1-1 映射与函数
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
高一数学第二单元1：映射与函数(附答案)
高一（上）数学单元同步练习及期末试题（三）（第三单元 映射与函数）[重点难点]1． 了解映射的概念及表示方法，能识别集合A 与B 之间的一种对应是不是从集合A 到集合B 的映射；了解一一映射的概念。
2． 理解函数的概念，明确确定函数的三个要素；掌握函数的三种表示方法；理解函数的定义域、函数值和值域的意义，会求某些函数的定义域、函数值和简单函数的值域。
3． 理解函数的单调性和奇偶性的概念；掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程。
4． 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系；会求一些简单函数的反函数。
一、选择题1．已知集合P={40≤≤x x }，Q={20≤≤y y }，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ）（A ）f ∶x →y=21x （B ）f ∶x →y=x 31 （C ）f ∶x →y=x 32（D ）f ∶x →y=x2.下列命题中正确的是( )(A)若M={整数},N={正奇数},则一定不能建立一个从集合M 到集合N 的映射(B)若集合A 是无限集,集合B 是有限集,则一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射 (C)若集合A={a},B={1,2},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射 (D)若集合A={1，2}，B={a},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射3．集合A={x R x x ∈≠,1}⋃{x R x x ∈≠,2},集合B=（-∞，-1）⋃（1，2）⋃（2，+∞），则A 、B 之间的关系是（ ） （A ）A=B （B ）A ⊆B （C ）A ⊇B （D ）A ⊂B 4．下列函数中图像完全相同的是（ ） （A ）y=x 与y=2x （B ）y=xx 与0x y = （C ）y=(x )2与y=x （D ）y=)1)(1(11-+=-⋅+x x y x x 与 5.f(x)是一次函数且2f(1)+3f(2)=3,2f(－1)－f(0)=-1,则f(x)等于（ ）（A ）9194+x （B ）36x －9 （C ）9194-x （D ）9-36x 6.若f(x)=21x x+，则下列等式成立的是（ ）（A ）f()()1x f x= （B ）f(x 1)=-f(x)（C ）f(x 1)=)(1x f （D ）)(1)1(x f x f -= 7.函数y=2122--+-+x x xx的定义域是（ ） （A ）-21-≤≤x （B ）-21≤≤x （C ）x>2 （D ）x 1≠ 8.函数y=122+-x x 的值域是（ ）（A ）[0，+∞] （B ）（0，+∞） （C ）（-∞，+∞） （D ）[1，+∞ ]9．下列四个命题（1）f(x)=x x -+-12有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射;(3)函数y=2x(x N ∈)的图像是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图像是抛物线，其中正确的命题个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410．已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=)0(122≠-x xx ,则f(21)等于（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）15 （D ）3011．下列函数中值域是R +的是（ ）（A ）y=132+-x x （B ）y=2x+1(x>0) （C ）y=x 2+x+1 （D ）y=112-x12.若函数y=f(x)的定义域为（0，2），则函数y=f(-2x)的定义域是（ ） （A ）（0，2） （B ）（-1，0） （C ）（-4，0） （D ）（0，4） 13．函数y=13+-+x x 的值域是（ ）(A)(0,2］ (B)[-2,0] (C)[-2,2] (D)(-2,2) 14.下列函数中在（-∞，0）上单调递减的是（ ） （A ）y ＝1-x x （B ）y=1-x 2（C ）y=x 2+x （D ）y=-x -115．设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0，+∞）上为增函数，则f(-2),f(-π)、f(3)的大小顺序是（ ）（A ）f(-π)>f(3)>f(-2) （B ）f(-π)>f(-2)>f(3) （C ）f(-π)<f(3)<f(-2) （D ）f(-π)<f(-2)<f(3)16.函数y=xx ++-1912是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶数17．函数y=4(x+3)2-4的图像可以看作由函数y=4(x-3)2+4的图象，经过下列的平移得到（ ） （A ）向右平移6，再向下平移8 （B ）向左平移6，再向下平移8 （C ）向右平移6，再向上平移8 （D ）向左平移6，再向上平移818．若函数f(x)=x 2+bx+c 对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么（ ） （A ）f(2)<f(1)<f(4) （B ）f(1)<f(2)<f(4) （C ）f(2)<f(4)<f(1) （D ）f(4)<f(2)<f(1)19.f(x)=x 5+ax 3+bx-8且f(-2)=0，则f(2)等于（ ） （A ）-16 （B ）-18 （C ）-10 （D ）10 20．命题（1）y=R x d cx b ax ∈++(且x c d -≠)与y=)(cax R x a cx b dx ≠∈-+-且互为反函数；（2）函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，若其存在反函数，则f 必是A 到C 上的一一映射；（3）偶函数一定没有反函数；（4）f(x)与f -1（x ）有相同的单调性，其中正确命题的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若一次函数f(x)的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f(x)= 。
1-1 映射与函数
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
函数的特性
1．有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K 1 对任一 x X 都成立 y 则称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的特性
1．有界性
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 （1）映射g和f 构成复合映射的条件： （2） 映射g和f 的复合是有顺序的
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： （1）映射f 是否单射？是否满射？ （2）若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
（3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
X
非空集X 非空集X 实数集X
f
X上的泛函 X上的变换
Y
数集Y 非空集X 实数集Y
X上的函数
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
构造
逆映射
函 数
逆映射
湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1
预习测评
1． 下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都 有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_． 在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元 素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对 应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯 一确定的值和它对应． 点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B， 一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否 具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个 值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
高中数学课件
《高等数学》第一节：映射与函数
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
一元函数 微分学与积分学 函数 微分方程 空间解析几何与向量代数 多元函数 微分学与积分学 下册 无穷级数
高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
高数0101映射与函数
U (a , ) { x a x a } (a , a ).
a
a
o
a
x
点a的去心邻域, 记作 U (a , ) { x 0 x a }.
a
左 邻域 :
a
a
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
分段点 连结点
三、函数的几何特性
1 函数的有界性:
设X D, 若M 0, 使得对 x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界, 否则称无界. 上界, 下界
y M y=f(x) o x 有界 X M y
求反函数的步骤
y f ( x) x f 1 ( y) y f 1 ( x).
2 反函数、复合函数
反函数 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D1 ① ②
且 g ( D) D 1
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 g ( D) D 1 不可少.
• 函数的表示方法: 公式法 表格法 图示法
单值函数与多值函数：
已知x 2 y 2 1表示xoy坐标平面上的单位圆 , 由方程x 2 y 2 1可解出 y 1 x 2
问y与x的关系怎么称呼?
按定义, 函数是单值函数， 类似地, 称此处y与x处的关系为多值函数．
单值函数与多值函数： 如果给定一个法则，当自变量在定义域内 任取一个数值时，对应的函数值不总是唯一的， 称这种法则确定了一个多值函数．
例如, 函数链 : y arcsinu , 可定义复合函数
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
1-1函数与映射
在[1，+ ]，有界；在(0, 1)无界。
2019年12月24日星期二
蚌埠学院 高等数学
18
2）单调性
设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2, 当 x1 x2时,
恒有 (1) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的 ;
蚌埠学院 高等数学
21
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x) 称 f (x)为奇函数 ;
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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4）周期性 设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
y sin x2 y u u sin v v x2
或 y u u sin x 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 如： y u 与 u sin x 不能进行复合。
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4. 函数的运算
和、差、积、商。 注：只有具备公共定义域的函数才能运算 。
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
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3）奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
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例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
y
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的 x1 x2 x
概念
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
反函数 复合函数
四则运算
函 数
构造
构造 复合映射
函数的四则运算
设函数 f , g 的定义域依次为 D1 , D2 D D1 D2 则可以定义这两个函数的下列运算： 和（差） f
g
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ), x D
y cos x
y 1
2
y ln arctan( x 2
cos a
x
ye
arctan x2 1
例7
x2 x 0 f ( x) x ( x) ln x e x 0 求 f ( ( x)) 及定义域 上述函数可以复合成 ( f ( x)) 吗
积 f g
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ), x D
f f f ( x) 商 , x D \ x | g ( x ) 0 ( x ) g g g( x)
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
映 射
反函数 复合函数
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
y
当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 )
那么称函数f (x)在区间I上是单调增加的 o 类似可定义函数f (x)在区间I上是单调减少的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 x1 x2 x
x 例：y x x0 x0
x
可表示为 y x 2 , 故为初等函数.
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称(x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
(2) 若函数f (x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一 例：f ( x )
1 在 (0, 1)内有下界，但没有上界 x 在 (1, 2)内既有下界，也有上界
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在正数M , 使得| f ( x ) | M 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有界 如果这样的 M不存在 即：
Rg D f 注 (1) 函数g 与函数f 构成复合函数 f g 的条件：
(2) 在一定条件下两个以上函数也可构成复合函数. 例： y u , u cot v , v x 2 x y cot D x|2kπ x (2k 1)π, k Z 2
例6 分析下述函数的复合过程
预备知识
逻辑符号 对任意的，对所有的，(Any) 存在一个，（Exist) 充要条件 A是B的充分条件，B是A的必要条件 A是B的充要条件 绝对值不等式
或
第一讲 映射与函数
映 射
特例
函 数
概念
映 射
函 数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x) f X x y
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f Y
它们的像
逆映射
满射、单射和双射 若f是从集合X到集合Y的映射 若
映 射
反函数 复合函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
非初等函数举例
分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示 符号函数 取整函数
1, x 0 y sgn x 0, x 0 1, x 0
y
1
1
o
y
x
注 分段函数不一定就是非初等函数！ 2 1 o 1 2 3 4
1 x Q 狄利克雷函数 f ( x ) C 0 x Q
y
1
o
x
概念
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
反函数
函 数
构造
构造 复合映射
反函数
概念 则它存在逆映射 f 1 : f ( D) D 设函数 f : D f ( D) 是单射，
称映射 f 1 为函数f 的反函数.
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立 那么称函数f (x)为奇函数
注
偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称
函数的几种特性
3．函数的奇偶性 e x e x 例： chx 2 称为双曲余弦函数
e x e x shx 2 称为双曲正弦函数
M 0, x1 X , 使 | f ( x1 ) | M
就称函数f (x)在X上无界 注 函数f (x)在X上有界 函数f (x)在X上既有上界，又有下界 例： f ( x ) sin x 在 ( , )内有界，f ( x )
o
x
1 在 (0, 1)内无界 x
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
注 (1) 有界性的概念须明确数集 X D
函数的要素
1．定义域 (1) 定义域是非空的数集 (2) 定义域的求法： 使表达式有意义的自变量的集合. 例3 求函数 f ( x ) ln( 4 x 3) arcsin( 2 x 1) 的定义域 2．对应法则
解析法 表格法 图象法 (1) 表示法：
(2) 解析式的理解：一系列的运算程序
例题 例1 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： (1) 映射f 是否单射？是否满射？ (2) 若存在逆映射，求出逆映射 1. 设
对每个
2. 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点
投影到x轴的区间 3. 设 对每个 上
例2 设有映射 映射
对每个 对每个
求复合映射
概念
概念
Y
原像
定义域
像 值域
注 定义域、值域的范围、对应法则； （1） 映射的三要素：
（2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
X
非空集X 非空集X
f
X上的泛函 X上的变换
Y
数集Y 非空集X 实数集Y
实数集X
X上的函数
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
的定义域 值域
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
函 数
构造 复合映射
复合映射
定义 设有两个映射 其中 则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 映成 这个对应法则确定了一个从X到Z的
映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作
即：
Y1
注 (1) 映射g和f 构成复合映射的条件： (2) 映射g和f 的复合是有顺序的