映射和函数补充练习题
映射与函数习题
广州至慧教育学生姓名 就读年级映射；②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那末A 到B 的映射f :A →B 就叫做A →B 的函数。
记作：y=f (x ).（2）定义域：原象集合A 叫做函数y =f (x)的定义域。
（3）值域：象的集合C 叫做函数y =f (x)的值域。
)(B C定义：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B。
如果元素a和元素b 对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。
给定映射f：A→B。
则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。
问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？答：发现规律：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，我们把这样的映射称为单射。
（2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。
定义：一般地，设A、B是两个集合。
f：A→B是集合A到集合B的映射，如果B的映射共有n m个。
【映射例题精解】例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1，x属于A解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。
方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法例5已知：集合{,,}f a f b f c++=，M a b c→满足()()()0N=-，映射:f M N=，{1,0,1}那么映射:f M N→的个数是多少？思路提示：满足()()()0f a f b f c ++=，则只可能00001(1)0++=++-=，即()f a 、()f b 、()f c 中可以全部为0，或0,1,1-各取一个．解：∵(),(),()f a N f b N f c N ∈ ∈ ∈，且()()()0f a f b f c ++= ∴有00001(1)0++=++-=．当()()()0f a f b f c ===时，只有一个映射；例8．已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列不表示从P 到Q 的映射是（） 答案：C提示：C 选项中2:3f x y x →=，则对于P 集合中的元素4，对应的元素83，不在集合Q 中，不符合映射的概念．例9．集合{3,4}A = ，{5,6,7}B = ，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________． 答案：9,8提示：从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法．则不同的映射种数1339N =⨯=．反之从B 到A ，道理相同，有22228N =⨯⨯=种不同映射．3B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是（）A.2B.3 C.4D.54．如果(x,y)在映射f 下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是（）A.（3，1）B.（21,23-）C.（23,21-）D.（-1，3）5.已知点(x ，y)在映射f 下的象是(2x －y ，2x ＋y)，求(1)点（２，３）在映射f 下的像；（２）点(4，6)在映射f 下的原象.6.设集合A ＝{1,2,3,k},B ＝{4,7,a 4,a 2＋3a},其中a,k ∈N,映射f:A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1与A 中元素x 对应，求a 及k 的值. 【综合练习】 一、选择题：1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（）A ．A =R ，B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋，x ∈A ，f ：x →|x －1|C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)6．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x7．函数y =1122---x x 的定义域为（）A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≤－1或x ≥1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{－1，1}8．已知函数f (x )的定义域为［0，1］，则f (x 2)的定义域为（）A ．(－1，0)B ．[－1，1]C ．(0，1)D ．［0，1］9．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（）三、解答题：17．（1）若函数y =f (2x ＋1)的定义域为[1，2]，求f (x )的定义域.（2）已知函数f (x )的定义域为［－21，23］，求函数g (x )=f (3x )＋f (3x)的定义域.18．（1）已f (x 1)=xx -1，求f (x )的解析式.（2）已知y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式. 19．求下列函数的值域：（1）y =－x 2＋x ，x ∈[1，3] （2）y =11-+x x（3）y x =20．已知函数ϕ(x )=f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函。
集合与映射的应用于函数问题练习题及解析
集合与映射的应用于函数问题练习题及解析1. 练习题1.1 集合问题1.1.1 问题描述：已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，求A与B的交集、并集以及差集。
1.1.2 解析：交集即A和B共有的元素，包括3, 4, 5。
并集即A和B的所有元素，包括1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。
差集即A中有而B中没有的元素，包括1, 2。
1.2 映射问题1.2.1 问题描述：已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)的值。
1.2.2 解析：将x替换为3，计算得到f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
2. 解析2.1 集合问题2.1.1 交集：交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。
对于题目中给定的集合A和B，它们的交集为{3, 4, 5}。
2.1.2 并集：并集是指两个集合中所有元素的集合。
对于题目中给定的集合A和B，它们的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
2.1.3 差集：差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素构成的集合。
对于题目中给定的集合A和B，A与B的差集为{1, 2}。
2.2 映射问题2.2.1 映射：映射是指每个元素在某种规则下对应到另一个集合的过程。
在题目中，函数f(x) = 2x + 1为映射关系，它将x映射到对应的f(x)。
2.2.2 f(3)的值：将x替换为3，得到f(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
因此，f(3)的值为7。
3. 总结通过以上练习题及解析，我们对集合与映射在函数问题中的应用有了更深入的了解。
在集合问题中，我们可以通过求交集、并集和差集来进行集合的运算，从而得到想要的结果。
在映射问题中，我们通过给定函数式，将输入值映射到对应的输出值，从而得到我们需要的结果。
在解答这些问题时，我们需要仔细理解题目的要求，并运用集合和映射的相关知识进行分析和计算。
通过不断的练习和解析，我们能够提高对集合与映射在函数问题中的应用能力，为解决更复杂的问题打下坚实的基础。
映射与函数练习题
映射与函数练习题（一）选择题：1. 在映射f :A→B 中,下列判断正确的是( )A.A 中的任一元素在B 中都有象,但不一定唯一B.B 中的某些元素在A 中可能有多个原象,也可能没有原象C.集合A 和B 一定是数集D.记号f :A→B 与f : B→A 的含义是一样的2. 已知四个从集合A 到集合B 的对应(如图),那么集合A 到集合B 的映射是( )A.④B.①和④C.②和④D.③和④3. 如果x 在映射f :R→R 下的象是x 2-1,那么3在f 下的原象是( )A.2B.-2C.2和-2D.84. 集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不表示从P 到Q 的函数是( )A.f :x→y=21xB.f :x→y=31xC.f :x→y=32x D. f :x→y=x 5. 下列每一组中的函数)(x f 和)(x g ,表示同一个函数的是( )A.x x f =)(;2)()(x x g =B.x x f =)(;33)()(x x g =C.1)(=x f ;xx x g =)( D.1)(=x f ;0)(x x g = 6. (2003高职-11)已知函数22)1(2++=+x x x f ,则)(x f 的解析表达式为( )A.2)1(-xB.12-xC.12+xD.2)1(+x7. 已知函数13)1(-=-x x f ,则)(x f =( )A.3x-1B.3xC.3x+1D.3x+28. 函数)23(32)(-≠+=x x cx x f ,满足x x f f =))((,则c 等于( ) A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3（二）填空题：9. 集合A 、B 是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A 到B 的映射f :{(x,y)}→{(x 2+y 2,xy)},则象(5,2)的原象是 .10. 从集合A={a,b}到集合B{x,y}的映射有 个.11. 设函数)(x f =[x], (x ∈R),其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则)8.4(-f = .（三）解答题：12. 已知正方形ABCD 的边长为10,一动点P 从点A 出发沿正方形的边运动,路线是A→B→C→D→A,设点P 经过的路程为x,设AP 2=y,试写出y 关于x 的函数.。
映射与函数(含答案)
高2011级数学定时训练之映射与函数1.下列函数中，与函数y =x 相同的函数是 （ ） A .y =xx 2 B .y =(x )2 C .y =lg10xD .y =x 2log 2 答案 C2.设M ={x |-2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是图中的（ ）答案 B 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 （ ）A .1B .2C .3D .4 答案 C4.已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f(x )的解析式可取为 （ ） A .21x x + B .-212x x + C .212x x+ D .-21x x+ 答案 C 5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 （ ）A .（-∞,-31） B .（-31,31） C .（-31，1） D .（-31,+∞） 答案 C6.若对应关系f :A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是（ ）A .A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素 B .A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同C .B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同D .B 中的元素在A 中可能没有对应元素 答案 B7.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则有 （ ）A .都表示映射，且①③表示y 为x 的函数B .都表示y 是x 的函数C .仅②③表示y 是x 的函数D .都不能表示y 是x 的函数 答案 C8.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=2,则f (-3)等于（ ）A .2B .3C .6D .9 答案 C 二、填空题 9.已知f （x1）=x 2+5x ,则f (x )= . 答案251x x+(x ≠0) 10.已知函数f (x ),g (x )分别由下表给出则f ［g (1)］的值为 ，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是 . 答案 1 211.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）. 解 (1)令x2+1=t ，则x =12-t ，≨f （t ）=lg12-t ，≨f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+≦). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17，≨a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ， ① 把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3② ①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，≨f （x ）=2x -x1. 12．已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x （1）画出函数的图象；（2）求f (1)，f (-1),f [])1(-f 的值.解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-,111=-f [])1(-f =f (1)=1. 13.已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )=x 2+2x . （1）求g (x )的解析式； （2）解不等式g (x )≥f (x )-|x -1|.解 （1）设函数y =f (x )的图象上任一点Q (x 0,y 0)关于原点的对称点为P (x ,y ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,02,020y y xx 即⎩⎨⎧-=-=.,00y y x x≧点Q （x 0,y 0）在函数y =f (x )的图象上≨-y =x 2-2x ,即y =-x 2+2x ,故g (x )=-x 2+2x .(2)由g (x )≥|1|)(--x x f 可得：2x 2-|x -1|≤0.当x ≥1时，2x 2-x +1≤0,此时不等式无解.当x ＜1时，2x 2+x -1≤0,≨-1≤x ≤.21因此，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1.。
补充材料 映射与反函数
第五讲 映射与反函数一、知识要点1.映射: 设A 、B 是两个非空集合，如果存在一个对应关系f ，使得对A 中的每个元素a ，按照对应关系f ，在B 中有唯一确定的元素b 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作f ：A→B ，其中A 称为原象集，f(A)称为象集。
2. (1)单射: 集合A 中不同元素的象不同的映射(2)满射: 集合B 中每个元素都有原象的映射(3)双射: 既是单射也是满射的映射（也称一一映射）3.(1)逆映射：设:f A B →是集合A 到集合B 上的一一映射，如果存在一个对应关系g,对于B 中每一个元素b, A 中都有唯一确定的元素与之对应，则称g 为映射:f A B →的逆映射，记作1:f B A -→． 由定义不难看出只有一一映射才有逆映射，若:f A B →是一一映射，则1:f B A -→也是一一映射。
(2)恒等映射：: ()f x x x A →∈。
4. 反函数：设:f A B →是集合A 到集合B 上的函数，如果存在一个对应关系g,对于B 中每一个元素b, A 中都有唯一确定的元素与之对应，则称g 为函数:f A B →的反函数，记作1()y f x -=。
5.反函数的性质及相关结论（1）互为反函数的两个函数图象关于直线yx =对称,反之也成立。
（2）原函数()y f x =为奇函数，则其反函数1()y f x -=也为奇函数（注：不可能为偶函数）。
(3) 原函数()y f x =为增（减）函数，则其反函数1()y f x -=也为增（减）函数。
（单调性相同）(4)存在反函数的连续函数必为单调函数。
(5) 反函数恒等式：1()f f x x -⎡⎤=⎣⎦,[]1()f f x x -=。
6．求反函数的步骤：（1）从原函数()y f x =的表达式中反解出1()x f y -=；（2）互换x,y 得到1()y f x -=（不是数值的交换）（3）求出反函数的定义域（即原函数的值域）。
2019—2020年最新高中数学2.1.1第2课时映射与函数同步练习题新人教B版必修1.doc
第二章 2.1 2.1.1 第2课时映射与函数一、选择题1．下列各组中，集合P与M不能建立映射的是( ) A．P＝{0}，M＝∅B．P＝{1,2,3,4,5}，M＝{2,4,6,8}C．P＝{有理数}，M＝{数轴上的点}D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}[答案] A[解析] 选项A中，M＝∅，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射．2．已知集合A＝{1,2，m}，B＝{4,7,13}，若f：x→y＝3x＋1是从集合A到集合B的映射，则m的值为( ) A．22 B．8C．7 D．4[答案] D[解析] 由题意可知，3m＋1＝13，∴m＝4.3．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为( )A．3 B．6C．9 D．18[答案] B[解析] 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个，故选B．4．已知A＝B＝R，x∈R，y∈R，f：x→y＝ax＋b是从A 到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是( )A．3 B．4C．5 D．6[答案] A[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝110a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2. ∴y ＝x －2，∴5在f 下的象是5－2＝3.5．已知映射f ：A →B ，即对任意a ∈A ，f ：a →|a|.其中，集合A ＝{－3，－2，－1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的对应元素，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 [答案] A[解析] |－3|＝|3|，|－2|＝|2|，|－1|＝1，|4|＝4. 因为集合元素具有互异性，故B 中共有4个元素， 所以B ＝{1,2,3,4}．6．设集合A ＝{x|0≤x ≤2}，B ＝{y|1≤y ≤2}，在图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )[答案] D[解析] A中，y的范围不符；B中，y的范围不符；C 不符合映射定义：对于集合A中的每一个元素，在集合B中有惟一元素与之对应．∴选D．二、填空题7．已知a、b为实数，集合M＝{ba，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a ＋b的值为____________．[答案] 1[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b a＝0a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0a ＝1， ∴a ＋b ＝1.8．(2014～2015学年度山东济宁市兖州区高一上学期期中测试)设f ：x →ax －1为从集合A 到集合B 的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.[答案] 5[解析] 由题意得2a －1＝3，∴a ＝2.∴f(3)＝3a －1＝3×2－1＝5.三、解答题9．下图中①、②、③、④用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应关系是不是映射？是不是函数关系？[解析] 根据映射定义知：图①中，通过运算法则“开平方”，违背定义中的A中每个元素在B中有惟一的象，即A中每个元素对应B中的两个象，故这种对应不是映射，当然也不是函数．图②中，违背A中每一个元素在B中都有惟一元素与之对应，因为6无象，故不是映射，也不是函数．图③和④都是映射，也是函数关系．10．设A＝{(x，y)|x∈R、y∈R}，如果由A到A的一一映射，使象集合中的元素(y＋1，x＋2)和原象集合中的元素(x，y)对应．求：(1)原象(1,2)的象；(2)象(3，－4)的原象．[解析] (1)∵x＝1，y＝2，∴y＋1＝3，x＋2＝3，即原象(1,2)的象为(3,3)．(2)令y＋1＝3，x＋2＝－4，∴y＝2，x＝－6，∴象(3，－4)的原象为(－6,2).一、选择题1．设集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3－x＋1，则在映射f下，象1的原象所组成的集合是( )A．{1} B．{0,1，－1}C．{0} D．{0，－1，－2}[答案] B[解析] 由题意可知f(x)＝x3－x＋1.当f(x)＝1时，求x.将各值代入检验可知选B．2．已知集合A＝N*，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A 中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A中的元素为( )A．3 B．5C．17 D．9[答案] D[解析] 由题意，得2a－1＝17，∴a＝9.3．已知(x，y)在映射f下的象是(2x－y，x－2y)，则原象(1,2)在f下的象为( )A．(0，－3) B．(1，－3)C．(0,3) D．(2,3)[答案] A[解析] 原象(1,2)在映射f下的象为(0，－3)．4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A．4,6,1,7 B．7,6,1,4C．6,4,1,7 D．1,6,4,7[答案] C[解析] 由题目的条件可以得到a ＋2b ＝14,2b ＋c ＝9,2c ＋3d ＝23,4d ＝28.解得a ＝6，b ＝4，c ＝1，d ＝7，故选C ．二、填空题5．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}，f ：(x ，y)→(kx ，y ＋b)，若B 中的元素(6,2)在此映射下的原象是(3,1)，则k ＝________，b ＝________.[答案] 2 1[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＝61＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝1. 6．设集合A 和B 都是自然数集，映射f ：A ―→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下象20的原象是__________．[答案] 4[解析] 由题意，得2n ＋n ＝20，∴n ＝4.三、解答题7．在下面所给的对应中，哪些对应不是集合A到B的映射？说明理由．[解析] (1)不是集合A到B的映射，因为A中元素0在B中没有元素与之对应．(2)、(4)、(5)、(6)是集合A到B的映射，因为A中的任意一个元素在B中都有惟一的元素与之对应．(3)不是集合A到B的映射．因为A中的元素1、4、9在B中都各有两个元素与之对应．8．在下列各题中，判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A＝N，B＝N＋，对应法则f：x→|x－1|；(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应法则f：x→x 2；(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应法则f：x→x＋3.[解析] (1)集合A＝N中元素1在对应法则f作用下为0，而0∉N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故对应法则f不是从A到B的映射．(2)集合A中元素6在对应法则f作用下为3，而3∉B，故对应法则f不是从A到B的映射．(3)集合A中的每一个元素在对应法则f作用下，在集合B中都有惟一的一个元素与之对应，所以，对应法则f是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有惟一的元素与之对应，故对应法则f：A→B又是一一映射．又A，B是非空数集，因此对应法则f也是从集合A到集合B的函数．。
第12课映射与函数（经典例题练习、附答案）
第12课 映射与函数◇考纲解读① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数．表示函数．◇知识梳理；1．映射的定义：．映射的定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的___________元素x ，在集合B 中都有_________的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A ®B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A ®B ” ．由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集.2.2.映射的概念中象、原象的理解：映射的概念中象、原象的理解：映射的概念中象、原象的理解： ① A 中每一个元素中每一个元素__________________象；②象；②象；②B B 中每一个元素中每一个元素___________________________原象，不一定只一个原象；原象，不一定只一个原象； ③A 中每一个元素的象中每一个元素的象________________________．． 3．函数的概念：．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的__________x ，在集合B 中都有____________的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做_________，x 的取值范围A 叫做函数的_______；与x 的值相对应的y 值叫做__________，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的_________．注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 4．两个函数的相等：．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即_____________________________．当且仅当两个函数的__________________________都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．都分别相同时，这两个函数才是同一个函数． 5．区间．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；）无穷区间；（3）区间的数轴表示．）区间的数轴表示．◇基础训练1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是的原象是 （ ） A.2 B.3 C.4D.5 2．设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（的图象可以是（） 22-2Aoy x22-2B oy x22-2C oy x22-2D o y x3．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________.4．若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k Î＿＿＿＿＿＿．◇典型例题例1．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（的个数是（） A.8个 B.12个 C.16个 D.18个例2． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=xx ||，g （x ）=îíì<-³;01,01x x（3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.◇能力提升1．下列各对函数中，相同的是（．下列各对函数中，相同的是（） A ．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B ． )1lg()1lg()(,11lg )(--+=-+=x x x g x x x fC ． vv v g uu u f -+=-+=11)(,11)(D ．f （x ）=x ，2)(xx f =2. 已知集合A={}40££x x ， B={}20££y y ,下列从A 到B 的对应f 不是映射的是（ ）A ．x y x f 21:=®B ．x y x f 31:=®C ．x y x f 32:=®D ．281:x y x f =®3．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,(,)a b ÎZ ，值域是[]1,0，那么满足条件的整数数对),(b a 共有共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．5个 D ．无数个．无数个4．点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则f 的作用下点)1,3(的原象为点____ 5．设B A f ®:是从集合A 到B 的映射，{}R y R x y x B A ÎÎ==,),(， ),(),(:b y kx y x f +®，若B 中元素（6，2）在映射f 下的原象是(3,1)， 则b k ,的值分别为________.6．（2008佛山二模）已知函数()f x 自变量取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为()f x 的保值区间的保值区间..求函数2()f x x =形如[,)()n n R +¥Î的保值区间；的保值区间；第12课 映射与函数◇知识梳理1.任意一个，唯一确定的.2.①都有，②不一定都有，③唯一①都有，②不一定都有，③唯一3．任意一个数，唯一确定，自变量，定义域．任意一个数，唯一确定，自变量，定义域4．定义域A 、值域C 和对应法则f ，定义域和对应法则定义域和对应法则◇基础训练1. C ，2. B ，3. 9，84. 30,4éö÷êëø◇典型例题例1.1. 解：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f的个数是9218´=．故选D.例2.2. 解：（1）由于f （x ）=2x =|x |，g （x ）=33x =x ，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f （x ）=x x ||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g （x ）=îíì<-³;01,01x x 的定义域为R ，所以它们不是同一函数. （3）由于函数f （x ）=x1+x 的定义域为{x |x ≥0}，而g （x ）=x x +2的定义域为{x |x ≤－1或x ≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（4）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 点评：（1）第（4）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f （x ）=x 2+1，f （t ）=t 2+1，f （u +1）=（u +1）2+1都可视为同一函数.◇能力提升1.C ,2.C ,3. C ,4. ()2,1-,5. 2,16.解:若0n <,则(0)0n f ==,矛盾矛盾. . 若0n ³,则2()n f n n ==,解得0n =或1 所以)(x f 的保值区间为[)0,+¥或[)1,+¥。
216-映 射 与 函数 基础练习例题分析巩固 练习
C. f (x) x 1, g(x) x 1 ; x 1
D. f (x) lg x 2, g(x) lg x . 100
(3)集合A {a,b, c}, B {1, 0,1}从A到B的映射 f 满足f (a) f (b) f (c), 那么这样的映射
【基础练习】
(1).点(x, y)在映射f 下的象为( 3x y , x 3y ),
则点(2,0)在f作用下的原象是___2___
2
解:
由
3x y 2 2
x 3y 0 2
原象为( 3,1).
(2)下列各组函数中,表示同一函数的是( D )
A. f (x) x 1, g(x) | x 1|;
(2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个 非空数集的映射. 3.函数的三要素:
函数是由定义域、值域以及从定义域到值 域的对应法则三部分组成的特殊映射.
定义域:自变量x的集合.
值域:函数值y的集合.
(3)函数的表示法：
解析式法、列表法、图象法.
函数的解析式是函数的一种表示方法，要 求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它 们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
例2 设函数f (x)的定义域为R ,且f (xy) f (x) f ( y)
f (8) 3,求f ( 2)的值.
解：f (8) f (2 4) f (2) f (4) f (2) f (2 2) f (2) f (2) f (2)
3 f (2) 3
f (2) 1.
又f (2) f ( 2 2)
f ( 2) f ( 2) 2 f ( 2) 1.
f ( 2) 1. 2
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映射习题补充：
1，设A= −π,−π
3,0,π
3
,π
2
，B= −1,0,1
2
,1，定义f:x→cosx是A到B的映射。
g:x→πx是B到A的映射，若g f x=π
2
，则x=
答案：±π
3
2，已知A=a,b,c，B=−1,0,1，映射f:A→B满足f a+f b=f(c)，映射f:A→B的个数
答案：7个
3，设f:x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,2}，那么A⋂B等于（）
A．ΦB．1C．Φ或2D．Φ或1
答案：D
4，已知集合M=1,2,3,4，N={a,b,c,d}，从M到N的所有映射中满足N中恰有一个元素无原象的映射的个数是（）A．81 B．64 C．36 D．144
答案：D
5，已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:x→y=−x2+2x，对于实数k∈B在集合A中存在不同的两个原象，则k的取值范围是（）
A．k>1B．k≤1C．k≥1D．k<1
答案：D
6，设f:x→x是集合A到集合B的映射，如果A={−2,0,2}，那么A⋂B等于（）
A．0B．2C．0,2D．−2,0
答案：C
7，已知映射f:A→B，其中A=B=R，对应法则f:x→y=−x2+2x，对于实数p∈B在集合A中不存在原象，则p的取值范围是（）
A．p>1B．p≤1C．p≥1D．p<1
答案：A
8，函数f:1,2,3→{1,2,3}满足f f(x)=f(x)，则这样的函数个数共有（）
A．1 B．4 C．8 D．10
答案：D
9.设集合A=a,b,c,d，B={1,2,3}，从A到B建立映射f，使f a+f b+f c+f d=8，则满足条件的映射f共有个。
答案：19
10，已知集合A={1,2,3,4,5}，在从A到A的一一映射中，恰好有3个元素与自身对应的一一映射的个数为
答案：10
，11，已知集合A=Z，B=x x=2n+1,n∈Z，C=R，且从A到B的映射是f:x→y=2x−1，从B到C的映射是g:y→1
3y+1则从A到C的映射是。
答案：x→1
6x−2
12，判断下列是否为从A到B的映射，并判断哪些是一一映射。
（1）A=x x>0，B=y y>0，f:x→y=x2,(xϵA,yϵB)
（2）A=x x>0，B=R，f:x→y且y2=x,(xϵA,yϵB)
（3）A=2,3，B={3,5}，f:x→y>x,(xϵA,yϵB)
（4）A=x x>3，B=y y≥0，f:x→y=x−3,(xϵA,yϵB)
答案：（1）一一映射（2）不是（3）不是（4）映射。