；3. 有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值；4. 两个连续函数之间的乘积仍为连续函数。
函数连续性的性质为我们提供了一个判断函数是否连续的依据，同时也为我们分析函数的性质和解决实际问题提供了基础。
三、函数连续性的应用函数连续性在实际问题中有广泛的应用，下面以几个具体应用为例进行说明。
1. 极限的计算函数连续性的概念与极限密切相关，通过函数的连续性可以简化某些复杂极限的计算。
例如，对于一个连续函数f(x)，要计算其某一点a处的极限，只需直接计算f(a)即可，而无需通过求极限的定义进行复杂计算。
2. 研究函数的性质函数连续性为我们研究函数的性质提供了便利。
通过分析函数在不同点上的连续性，可以确定函数的增减性、最大值和最小值等特性。
函数在某个区间上连续且单调递增，则可以推断该函数在该区间上存在极值点。
3. 实际问题的建模函数连续性在实际问题的建模中起到了重要作用。
例如，在物理学中，通过研究物体的运动轨迹和变化规律，可以建立相应的函数模型。
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第2章 连续函数
§2.1 连续函数的概念
【导语】
连续是客观世界中最常见的现象，如岁月的流逝、植物的生长、物体的运动等都是连续的．函数的连续性反映了函数在一点的值与这点附近的函数值之间的关系，是函数在一点的性质．如何刻画函数的连续性，连续函数具有什么性质，这就是第2章要解决的问题．本讲主要介绍函数在一点连续的定义。
【正文】
一、函数在一点连续的概念
定义1 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，如果0
0lim ()()x x f x f x →=成立，那么就称函
数()f x 在0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点．
一般地，0x x x ∆=-称为自变量的改变量，0000()()()()()f x f x f x f x x f x ∆=-=+∆-称为函数()f x 在0x 处的改变量．函数()f x 在0x 连续指的是：当0x ∆→时，有0()0f x ∆→，即00
lim ()0x f x ∆→∆=．
也就是说，函数()f x 在0x 连续指的是：对任意的正数ε，都存在正数δ，使得当x δ∆<时，就有0()f x ε∆<成立．
从定义可以看出，连续性是函数的一种点性质．函数()f x 在0x 处是否连续与它在其他点是否连续没有关系．
例如对于函数
,,
(),,x x f x x x ∈⎧=⎨
-∉⎩
Q Q 因为0
lim ()0x f x →=，且(0)0f =，所以()f x 在0x =处连
续．由于在00x ≠时极限0
lim ()x x f x →不存在，所以()f x 也
x 0
x 0y=x y
x
O
只有0x =这一个连续点．
从运算的角度看，连续性保证了函数求值运算与极限运算满足交换律，即
0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==．
例1 若函数21
,1,()1,1x x f x x a x ⎧-≠-⎪
=+⎨⎪=-⎩ 在1x =-处连续，求a 的值．
解 因为()f x 在1x =-处连续，所以
1
lim ()(1)x f x f →-=-．
又因为
2111
1lim ()lim lim(1)21x x x x f x x x →-→-→--==-=-+，(1)f a -=， 所以 2a =-．
例2 利用定义证明：若函数()f x 在0x 处连续，则函数()f x 在0x 处连续．
证 对任意的正数ε，因为函数()f x 在0x 处连续，所以存在正数δ，当0||x x δ-<时，有
0()()f x f x ε-<。
又因为00()()()()f x f x f x f x --≤，所以当0||x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<。
所以函数()f x 在0x 处连续．
Remark:1,,
()1,.x f x x ∈⎧=⎨-∉⎩
Q Q
例3 利用定义证明函数()e x f x =在任意点0x 处连续． 证 对任意实数0x 和x ，000e e e (e 1)x x x x x --=-．
对任意正数ε，不妨设0e x ε<．要使
0e e x x ε-<，
即要使 00e (e 1)x x x ε--<， 即
0001e e 1e x x x x εε----<<+，
即
000ln(1e )ln(1e )x x x x εε---<-<+．
取 00min{ln(1e ),ln(1e )}x x δεε--=--+，则当0x x δ-<时，有
0e e x x ε-<．
所以函数()e x f x =在点0x 处连续．
由于0x 是任意给定的，所用函数()e x f x =在任意点0x 处连续．
例4 设()f x 是不恒为常数的周期函数，且在0x =处连续。
证明：()f x 具有最小正周
期．
证 反证法．假设()f x 不存在最小正周期，则对于任意的正整数n ，存在n T ，使得
1
0n T n
<<
，()()n f x T f x +=． 任给0x ∈R ，对于1
0n T n
<<
，总存在整数n k ，使得 001n n x k T x n
<+
≤。
故0lim n n n k T x →∞
=，即0lim()0n n n x k T →∞
-=．
因为00()()n n f x f x k T =-，且()f x 在0x =处连续，所以
00()lim ()(0)n n n f x f x k T f →∞
=-=．
这与()f x 不恒为常数矛盾．
【本讲总结与下讲预告】
本讲介绍了函数在一点连续的概念；了解了连续是函数在一点的性质，反映的是函数在一点的函数值与这一点附近其他函数值的关系；了解了利用连续定义解决相关问题的常用方法。
下一讲将介绍函数在一点左连续和右连续的概念；给出连续与左、右连续的关系；介绍间断点的分类。