同济大学高等数学课件映射与函数
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高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1
那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
高等数学同济大学第六版1-01-函数课件
x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x
2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他 用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质 变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函 数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的 变化情况。 微积分的研究是以极限的思想为基 本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。 但根本上，微积分这一学说的诞生 的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:
高数上D11映射与函数课件
函数的单调性
如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2) ，则称函数在区间内单调递减。单调性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们判断函数的趋势和变化 规律。
函数的表示方法
解析表示法
通过数学表达式来表示函数，如f(x)=x^2+2x+1。解析表示法能够 精确地描述函数的对应关系，但有时难以理解和操作。
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和 的极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中 值定理等性质。
定积分的几何意义
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积，即曲线 下方的面积。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则定积分∫(上限b，下限
函数极限的精确定义
对于任意小的正数$epsilon$，存在 一个正数$delta$，当自变量满足$0 < |x - x_0| < delta$时，函数值的差 的绝对值小于$epsilon$，即$|f(x) L| < epsilon$。
函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯 一的。
表格表示法
通过表格的形式来表示函数，将输入值和对应的输出值列出。表格 表示法直观易懂，但难以表示复杂的函数关系。
图象表示法
通过绘制函数图象来表示函数。图象表示法直观地展示了函数的形态 和变化规律，但有时难以精确描述复杂的函数关系。
03
函数的极限与连续性
函数极限的定义
函数极限的描述性定义
如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2) ，则称函数在区间内单调递减。单调性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们判断函数的趋势和变化 规律。
函数的表示方法
解析表示法
通过数学表达式来表示函数，如f(x)=x^2+2x+1。解析表示法能够 精确地描述函数的对应关系，但有时难以理解和操作。
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和 的极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中 值定理等性质。
定积分的几何意义
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积，即曲线 下方的面积。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则定积分∫(上限b，下限
函数极限的精确定义
对于任意小的正数$epsilon$，存在 一个正数$delta$，当自变量满足$0 < |x - x_0| < delta$时，函数值的差 的绝对值小于$epsilon$，即$|f(x) L| < epsilon$。
函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯 一的。
表格表示法
通过表格的形式来表示函数，将输入值和对应的输出值列出。表格 表示法直观易懂，但难以表示复杂的函数关系。
图象表示法
通过绘制函数图象来表示函数。图象表示法直观地展示了函数的形态 和变化规律，但有时难以精确描述复杂的函数关系。
03
函数的极限与连续性
函数极限的定义
函数极限的描述性定义
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂，希望 您刻苦学习，努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a
x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .
高等数学映射与函数PPT课件
y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
第33页/共52页
x0
x
D
34
映射与函数
说明
反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，x∈D， 则反函数记为 y f 1( x), x f (D).
A
B I
A B I
AB
AB
2
第2页/共52页
映射与函数
差,
} A\B={x|xA且xB
补, AC I \ A ( A I );
I
A B
B A
I
A\B
B = AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B {(x, y) x A and y B}.
3
第3页/共52页
4
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A, A B B A ; 结合律: ( A B) C A (B C ) ,
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分 钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟 计)另加1.20(元).
显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的
图形。
解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数 的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
(1)定义 设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为 从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.
1.1映射与函数 同济大学高数(第七版)上册
y -x
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性
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,
an
??
?a
i
?n i?1
自然数集 N ? ?0, 1 , 2 , ? , n,? ?? ?n ?
(2) 描述法：M ? ?x x 所具有的特征 ?
例: 整数集合 Z ? ?x x? N 或 ? x? N ? ?
有理数集
Q
?
???
p q
p? Z, q? N? ,
p 与 q 互质???
实数集合 R ? ?x x 为有理数或无理数 ?
为定义在
D 上的函数 , 记为
定义域
y ? f (x), x? D
因变量
自变量
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形 :
C ? ?(x , y) y ? f (x) , x? D ?
? D ? f (D)
ax bx ( D ? [ a, b])
18
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? x? D f y? f (D) ? ?y y ? f (x), x? D ?
X (数集 或点集 ) f R
f 称为定义在 X 上的为函数
泛函 functional, 变换 transformation,函数 function
14
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2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 f ?1为 f 的逆映射 . 习惯上 , y ? f (x), x? D D
元素 a 不属于集合 M , 记作 a ? M ( 或 a ? M ) .
注: M 为数集
M *表示 M 中排除 0 的集 ;
M ? 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
3
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表示法 ：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A? ?a1 , a2 , ?
Y 的子集 f (X) ? ? f (x) x? X ? 称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 .
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
10
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? 映射 projection ? 像 image ? 原像 preimage ? 定义域 D(f) (D comes from Definition) ? 值域 R(f) (R comes from Result)
开区间 ( a , b ) ? ?x a ? x ? b ?
闭区间 [ a , b ] ? ?x a ? x ? b ?
4
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半开区间
无限区间
点的 ? 邻域
a ?( ? a a ?) ?
去心 ? 邻域
其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 .
左 ? 邻域 :
右 ? 邻域 :
特例: R? R 记 R 2
为平面上的全体点集
B A? B
A 7
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二、 映射
1. 映射的概念 引例1.
某校学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
某教室座位
某班学生的集合
的集合
按一定规则入座
8
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引例 2.
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
第一章 函数与极限
1
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
2
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一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 组成集合的事物称为 元素.
不含任何元素的集合称为 空集 , 记作 ? . 元素 a 属于集合 M , 记作 a? M .
9
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合 , 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作 f : X ? Y.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y ? f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
的逆映射记成
f
f ?1
f (D)
y ? f ?1(x) , x? f (D)
例如, 映射
其逆映射为
15
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(2) 复合映射 引例.
D
手电筒 复合映射
D
D1
D2
16
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定义. 设有映射链
? x? D g ? u ? D1 f
u ? g(x)? g(D)
5
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B,若 x? A 必有 x? B, 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A? B.
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A? B .
例如 ,
,
,
显然有下列关系 :
?
6
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则当 g(D) ? D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f ? g(x), x? D.
g ( D)
注意: 构成复合映射的条件 g(D) ? D1 不可少.
以上定义也可推广到多个映射的情形 .
17
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三、函数
1. 函数的概念
定义4. 设数集 D ? R , 则称映射
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算 :
并集 A? B ? ?x 交集 A? B ? ?x
或?
且
?
A? B
B A
差集 A\ B ? ?x
且 x? B?
A\ B A? B
余集
Ac ? I \ B ( 其中I为全集或称基本集)
A IAc
直积 A? B ? ?(x, y) x? A, y? B ?
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对映射
若 f ( X) ? Y, 则称 f 为满射; 引例2, 3
X
f Y? f (X)
若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有
X
Y
则称 f 为单射; 引例2 若 f 既是满射又是单射 , 则称 f 为双射 或一一映射 .
引例2
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例1. 海伦(Heron) 公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
r
(满射)
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说明:
映射又称为算子(Operator). 在不同数学分支中
有不同的惯用名称 . 例如,
X (≠ ? ) f Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ ? ) f X
f 称为X 上的变换