§11.3连续映射的性质

定理11.3.2（有界性）若是中的紧集，是上的连续函数，则在上有 界。
定理11.3.3（最值性）若是中的紧集，是上的连续函数，则在上能 取得最大值和最小值，即存，使得对一切成立
。
二、映射的一致连续性 定义11.3.2 设是中的点集，为映射。如果对任给的，存在，使得对 任意，，都有
， 则称映射在点集上一致连续。
显然，若映射在点集上一致连续，则必在上连续，但反之不然。不 过下面的定理11.3.4告诉我们，在紧集上的连续映射一定是一致连续的 映射。
定理11.3.4 设是中的紧集，为连续映射，则在上一致连续。
证：对任意给定的，由于在上连续，因此对任意，存在，使得对任 意，只要（即），就有
。 显然所有这样的领域之集是的一个开覆盖。由于是紧集，因此在中必存 有限个开集 覆盖了（即对任意，必存在，使）。
现在将上述定义中的“是开集”推广到上任意点集。
定义11.3.1 设点集，为一定点百度文库是从到上的映射（向量值函数）。 若时，成立
（即） 则称在点连续。
如果映射在点集上每一点都连续，就称在上连续。这时称映射为上 的连续映射。
也就说，当是的内点时，这就是原来的定义11.2.；当是的边界点 时，只要求函数在的领域中属于的那些点（即）满足不等式。
设为像集中的任意一个点列。对于每个，任取一个满足的，则为紧 集中的点列，所以它必有聚点属于，即存在的子列满足
。 再由在点的连续性得
， 即是的一个聚点，因为，所以。因此是紧集。#
按照这个定理，如果是中紧集的连续函数（）， 那么的像集（数集）是中的紧集，因此是有界闭集，进而存在最大数和 最小数。于是就可得到以下紧集上多元函数的两个重要性质：
作业（P133）：1，2.
记，则对任意，，不妨设 （），这时
， 从而
。 因此在上一致连续。#
三、连通集与连通集上的连续映射 设，，称点集 为中连结点与点的直线段。 一般地，设是闭区间到的连续映射 即定义在的连续函数组
， 若满足
，， 则称值域 为上连接点与点的连续曲线。
设是中的点集，若上述的连续曲线全部落在中，即，则称连续曲线 为点集中的道路，与分别称为道路的起点与终点。
， 使得。于是对于连续（复合）映射来说，有
， 且，。这说明就是中以为起点，为终点的道路。再由的任意性即知是连 通集。#
注意到，对于连续映射，当时，它就是元连续函数，。而我们知道， 上的连通集必是区间，而上的连通紧集就是闭区间。于是有下面的推 论。
推论11.3.1 连续函数将连通的紧集映射成闭区间。 由这个推论便得到类似于闭区间上连续函数的介值性定理： 定理11.3.6（介值定理）设是连通的紧集，是上的连续函数。则可 以取到它在上的最小值与最大值之间的一切值。换言之，的值域是闭区 间。
§11.3 连续映射的性质 一、紧集上的连续映射 上一节关于连续映射的定义是： “定义11.2. 设是上的开集，为一定点，是从到上的映射（向量值函 数）。如果
， 则称映射在点连续。用“”语言来说就是：
若对时，成立 （即）
则称在点连续。 如果映射在上每一点都连续，就称在上连续。这时称映射为上的连
续映射。”
下面先给出紧集上的连续映射的一个重要性质。
定理11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证：设是中的紧集，为连续映射。要证明的像集（值域） 是紧集，根据定理11.1.10 (是紧集的任一无限子集都有属于的聚点)，只 要证明中的任意一个无限点集必有聚点属于即可。因为每一个无限点集 都有可列的无限子集（即点列），所以只要证明像集中的任意一个点列 必有聚点属于即可。
若中的任意两点之间，都存在以为起点，为终点的道路，则称点集 为连通的，或称为连通集。
显然，实数集上的连通集必是区间，而且为紧集的充分必要条件 是：为闭区间。
连通的开集称为开区域，简称区域。区域的闭包称为闭区域。
定理11.3.5 连续映射将连通集映射成连通集。 证：设是中的连通集，为连续映射，现证明的像集（即值域） 是连通集，即要证明对于中的任意两点与之间，都存在以为起点，为终 点的道路。 设，，，由于是连通的，所以存在连续映射
对于一元函数，我们已经讨论了闭区间上的连续函数的性质（有界 性、最值性、介值性和一致连续性）。闭区间上是一维空间中的有界闭 集，顺理成章地，在讨论维空间上的连续函数的性质时，也应该要求函 数的定义域是中的有界闭集，即紧集。这样，一元函数在闭区间上的性 质就可以拓展到多元函数，这也是引进紧集概念的一个原因。