连续函数及其性质
数学中的连续函数概念及其性质
数学中的连续函数概念及其性质连续函数是数学分析中非常重要的概念之一。
在数学中，连续函数是指在定义域上没有突变或断裂的函数。
具体来说，连续函数可以用以下方式定义：对于任意给定的x值，如果在x上的函数值与x靠近的函数值非常接近，那么该函数就是连续的。
连续函数在不同的数学领域中都有广泛的应用。
首先，连续函数具有局部性质。
这意味着在一个连续函数中，任意小的定义域范围内的变化都会引起相应的函数值的变化。
换句话说，如果一个连续函数在一个点上发生了微小的变化，那么在该点附近的函数值也会有相应的微小变化。
这个性质使得连续函数在物理学、经济学和工程学等实际问题中具有广泛的应用。
其次，连续函数具有介值性质。
也就是说，如果一个连续函数在定义域的两个端点上取不同的函数值，那么它在这两个端点之间的某个位置上的函数值一定会等于这两个端点的中间值。
这个性质使得连续函数在求解方程和不等式的问题中有很多应用。
此外，连续函数还具有零点性质。
如果一个连续函数在定义域的两个端点上取正负两个不同的函数值，那么它在这两个端点之间一定存在一个零点。
这个性质在数值方法中求解方程和优化问题时经常被用到。
进一步探讨连续函数的性质，我们可以观察到在一个闭区间上连续函数一定是有界的。
也就是说，如果一个函数在闭区间上连续，那么它在该区间上的函数值一定存在上界和下界。
这个结论可以通过连续函数的介值性质和闭区间的紧致性（即有界闭区间的性质）来证明。
此外，连续函数的和、差、积和商仍然是连续函数。
也就是说，如果两个函数在定义域上连续，那么它们的和、差、积和商在这个定义域上仍然是连续的。
这个性质在数学分析中非常重要，因为它使得我们能够将已知的连续函数进行组合，从而构造出更复杂的连续函数。
最后，连续函数可以通过微分和积分进行进一步的分析。
如果一个函数在某一点的导数存在，那么该函数在该点处是连续的。
反之，如果一个函数在某一点处不连续，那么它在该点处的导数也不存在。
类似地，如果一个函数在定义域上可积，那么该函数在该定义域上是连续的。
第十一章第三节连续函数的性质
４、连通集的定义
设Ｓ为Ｒn中点集，如果连续函数r:[0,1] →Rn的值域全部 落在Ｓ中，称r为Ｓ中的一条道路，r(0)和r(1)称为道路的起 点和终点。
如果Ｓ中任意两点x,y都存在Ｓ中满足r(0)=x,r(1)=y的道路， 称S是道路连通的或者称为连通集。
连通的开集称为开区域，开区域和它的边界一起构成闭区 域。
n
若函数f 在紧集
合 K R 上 连 续 ， 则 f 在 K上 一 致 连 续. 即 （ 对 任 何 0， 总 存 在 只 依 赖 于 的 正 数 ， 使 得 对 一 切 点 P、 Q， 只 要 P， Q） ， 就 有 （ |f(P )-f(Q )| .)
证明：
５、连通集上的连续函数的性质
定理4 设 K为 连 通 的 紧 集 ,函 数 f 在 K R 上 连
n
续 ， 那 么 f(K)是 连 通 集 .
推论：连续函数将连通的紧集映成闭区间。
定 理 5(中 间 值 定 理 ）
n
设 K为 连 通 的 紧 集 ,
函 数 f 在 K R 上 连 续 ， 那 么 f(x)可 取 到 它 在 K 上 的 最 小 值 与 最 大 值 之 间 的 一 切 值 ,换 言 之 f(x)的 值 域 是 [m,M].
第十一章: Euclid空间的极限和连续
第三节：连续函数的性质
１、连续函数概念推广：
定义：
设 K R , f : K R 为 定 义 在 点 集 K上 的 向 量
m n
值 函 数 ,x 0 K , 对 于 任 给 的 正 数 ， 总 存 在 相 应 的 正 数 ， 只 要 x U x 0； ） K ， 就 有 （ | f ( x ) f ( x 0 ) | 则 称 f 点 x 0 连 续 .若 f 在 K上 任 何 点 都 连 续 ， 则 称 f 为 K上 的 连 续 函 数 .如 K是 紧 集 ,称 f是 紧 集 上的连续函数.
连续函数的定义和性质
连续函数的定义和性质连续函数是数学中一个重要的概念，它在实际问题的建模和解决中起着关键的作用。
本文将讨论连续函数的定义和性质，以帮助读者更加深入地理解和应用连续函数。
一、连续函数的定义连续函数的定义是基于极限的概念的。
设函数$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在点$x=a$连续。
二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算性质如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$在点$x=a$连续，则它们的和、差、积、商函数也在点$x=a$连续。
2. 连续函数的复合性质设函数$y=f(x)$在点$x=a$连续，函数$y=g(u)$在点$u=f(a)$连续，则复合函数$y=g[f(x)]$在点$x=a$连续。
3. 连续函数的介值性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个根。
4. 连续函数的最大值和最小值定理设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该闭区间上必有最大值和最小值。
5. 连续函数在有界闭区间上的均匀连续性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，当$|x-y|<\delta$时，有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$成立。
三、连续函数与间断点函数可分为连续函数和间断函数两类。
连续函数在定义域内无间断点，而间断函数则存在间断点。
1. 第一类间断点函数$f(x)$在$x=a$处有第一类间断点，当且仅当存在左右极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$和$\lim_{x \to a^+} f(x)$，且两者不相等。
函数的连续性极其性质
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：。
无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。
关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
函数的连续性连续函数的定义与性质
函数的连续性连续函数的定义与性质函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。
本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。
如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。
而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。
在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。
跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。
无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。
二、连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。
如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。
连续函数具有以下重要性质：1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。
2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。
3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。
4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。
形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。
5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)<c<f(b)或者f(b)<c<f(a)），在开区间(a,b)内至少存在一个点x0，使得f(x0)=c。
函数的连续性
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值 >>>
作业：
P43 习题1—6 2、（2） 3、（4） 4、 5、
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❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
(2)虽然在x0有定义 但 lim f(x) 不存在
x x0
(3)虽然在x0有定义且lim f(x)存在 但 lim f(x)f(x0)
x x0
x x0
则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
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❖连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
•连续函数举例 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的
这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
lim Dy =0
Dx0
lim [
x x0
f
(x)-
f
(x0)]= 0
连续函数性质及其在实际问题中的应用分析
连续函数性质及其在实际问题中的应用分析连续函数是数学分析中的重要概念，它在许多实际问题的建模和解决中发挥着关键作用。
本文将介绍连续函数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
连续函数是一种在数学上严格定义的函数，其定义是基于极限的概念。
简而言之，一个函数在某一点处连续，意味着当自变量的取值趋近于该点时，函数值也趋近于该点。
连续性具有以下重要性质：1. 接近性：连续函数的一个关键特征是当自变量接近某一值时，函数值也趋近于相应的值。
这使得我们可以在自变量的一个附近进行近似计算，从而简化问题的求解过程。
2. 切比雪夫性质：连续函数具有切比雪夫性质，即在定义域上任意取定两个数值a和b（a<b），函数在[a，b]区间上连续。
这意味着函数的图像在[a，b]区间上没有突变或跳跃，而是平滑而连贯的。
在实际问题中，连续函数广泛应用于许多领域，例如物理学、经济学和工程学等。
以下是一些实际问题中连续函数的应用示例：1. 压力传感器：在工程领域，压力传感器用于测量气体或液体的压力。
通过使用一个连续函数来表示压力-电压转换关系，可以将传感器输出的电压值转换为相应的压力值。
连续函数的应用使得我们可以在离散取样的压力值之间进行插值，从而获得更精确的测量结果。
2. 股票价格预测：在经济学中，连续函数可用于预测股票价格的变化趋势。
通过分析历史数据，建立一个连续函数模型来描述价格的变化，并通过这个模型来预测未来的价格。
连续函数可以提供比离散数据更准确的预测结果，并帮助投资者做出更明智的投资决策。
3. 光滑曲线拟合：在科学研究中，连续函数常用于光滑曲线的拟合。
通过选择最佳的连续函数模型，可以将离散的实验或观测数据用曲线来近似表示，从而更好地理解数据背后的规律。
这种拟合可以用于预测未来的趋势或优化实验设计。
4. 数值积分：连续函数在数值积分中起着重要的作用。
数值积分是一种用离散数值逼近连续函数积分值的方法。
通过将连续函数划分为一系列小的区间，并通过在区间上的离散点上计算函数值的数值平均，可以得到积分的近似值。
函数的连续性
函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。
连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。
本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。
1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。
具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。
2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。
初等函数在其定义域上都是连续函数。
初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。
以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。
3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。
间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。
可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。
通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。
跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。
4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。
根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。
这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。
5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。
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若f (0) f (a) 则F (0) F (a) 0
由零点定理知 (0,a)使F ( ) 0
即f ( ) f ( a) 总之 [0,a)使f ( ) f ( a)
注
①方程f(x)=0的根
内必有方程的根 ;
二分法
取
的中点
x
3 4
,
f (43) 0,
O
1 3 1x
2 4
则
(
1 2
,
3 4
)
内必有方程的根
;
可用此法求近似根.
例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
则有 f ( x) K . 函数f ( x)在[a, b]上有界.
二、介值定理
函数 f ( x)的零点.
定理 3(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0 ),
证明 [0,a)使f ( ) f ( a)
证 记F ( x) f ( x) f ( x a)则 F ( x)在[0,a]上连续([0,a]即F ( x)的定义域) 且F (0) f (0) f (a) F(a) f (a) f (2a) f (a) f (0)
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
例3 设f ( x)在[0,2a]上连续，且f (0) f (2a)
余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较
一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值
介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
函数f(x)的零点
②有关闭区间上连续函数命题的证明方法
10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理
20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理
辅助函数的作法 （1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x
（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所求
区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，
几何解释: 连续曲线弧 y f ( x)与水平 直线 y C至少有一个交点.
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 M 与最小值 m之间的任何值. 例1 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内
至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
证 设 ( x) f ( x) C, y
M
则( x)在[a, b]上连续, B y f ( x)
且 (a) f (a) C
C a
A C,
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
(b) f (b) C B C, m
(a) (b) 0, 由零点定理, (a, b),使 ( ) 0, 即 ( ) f ( ) C 0, f ( ) C.
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(a, b), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
说明:
x
1 2
,
f
(12)
1 8
0
,
则
(
1 2
,1)
oa
2
1 b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f (x)
y
y f (x)
1
o
x
o
12
x
2
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界.
证 设函数f ( x)在[a, b]上连续, x [a, b],
有 m f ( x) M , 取 K max{ m , M },
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x) C[a, b], y
则 1 ,2 [a, b],
y f (x)
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x),
f (2 ) f ( x).
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x), 如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x)在区间 I上的最大(小)值.
例如, y 1 sin x, 在[0,2]上, ymax 2, ymin 0; y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
y f (x) 1 2 3 b x
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a, b
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) A 及 f (b) B,
那末，对于 A与 B之间的任意一个数C ，在开区间
a, b内至少有一点，使得 f ( ) C (a b).
那末在开区间a, b内至少有函数f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
线弧与 x轴至少有一个交点.