函数在某一个点处连续的定义.
函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的判断
函数的极限与连续性函数的局部与整体性质的判断函数的极限与连续性：局部与整体性质的判断函数是数学中重要的概念之一，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在讨论函数的性质时，常常需要考虑函数的极限和连续性。
函数的极限可以理解为函数在某一点附近的表现，而连续性则描述了函数在整个定义域上的表现。
本文将探讨函数的极限与连续性，讨论如何判断函数的局部与整体性质。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无论如何接近时，函数值的变化趋势。
数学上通过对函数的自变量趋近于某一点，分析函数在该点处的表现来确定函数的极限。
常用的表示方式为：lim[f(x)] = Lx→a其中，f(x)为函数表达式，a为自变量趋近的点，L为极限值。
函数极限的判断准则有很多，包括夹逼定理、单调有界准则、等比缩放法等。
通过这些准则，可以判断一个函数在某点是否存在极限，并求得极限值。
值得注意的是，在一些情况下，函数的极限可能不存在或者为无穷大，这时需要特殊处理。
二、连续性函数的局部与整体性质判断连续性是指函数在整个定义域上的表现，即函数在任意一点的函数值都与该点的极限值相等。
如果函数在某一点处连续，我们称该函数在该点处连续。
函数连续的充要条件是：f(a) = lim[f(x)]x→a其中，f(x)为函数表达式，a为自变量所在的点。
函数的局部连续性可以通过分段函数的方式来判断。
如果函数在某一点的左右极限存在且相等，即lim[f(x)] = lim[f(x)] = L，那么函数在该点处连续。
然而，有时候局部连续性并不能推断整体连续性。
一些函数在有限个点处连续，但在其他点处不连续，这种情况下，可以通过判断间断点的类型来进一步确定函数的连续性。
三、判断函数的整体连续性要判断函数在整个定义域上的连续性，需要考虑函数的每个间断点。
在一些情况下，函数在某一点存在间断，但仍可以是连续函数。
根据间断点的类型，我们可以判断函数的整体连续性。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
函数-在一点的连续概念
第2章 连续函数§2.1 连续函数的概念【导语】连续是客观世界中最常见的现象，如岁月的流逝、植物的生长、物体的运动等都是连续的．函数的连续性反映了函数在一点的值与这点附近的函数值之间的关系，是函数在一点的性质．如何刻画函数的连续性，连续函数具有什么性质，这就是第2章要解决的问题．本讲主要介绍函数在一点连续的定义。
【正文】一、函数在一点连续的概念定义1 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=成立，那么就称函数()f x 在0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点．一般地，0x x x ∆=-称为自变量的改变量，0000()()()()()f x f x f x f x x f x ∆=-=+∆-称为函数()f x 在0x 处的改变量．函数()f x 在0x 连续指的是：当0x ∆→时，有0()0f x ∆→，即00lim ()0x f x ∆→∆=．也就是说，函数()f x 在0x 连续指的是：对任意的正数ε，都存在正数δ，使得当x δ∆<时，就有0()f x ε∆<成立．从定义可以看出，连续性是函数的一种点性质．函数()f x 在0x 处是否连续与它在其他点是否连续没有关系．例如对于函数,,(),,x x f x x x ∈⎧=⎨-∉⎩Q Q 因为0lim ()0x f x →=，且(0)0f =，所以()f x 在0x =处连续．由于在00x ≠时极限0lim ()x x f x →不存在，所以()f x 也x 0x 0y=x yxO只有0x =这一个连续点．从运算的角度看，连续性保证了函数求值运算与极限运算满足交换律，即0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==．例1 若函数21,1,()1,1x x f x x a x ⎧-≠-⎪=+⎨⎪=-⎩ 在1x =-处连续，求a 的值．解 因为()f x 在1x =-处连续，所以1lim ()(1)x f x f →-=-．又因为21111lim ()lim lim(1)21x x x x f x x x →-→-→--==-=-+，(1)f a -=， 所以 2a =-．例2 利用定义证明：若函数()f x 在0x 处连续，则函数()f x 在0x 处连续．证 对任意的正数ε，因为函数()f x 在0x 处连续，所以存在正数δ，当0||x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<。
函数在某一个点处连续的定义
函数连续性定义和间断点
x0
x
1 y sin
x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点 间断点 第一类间断点 跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
(见下图)
左右极限都存在 左右极限至少有 一个不存在
第y 一
2、 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f(0 ) a ,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
2.跳跃间断点
如果f在 x点0 存在左、右极限，但
lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
则称 x为0 函数 的f 跳跃间断点
例4：讨论函数
f (x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
四、小结
连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性.
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
思考题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x2 ，试研 究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.
函数连续性定义和间断点
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点 间断点 第一类间断点 跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
见下图)
左右极限都存在 左右极限至少有 一个不存在
当 xU(x时0,，) 有 f(x)0(或 f(x)0)
性质3：（连续函数的四则运算法则
若函数 f (x), g(x)在点 x0处连续,则 f (x) g(x), f (x) g(x),
f (x) g(x)
(g(x0 ) 0)在点 x0处也连续.
例如：sin x,cos x在(,)内连续,
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
例1：证明函数 y 在xn ( 内,是连)续的。
性质4：（复合函数的连续性
设函数u
(
x)在x0点连续，(即
lim
x x0
(
x)
（x0）
u0
),
函数
y f (u)在点u0连续, 则复合函数y f ((x))在点x0连续。
（即 lim x x0
f [(x)]
f
(u0 )
f [ lim (x)].） x x0
2.函数 f (x在) 点x0连续的等价定义
定义：设函数 f (x)自变量由 x 0变到 x,则xxx0
叫做自变量的增量；相应的函数值由 f (x0 ) 变到f (x) ,
则 y f(x)f(x0)叫做函数值 y 的增量（改变量
函数连续性的定义
函数连续性
函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。
确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图像是连绵不断的曲线。
在函数的连续中主要有两大类：函数在一点的连续性和在区间上的连续性。
函数在一点的极限等于该点的函数值，那么函数在该点是连续的，如果该点是定义在定义域内任意一点，则函数就是连续的。
二者的不同之处：函数在一点的连续性只能保证在该点是连续的，在其定义域内其他点的连续性是无法确定的，而函数在区间上的连续性是指在整个区间上的任意一点都是连续的。
1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x-> x0时，limf(x)存在；
（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。
函数的极限与连续性的定义
函数的极限与连续性的定义函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
而函数的极限和连续性则是深入理解函数性质的基础。
本文将会介绍函数的极限和连续性的定义，帮助读者更好地理解这两个概念的数学含义。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近某一特定值时，函数输出值的趋势。
具体而言，对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一实数a时，函数的极限表示为：lim(x→a) f(x) = L其中L为函数f(x)在自变量趋近a时的极限值。
这个定义可以用下面的方式来解释：无论自变量x在a的哪一侧无限接近，只要自变量趋近a的时候函数值都无限接近L，那么函数f(x)在x趋近a时就具有极限L。
需要注意的是，函数对于自变量趋近a的极限可能存在或者不存在。
当极限存在时，我们可以通过一些特定的定理来计算极限值。
常用的计算极限的方法有代数运算法则、夹逼定理、拉'Hospital法则等。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某个区间内没有突变或跳跃，它的图像没有断裂。
具体而言，对于函数f(x)，如果满足以下条件就称为连续函数：1. 函数f(x)在某一点x=a处有定义；2. 函数f(x)在x=a处的极限lim(x→a) f(x)存在；3. 函数f(x)在x=a处的极限等于函数f(x)在x=a处的值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
换言之，连续函数的图像是一条连续的曲线，没有断点或跳跃。
我们可以通过连续函数的性质来进行函数的运算、计算其极限以及求解方程等。
需要注意的是，连续函数是极限存在的一个特殊情况。
如果函数在某一点的极限不存在，则该函数在该点不连续。
三、函数极限与连续性的关系函数的极限与连续性是密切相关的。
事实上，连续函数是极限存在的函数，也就是说，连续函数的每一个点都有极限。
具体而言，当函数f(x)在某一点x=a处连续时，它必然满足函数在该点的极限存在，并且极限值与函数的输出值相等。
函数在某一个点处连续的定义汇总
lim g ( f ( x)) g ( lim f ( x))
x x0
和刚才证明定理的一样： 任给 0 找 0 当 0 | x x0 |
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |
x x0
时
因为 g在 a处连续 所以存在 1 0 ，当 | u a | 1 时，有
1
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
lim g ( x) g ( x0 )
则有
若 f(x), g(x)都在点x0处连续，则根据极限的四则运算法
x x0
lim ( f ( x) g ( x)) f ( x0 ) g ( x0 )
即连续函数的和差仍然是连续函数
| g (u) g (a) |
lim f ( x) a 又因为 x 所以对上述的 1 存在 2 0 x 当 0 | x x0 | 2时 有 | f ( x) a | 1
0
从而
| g ( f ( x)) g (a) |
6
即当
| x x0 | 2 时，有
lim g ( f ( x)) g ( f ( x0 ))
由这个定理得到
x x0
lim g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) g ( lim f ( x))
x x0
即
x x0
lim g ( f ( x)) g ( lim f ( x))
x x0
4
2 例如 求 lim sin(1 x ) x 1
x x0
| g ( f ( x)) g ( lim f ( x)) |
函数在某点连续的充分必要条件
函数在某点连续的充分必要条件
函数在某点连续的充分必要条件是一项基本的数学概念。
在学习函数的连续性时，我们需要理解这个概念并掌握其相关知识。
首先，我们来了解一下函数在某点连续的定义。
如果一个函数在某点x=a处连续，那么它必须满足三个条件：函数在x=a处存在，函数在x=a处的极限存在，而且函数在x=a处的极限等于函数在x=a 处的函数值。
其实这三个条件就是函数在某点连续的充分必要条件。
从这个定义中我们可以看出，函数在某点连续并不是一件简单的事情，它需要满足一定的条件才能成立。
首先来看第一个条件，即函数在x=a处存在。
这意味着函数在x=a 处有定义，也就是说x=a处不是函数的间断点。
如果函数在x=a处不存在，那么它就无法在x=a处连续。
接着看第二个条件，即函数在x=a处的极限存在。
这意味着当x趋向于a时，函数的取值也会趋向于某个确定的值。
如果函数在x=a 处的极限不存在，那么它也无法在x=a处连续。
最后是第三个条件，即函数在x=a处的极限等于函数在x=a处的函数值。
这意味着当x趋向于a时，函数的取值会趋向于它本身。
如果函数在x=a处的极限与函数值不相等，那么它也无法在x=a处连续。
综上所述，我们可以得出结论：函数在某点连续的充分必要条件是，函数在该点存在、极限存在，并且函数值等于极限值。
这是一个非常基础且重要的数学概念，也是我们在学习函数连续性时需要深入理解的内容。
函数在一点连续和极限存在的关系
函数在一点连续和极限存在的关系
函数在一点的连续性和极限存在是微积分中一个重要的概念。
在数学中，连续性是指函数在某一点的函数值和极限值相等，即函数值与自变量的无限接近程度是一致的。
而极限存在则是指函数在某一点的极限值得到了确定。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处连续，那么函数f(x)在点x0处的极限存在，并且具有相同的值。
反之，如果函数f(x)在点x0处的极限存在，那么函数f(x)在点x0处不一定连续。
同时，如果函数f(x)在点x0处左右极限均存在且相等，那么函数f(x)在点x0处的极限也存在，并且等于左右极限的值。
这被称为函数在点x0处的“夹逼定理”。
总之，函数在一点的连续性和极限存在密切相关，是微积分中的基本概念，也是研究函数性质和计算微积分量的重要前提。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。