高等数学函数的概念及性质
大一高数函数详细知识点
大一高数函数详细知识点函数是数学中的重要概念，是现实世界中各种关系的抽象表达。
在大一的高数课程中，函数是一个核心内容，掌握了函数的基本概念和性质，对于后续学习以及应用数学都具有重要的意义。
本文将详细介绍大一高数中函数的知识点，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、函数的定义和性质1. 定义：函数是一个将自变量和因变量之间的对应关系表示出来的规则。
通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数的关系。
2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量所有可能取值组成的集合，值域是因变量的所有可能取值组成的集合。
3. 一一对应：如果函数中的每一个x值对应唯一的y值，且每一个y值也对应唯一的x值，则称这个函数是一一对应的。
4. 奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)（对于定义域内的所有x），则称这个函数是偶函数。
5. 函数的增减性：如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则称函数是增函数；如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时有f(x1)>f(x2)，则称函数是减函数。
二、常见的基本函数类型1. 线性函数：线性函数的表达式为y=kx+b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。
2. 幂函数：幂函数的表达式为y=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像关于y轴对称，当a为正数时，函数是递增的；当a为负数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数的表达式为y=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像为一条曲线，当a大于1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。
4. 对数函数：对数函数的表达式为y=logₐx，其中a为常数且大于0且不等于1。
高数重要知识点
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限一。
函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim(1）l = 0，称f （x )是比g (x ）高阶的无穷小,记以f （x ） = 0［)(x g ］,称g(x)是比f （x)低阶的无穷小.（2）l ≠ 0,称f （x ）与g （x ）是同阶无穷小.（3)l = 1,称f （x ）与g (x )是等价无穷小,记以f （x ） ～ g (x ）2 常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ～ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ～ x1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ～ x ，)1ln(x + ～ x ，1)1(-+αx ～ x α二 求极限的方法1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f （x ） ≤ h （x ） 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim0=→x xx 公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时,有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1)0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大)这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则。
高数第一章函数
A ( r )12
当x 在D内取定一个数值 x0 时，y f x 有确定的
值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为： f x0 或
f x
f x x x 0
x x0 f x0
y
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体 构成了函数 y 的值域 f ( D ). 注： 1、当自变量的值改变时， 函数值不一定改变。 即
弹簧秤能承担的总重量. 介于某两个定数（点）之间的一切实数（点） 定义1 称为区间。 而那两个定数（点）称为这个区间的端点。
以 a, b 为端点的区间：
开区间 ( a , b ) x
a x b
a a
b b
3
x x
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开区间 无限区间
y f ( x) , x D 其中x为自变量；y 为因变量, D为定义域。
记为
。
当x取遍D内所有元素时，对应的y所组成的数集W 称为函数的值域，记作
W W [ f ( x)] { y y f ( x), x D}
9
1、函数的定义
设 x 与 y 是两个变量，当 x 在某个实数集D内任取定 一数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。 则称 y 是 x 的函数。 记为 • 定义域
例.
三、函数的表示法（如书自学） 公式法 、图象法 、列表法.
15
四. 反函数 1. 反函数的概念及性质 可以根据问题的需要 在研究两个变量间的函数关系， 任意选取其中一个为自变量， 则另一个就是因变量。
1 2 S gt 距离S是时间 t 的函数 2 2 S 若用S来确定所需要的时间 t t g 即 t 是S的函数
高等数学函数的概念及性质
注意: 构成复合函数的条件 g(D) D1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u ,
可定义复合
函数
但函数链 y arcsin u , u 2 x2 不能构成复合函数 .
19
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两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k (k 0, 1, 2, )
取整函数 当
y
当x> 0
当x= 0 当x< 0
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
22
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x2 , 1 x 0
例2. 求 y ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 ex1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
ex ex
ex ex
奇函数
y
记
1
th x 双曲正切
o
1
y th x
x
13
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练习 1.1 题5. 51 : y xx 1x 1
定义域为x R,
Q f -x =-x -x-1-x+1 =-x x+1 x-1 =-f x, f x =x x-1 x+1为奇函数.
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
nZ
k x k 时 , cot x 0
2
2
2
20
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1.1.5. 初等函数
高等数学函数与极限知识点总结
高等数学函数与极限知识点总结高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。
函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。
本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。
1. 函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。
函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。
在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的性质和分类函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。
函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。
周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。
根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。
多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。
当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。
极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。
函数的极限有以下性质：- 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。
- 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。
- 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。
- 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。
4. 极限的计算方法极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
- 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。
- 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。
大一高数函数与极限知识点
大一高数函数与极限知识点函数与极限是高等数学中的重要基础知识，它们在数学和其它科学领域中有着广泛的应用。
本文将介绍大一高数中与函数与极限相关的几个重要知识点。
一、函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，对于一个定义域内的每一个自变量，它都有唯一对应的因变量。
函数的定义域、值域、图像以及函数的性质都是我们需要了解的内容。
1.1 函数的定义域和值域函数的定义域是指所有使函数有意义的自变量的取值范围，而值域是函数在定义域内可能取到的所有因变量的值。
在确定定义域时，需要避开函数中会导致分母为零或根号内出现负数的取值。
1.2 函数的图像函数的图像是在直角坐标系中表示函数的一种方式，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性等性质。
二、极限的概念与运算规则极限是函数与自变量无限接近某个值时的性质，它在数学中应用广泛，尤其是在微积分中发挥着重要作用。
2.1 极限的定义对于一个函数，当自变量无限接近某个值时，如果因变量的取值可以无限接近于一个确定的常数L，那么我们就说该函数的极限为L。
用数学符号表示为lim(f(x))=L。
2.2 极限的运算规则极限具有一些运算规则，如常数与函数的极限相乘、函数相加的极限等，可以方便地求解复杂的极限问题。
三、常见的函数与极限在大一高数中，我们常常遇到一些基本的函数与极限，包括多项式函数、指数函数、对数函数以及三角函数的极限等。
3.1 多项式函数的极限多项式函数是由常数项、幂次项以及它们的和、差、积构成的函数。
求解多项式函数的极限可以通过代入法、化简或者利用极限的运算规则等方法进行。
3.2 指数函数和对数函数的极限指数函数与对数函数也是我们常见的函数类型，求解它们的极限需要运用一些特定的方法，如利用指数函数与对数函数的反函数关系、换元法等。
3.3 三角函数的极限三角函数在数学和物理中有着重要的地位，求解三角函数的极限需要掌握一些基本的极限公式，如sinx/x的极限等。
高等数学教材前三章
高等数学教材前三章第一章：函数与极限高等数学是大学数学的一门重要课程，旨在帮助学生理解和掌握高级数学的基本概念和方法。
而高等数学教材的前三章主要涵盖了函数与极限的内容。
1.1 函数的概念及性质函数是数学中的重要概念，它描述了数之间的依赖关系。
函数由自变量和因变量组成，自变量取值的变化会导致因变量相应地改变。
在这一章节中，将介绍函数的定义、函数的图像、函数的性质以及一些常见函数的分类和图像特征。
1.2 极限的概念极限是函数与数列中的重要概念，它描述了数值序列或函数值在某一点附近的趋势。
极限的概念是高等数学中的基础，它对于解决各种数学问题具有重要意义。
本节重点介绍函数的极限概念，包括函数极限的定义、性质以及常见的计算方法。
1.3 极限的运算法则极限的运算法则是数学中的重要工具，通过运算法则可以简化复杂极限的计算过程。
本节将介绍函数极限的四则运算法则、复合函数极限的计算以及无穷小量的运算法则。
第二章：导数与微分导数是微积分中的重要概念，描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质，在解决实际问题和数学推理中发挥着重要作用。
2.1 导数的概念导数是函数变化率的度量，它反映了函数在一点处的瞬时变化情况。
本章节将介绍导数的定义和性质，通过求导数可以帮助我们了解函数的变化规律以及优化问题求解。
2.2 导数的计算方法求导是解决导数问题的核心环节。
本节将介绍一些基本导数公式，例如多项式函数的导数、三角函数的导数以及常见初等函数的导数公式。
此外，还将介绍一些常见函数求导的方法，如导数的四则运算、链式法则和隐函数求导法则等。
第三章：微分中值定理与应用微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某种条件下存在特殊点的性质。
微分中值定理不仅具有理论上的重要性，还在实际问题的求解中起到关键作用。
3.1 弗格罗定理弗格罗定理是微分中值定理的基本形式，它给出了函数在某个闭区间内存在一点，使得该点的切线斜率与该区间的平均斜率相等。
高等数学函数
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化
但是并非每个方程都表示一个单值函数.
y 1 x2 如 x y 1
2 2
高等数学
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5、反函数
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数x ( y )
y0
W
W
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. ( 记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
高等数学
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
y a0 a1 x an x n 不是初等函数
y e sin x 1
x 2
为初等函数
x x0 不是初等函数 y x 1 x 0
高等数学
47
x, x 0 例1 y x x , x 0
复合而成的复合函数
是由y u和u x 2
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
高等数学
x
2．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 高等数学 x
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
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th x 双曲正切
y th x
x
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练习 1.1 题5.
51 : y x x 1 x 1
定义域为x R, f - x =-x - x-1 - x +1 =-x x +1 x-1 =-f x , f x =x x-1 x +1 为奇函数.
1 ) , 并写出定义域及值域 . ) 求 f (1 及 f ( 2 t
)2 解: f ( 1 2
1 2
2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )
值 域 f ( D ) [0 , )
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t 0时
函数无定义
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f ( D ) 称为值域 函数图形: C ( x , y) y f ( x) , x D
y y
机动
D f ( D)
a x b ( D [a, b] )
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x
结束
xD
(定义域) • 定义域
f
y f (D) y y f ( x), x D
( 自学, P7 )
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x , 故为初等函数.
2
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数
y
1
1
o
x
当
y
2 1 o
1
2 3
4
x
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x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 例2. 求 y 2 e x1 , 1 x 2 y 2e 2 解 : 当 1 x 0 时, y x ( 0 , 1 ] , 则 x y , y ( 0 , 1]
第一章 函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第1节 1.1 函数
1.1.1 区间和邻域 1.1.2 函数的概念 1.1.3函数的几种特性
第一章
1.1.4 反函数与复合函数 1.1.5 初等函数
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1.1.1 区间和邻域
设 a 和 b 都是实数， 开区间： 且 a b, 则数集
可定义复合
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0 u cot v , v k (k 0, 1, 2 ,) x v , x (, ) 2 可定义复合函数:
nZ
x x k k 时 , cot 0 2 2 2
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练习 习题1.1 题1：（3）、（6）
3 y tan x 1 ,
x 1
2
k , x
2
k 1 k z ,
tan x 1 定义域为 x x +k -1,k z . 2
5 x-x 2 , 6 y = lg 4
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
又如, 绝对值函数
定义域 值 域
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2 x , 0 x 1 例1. 已知函数 y f ( x) 1 x , x 1
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D ) D 1 不可少.
例如, 函数链 : y arcsin u , 函数 但函数链 y arcsin u , u 2 x 2 不能构成复合函数 .
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1.1.5. 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 . x, x0 可表为 y 例如 , y x, x0
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a , b x
称为半开半闭区间。
无限区间
a x<b
,
a a a
点的 邻域
(
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 左 邻域 : 右 邻域 :
1.1.2 函数的概念
定义1.1.1. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 y f ( x) , x D 因变量 自变量 定义域 为定义在
2 y=3x -x ,
2 3
定义域为x R, f - x =3x +x - f x f x ,
2 3
f x =3x -x 为非奇非偶函数.
2 3
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] , 则 x e , y ( , 0] 当 1 x 2 时, y 2 e x 1 ( 2 , 2 e ] , y 则 x 1 ln 2 , y ( 2, 2e ] 反函数 y
y
2
1 1 o 1
x
a xb
, a 和b
称为 开
( a ,b ) x a x b
称为开区间，记为 a, b , 即 区间的端点。
闭区间：数集 x a x b 称为闭区间，即
[ a , b ] x a x b ,
机动
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类似地有 a , b ] x a<x b ,
2x
定义域为 ( , 1] ( 2 , 2 e ]
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内容小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 4. 初等函数的结构 定义域
对应规律
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
作业 习题1.1
P7 1 (2),(5) ; P8 3; 7(4); 8
y
2
o 2 x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C 狄里克雷函数
周期为
1, 0,
x 为有理数
x 为无理数
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1.1.4. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质 若函数
1
为单射, 则存在逆映射
y
yx
Q(b, a )
y f ( x)
例如 ,
指数函数 y e x , x ( , ) 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
o
x
互为反函数 , 对称 .
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(2) 复合函数 — 复合映射的特例 设有函数链 y f (u ), u D1 且 g ( D) D 1
称此映射 f
为 f 的反函数 .
习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
y f 1 ( x) , x f ( D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数 且也单调递增 (减) .
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2) 函数 对称 .
与其反函数 的图形关于直线
由题意，y要有意义，必须满足 5x -x 2 4 >0, 0<x <5, 2 1 x 4. 5 x -x 1 x 4 lg 4 0 定义域为 x 1 x 4 .
1.1.3. 函数的几种特性 设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性 x1 x2 时, x1 , x2 I , 当 y , f ( x) M , 称 为有上界 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 , M f (单调增函数 x), 称 为有下界 ; )1 x M ,x D, 使 f ( xx ( x) 为 Ix 若 若对任意正数 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 上的 M ,f 均存在 2 单调减函数 . 则称 f ( x ) 无界 .
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(3) 奇偶性 x D, 且有 x D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
x o
y
说明: 若 f ( x ) 在 x = 0 有定义 ,则当
x x
f ( x ) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
e x e x y f ( x) 偶函数 2
记
e