江苏专转本高数 第一节 映射与函数(一)
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
高数A1第一讲映射与函数
一、映射 二、函数
一、映射
1、映射概念
例 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
某班学生的集合
按一定规则入座
某教室座位 的集合
定义
f 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
o
x
x
奇函数
奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是奇函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得 对于任一x D 有 ( x l ) D, 且 f ( x l ) f ( x ) 恒成立,
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.
复合函数
------“代入”
定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有 定义,且 g( D) D1 , 则由下式确定的函数
y f g( x ), x D
2. 逆映射与复合映射
设 f 是X到Y的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即
g : Rf X ,
1
对每个 y R f , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 1 f 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 D f R f , 值域 R f X .
1
f
注意:只有单射才存在逆映射.
x, x 0, 例6 函数 y | x | x , x 0
江苏专升本函数知识点归纳
江苏专升本函数知识点归纳江苏专升本考试是许多专科生提升学历的重要途径，其中数学是必考科目之一。
函数作为高等数学中的核心内容，其知识点的掌握对于考试至关重要。
以下是江苏专升本函数知识点的归纳：函数的定义与性质- 函数的定义：设A和B是两个非空的集合，如果存在一个确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应，那么我们就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
函数的表示方法- 列表法：适用于定义域有限的情况。
- 分段函数：适用于函数在不同区间有不同的表达式。
- 公式法：最常见的表示方法，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
- 图像法：直观展示函数的图形特征。
基本初等函数- 幂函数：形如y=x^n的函数，其中n为实数。
- 指数函数：形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
- 对数函数：形如y=log_a(x)的函数，其中a>0且a≠1。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
复合函数与反函数- 复合函数：两个函数的组合，如f(g(x))。
- 反函数：如果f(x)是一个函数，那么它的反函数f^-1(x)满足f(f^-1(x))=x。
函数的极限与连续性- 极限：函数在某一点或无穷远处的逼近值。
- 连续性：函数在某一点或某区间内无间断的特性。
导数与微分- 导数：函数在某一点处的瞬时变化率。
- 微分：函数在某一点处的线性主部。
积分学- 不定积分：求原函数的过程。
- 定积分：计算曲线与x轴所围成的面积。
级数- 无穷级数：项数无限多的数列。
- 收敛性：级数的和是否趋向于一个有限的值。
函数方程与不等式- 函数方程：涉及函数的等式。
- 不等式：函数值之间的大小关系。
结束语：掌握上述函数知识点，对于江苏专升本的考生来说，是提高数学成绩的关键。
江苏专转本高数 第一节 映射与函数(二)
18/32
反余切函数 y arc cot x
y arccot x
o
【定义1】 幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数.
机动 结束 目录 上页 下页 返回
19/32
三
初等函数
1.【初等函数】
【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数. 否则称为非初等函数.
机动 结束
目录
上页 下页
返回
22/32
2.【非初等函数举例】 ①［符号函数］ 1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0 ②［取整函数］
1
o
y x
-1
y
2 1o
当
③［狄里克雷函数］
1 2 3 4
x
y
1 1, x Q y D( x ) • x o 0, x Q C 无理数点 有理数点 ④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.
机动 结束
目录
上页 下页
返回
32/32
【思考题解答】
(1) 内层函数g(x)的图形如图示
y f [ g( x )]
x x
2
y
0.25
g(x)= x-x2
x D { x | 0 x 1}, 1 f ( D ) [0, ] 2
o
0.5
1
x
( 2) 不能． g( x ) sin x 1 0
例如 y arcsinu, u 2 x ; y arcsin( 2 x )
2
2
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
高等数学映射与函数PPT课件
y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
第33页/共52页
x0
x
D
34
映射与函数
说明
反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，x∈D， 则反函数记为 y f 1( x), x f (D).
A
B I
A B I
AB
AB
2
第2页/共52页
映射与函数
差,
} A\B={x|xA且xB
补, AC I \ A ( A I );
I
A B
B A
I
A\B
B = AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B {(x, y) x A and y B}.
3
第3页/共52页
4
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A, A B B A ; 结合律: ( A B) C A (B C ) ,
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分 钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟 计)另加1.20(元).
显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的
图形。
解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数 的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
(1)定义 设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为 从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.
江苏专转本高数考纲及重点总结
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念:函数的定义，函数的表示法，分段函数.（2）理解和掌握函数的简单性质:单调性,奇偶性，有界性,周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数,三角函数，反三角函数。
(6)了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件.（2)了解数列极限的性质：唯一性,有界性，四则运算定理,夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。
(3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→—∞）时函数的极限。
（4）掌握函数极限的定理:唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理.（5)理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.重点:会用左、右极限求解分段函数的极限，掌握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续(1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义,左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。
（2）掌握函数在一点处连续的性质:连续函数的四则运算,复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型.（3）掌握闭区间上连续函数的性质:有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理)，会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的间断点.理解闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质（如介值定理、最值定理）用于不等式的证明.二、一元函数微分学(一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
高等数学PPT课件：映射与函数
描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).
江苏省专转本高等数学第一章函数的极限与连续知识点讲解第一节函数
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
x a a a ˆ, ). 点a的去心的邻域, 记作N (a
ˆ , ) {x 0 x a }. N (a
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
五、初等函数
（一）基本初等函数及其图像
y x (是常数) 1、幂函数 y
y x
x
y x2
1
(1,1)
y
o
1 y x
1
x
x 2、指数函数 y a
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
称 f ( x )为奇函数;
y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数y f ( x )的图形.
【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。
机动 目录 上页 下页 返回
25/49
4.【几个特殊的函数举例】
(1)【常数函数】
yc
c为常数
y
yc
o
图形是一条平行于 x轴的直线
x
机动
目录
上页 下页
返回
26/49
(2)【绝对值函数】
x y x x
x0 x0
开区间 ( a , b ) x a x b
b
闭区间 [ a , b ] x a x b
o
a
x
o
a
b
机动
x
目录 上页 下页 返回
8/49
半开区间
有限区间 无限区间 无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
机动 目录 上页 下页 返回
机动 目录 上页 下页 返回
18/49
2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】设
f : X Y
是单射
定义 g : f ( X ) X 称映射 g 为映射 f 的逆映射
记作
f 1
【注】 ①只有 f 是单射才存在逆映射.
X f ( X ) 满且单，故而是双射
② 逆映射 f 1是指从值域 f ( X )到X的映射
2.集合间的关系及运算：
4/49
（1）关系 【定义2 】 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是B 的子集,或称 B 包含 A , 记作 A B .
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
若AB，且A≠B，则称 A 是 B 的真子集.记作A B ≠ 【例如】 显有关系: , ,
2
x R
非满射
15/49
f ( R) y y 0
【例2】 f : X Y 其中
Df R
R
除y 0外原像都不唯一
X ( x, y ) x 2 y 2 1
y
Y ( x,0) x 1 Df X
f (X ) Y
非单射
X
x
满射但非单射
Y
o
机动
因变量 函数 自变量 函数值
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的 函数值
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D} 称为函数的 值域
机动 目录 上页 下页 返回
23/49
2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
机动
目录
上页 下页
返回
32/49
【例1】
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域 . 2 1 x 2
1 0 x1 【解】 f ( x ) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
故 D f : [3,1]
机动
目录
上页 下页
返回
33/49
四、函数的特性
1.【函数的有界性】
(1)【定义】 若数集X D, K1 , x X , 有 f ( x ) K1
称函数 f ( x ) 在 X 上有上界 ( K1是其中的一个 上界 )
若K 2 , 使得
f ( x) K2
x
机动
目录
上页 下页
返回
30/49
(6) 【取最值函数】
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
机动
目录
上页 下页
返回
31/49
(7)【分段函数】
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
X f ( X ) R f 必是满射
机动 目录 上页 下页 返回
②对单射 f 而言，元素 y 的原像 x 必唯一. ③单射、满射前提条件首先是映射.
17/49
【说明】映射 f (算子)在不同数学分支中的惯用名称: ①泛函： X (≠ )
f
Y (数集)
例如： «实变函数与泛函分析» f ②变换： X (≠ ) X 如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等. ③函数: X (数集 或点集 ) f R , 例如： « 高等数学»中的函数。
[x]表示不超过
y 4 3 2 1 o
x 的最大整数
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
该函数是数论中一个 极为重要的函数
阶梯曲线
机动
目录
上页 下页
返回
29/49
(5) 【 狄利克雷函数】
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
对偶律（反演律或德· 摩根律）
( A B) A B
C C
C
( A B) A B
C C
C
［并之补等于补之交，交之补等于补之并］
机动 目录 上页 下页 返回
7/49
3.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
14/49
对映射 (2)【定义】
X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射; 引例2, 3
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; 引例2 ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
机动 目录 上页 下页 返回
【例1】
f :R R
f ( x) x
称 f g 为映射 g 和 f 构成的复合映射
( f g )( x ) f g( x ) Z , x X
【注意】
(1) 构成复合映射的条件 ：g ( X ) R g D f 不可少
(2) f g 与 g f 是有区别的.
机动 目录 上页 下页 返回
21/49
10/49
某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
机动
目录
上页 下页
返回
11/49
【引例2】
【引例3】
(点集) (点集) 向 y 轴投影
机动 目录 上页 下页 返回
12/49
(1)【定义4】 设X,Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 有唯一确定的 与之对应 ,则 f : X Y 称 f 为从X 到Y 的映射, 记作 则f ,使得
从 Y 到 X不一定是映射
如以上三例中，只有例3存在逆映射.
机动 目录 上页 下页 返回
19/49
⑵【复合映射】 ①【引例】
D1
D
手电筒
D2
D 复合映射
机动
目录
上页 下页
返回
②【复合映射】
20/49
设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z 且Y1 Y2
定义
f g:X Z
①映射具备三要素 a . 定义域 D f X
13/49
b. 值域 f ( X ) R f Y
c . 对应法则 f
②映射的特点 ① 任一 x X 在Y 中都有像
② x 的像 y 必须唯一 ③ y 的原像 x 不一定唯一 ④ 值域 R f Y (不一定R f Y )
机动 目录 上页 下页 返回
n i 1
②描述法： M x x 所具有的特征 【例】整数集合 Z x x N 或 x N p p Z , q N , p 与 q 互质 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
机动 目录 上页 下页 返回
1/49
第一节
映射与函数（一）
一. 基本概念 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 反函数 六. 小结 思考题
机动 目录 上页 下页 返回
一、基本概念
1. 定义及表示法
2/49
(1)【定义 1】 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 【注】M 为数集
三、函数概念
【引例】 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
n
n 3 ,4 ,5 ,
r
机动
目录
上页 下页
返回
1.【函数定义】设数集D包含于R，则称映射 f ：D→R 为定义在D上的函数，通常简记为:
定义域
22/49
y f ( x ) , x D,
⑵【邻域】
点a 的 邻域