多元连续函数的性质

毕业论文

题目：多元连续函数的性质

学院：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学

毕业年限：2012.6

学生姓名：马骥

学号：200871010428

指导教师：张春霞

多元连续函数的性质

马骥

（西北师范大学 数学与信息科学学院,甘肃 兰州 730070）

内容摘要:本文通过将一元连续函数在闭区间上的性质和二元连续函数在有界闭区域上的性质推广到

多元连续函数的性质. 我们一般可把区域分为有界区域和无界区域．本文分别探讨了多元连续函数在有界区域和无界区域上的性质，并得出一系列的结论．对于有界区域D ，对任意0P D ∈，

任意{}n P D ⊂，0n P P →时，lim ()n n f P →∞

存在，则函数f 在D 上有界，取得最大、最小值，一致连续．对于无界区域D ，

如果存在0r >,对任意P D ∈，P r >时，有()f P M ≤，则f 在D 上有界；若lim ()P f P →∞

=+∞，

则取得最小值；若lim ()P f P →∞

=-∞，则取得最大值．本文分别运用了区域的道路连通性和有界闭区域

完全覆盖原理两种方法证明了零点存在性定理，然后用零点存在性定理证明多元连续函数的介值性． 关键词:有界区域；无界区域；有界性；最值性；介值性；一致连续性

Properties of the Multivariate Continuous Function

Abstract ：This paper popularize the properties of the continuous function of one variable or two variables on

closed interval with bound to the multivariate continuous function. Generally, the domain can be divided into two kinds: the bounded domain and the unbounded domain. This paper discusses the properties of the multivariate continuous function on the bounded domain or the unbounded domain and draws a series of conclusions. On bounded domain D , for any 0P D

∈, any

{}n P D ⊂,

if lim ()n n f P →∞

exists

while 0n P P →,then function f is bounded and uniformly continuous , and exist maximum and minimum value . On unbounded domain D , there is 0r > and for any P D ∈, P r > ,if ()f P M ≤,then the function f is bounded; if lim ()P f P →∞

=+∞, then the function f can get the minimum value; if

lim ()P f P →∞

=-∞, the function f will get the maximum value. This paper applies road connectivity and

complete coverage theorem on closed domain with bound respectively to proof of zero point theorem, then applies zero point theorem to proof of intermediate value theorem of the multivariate continuous function.

Keywords ：Bounded domain ；unbounded domain ；boundedness ；maximum and minimum value ；

intermediate-value property ；uniformly continuous

一 引言

连续函数的性质在函数的研究中具有很重要的意义和广泛的应用价值.在文献[1]中，利用闭区间上一元连续函数的性质推广到有界闭区域2D R ⊂上二元连续函数的性质，在文献[2]中研究了在有界闭区域n D R ⊂上连续函数:m

f D R →的性质.在文献[3] [4] [5]中，也探讨了从闭区间到一般区间附加一定条件下连续函数的有界性、取得最大值和最小值性、介值性以及一致连续性问题.但在实际运用过程中，我们经常接触到的不仅仅是区间，还有区域，因此，本文研究了在区域n D R ⊂上连续函数

:f D R →的性质，并得出一系列的结论，为连续函数的性质在实际中更广泛地应用提供了一定的理

论依据.

一般地，我们可以把9种形式的区间分为三类：①闭区间[],a b ；②开区间(),a b ，(),a +∞，

(),b -∞，(),-∞+∞；③半开半闭区间[),a b ，(],a b ，[),a +∞，(],b -∞.同样地，我们也可以把区域分为：①

有界闭区域；②有界开区域；③无界区域.例如，{}(,)|,S x y a x b c y d =≤≤≤≤为有界闭区域，

{}222(,)|5C x y x y =+<为有界开区域，{}(,)|,D x y x y =-∞<<-∞+∞<<+∞为无界区域.由于

在有界闭区域上连续函数的性质，在诸多数学分析教材中已有研究，因此，本文主要研究在有界区域和无界区域上多元连续函数的性质.

二 预备知识

文中用D 表示D 的闭包，0

D 表示D 的内部，D ∂表示D 的边界，d

D D （）表示的直径，P 表示点P 到原点的距离, 1D D -表示集合1D 在集合D 中的余集.

定义1[1] 设D 是开集，如果对于D 内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于

D ，则称D 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界一起，称为闭区域.

定义2[2] 设n D R ⊂，若对任意x y D ∈，，存在()[]()0,1,n t C R α∈，使得对任意[]0,1t ∈有

()t D α∈且()0x α=，()1y α=，则称D 是道路连通的，其中()t α叫做D 中的一条道路，()0α和()1α分别称为该道路的起点和终点.

定义3 设D 是一个区域.如果对于任何两点x ，y ，存在着D 中的一条从x 到y 的道路，我们

则称D 是一个道路连通区域.