连续函数的性质1
第十一章第三节连续函数的性质
４、连通集的定义
设Ｓ为Ｒn中点集，如果连续函数r:[0,1] →Rn的值域全部 落在Ｓ中，称r为Ｓ中的一条道路，r(0)和r(1)称为道路的起 点和终点。
如果Ｓ中任意两点x,y都存在Ｓ中满足r(0)=x,r(1)=y的道路， 称S是道路连通的或者称为连通集。
连通的开集称为开区域，开区域和它的边界一起构成闭区 域。
n
若函数f 在紧集
合 K R 上 连 续 ， 则 f 在 K上 一 致 连 续. 即 （ 对 任 何 0， 总 存 在 只 依 赖 于 的 正 数 ， 使 得 对 一 切 点 P、 Q， 只 要 P， Q） ， 就 有 （ |f(P )-f(Q )| .)
证明：
５、连通集上的连续函数的性质
定理4 设 K为 连 通 的 紧 集 ,函 数 f 在 K R 上 连
n
续 ， 那 么 f(K)是 连 通 集 .
推论：连续函数将连通的紧集映成闭区间。
定 理 5(中 间 值 定 理 ）
n
设 K为 连 通 的 紧 集 ,
函 数 f 在 K R 上 连 续 ， 那 么 f(x)可 取 到 它 在 K 上 的 最 小 值 与 最 大 值 之 间 的 一 切 值 ,换 言 之 f(x)的 值 域 是 [m,M].
第十一章: Euclid空间的极限和连续
第三节：连续函数的性质
１、连续函数概念推广：
定义：
设 K R , f : K R 为 定 义 在 点 集 K上 的 向 量
m n
值 函 数 ,x 0 K , 对 于 任 给 的 正 数 ， 总 存 在 相 应 的 正 数 ， 只 要 x U x 0； ） K ， 就 有 （ | f ( x ) f ( x 0 ) | 则 称 f 点 x 0 连 续 .若 f 在 K上 任 何 点 都 连 续 ， 则 称 f 为 K上 的 连 续 函 数 .如 K是 紧 集 ,称 f是 紧 集 上的连续函数.
连续函数的定义和性质
连续函数的定义和性质连续函数是数学中一个重要的概念，它在实际问题的建模和解决中起着关键的作用。
本文将讨论连续函数的定义和性质，以帮助读者更加深入地理解和应用连续函数。
一、连续函数的定义连续函数的定义是基于极限的概念的。
设函数$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在点$x=a$连续。
二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算性质如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$在点$x=a$连续，则它们的和、差、积、商函数也在点$x=a$连续。
2. 连续函数的复合性质设函数$y=f(x)$在点$x=a$连续，函数$y=g(u)$在点$u=f(a)$连续，则复合函数$y=g[f(x)]$在点$x=a$连续。
3. 连续函数的介值性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个根。
4. 连续函数的最大值和最小值定理设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该闭区间上必有最大值和最小值。
5. 连续函数在有界闭区间上的均匀连续性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，当$|x-y|<\delta$时，有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$成立。
三、连续函数与间断点函数可分为连续函数和间断函数两类。
连续函数在定义域内无间断点，而间断函数则存在间断点。
1. 第一类间断点函数$f(x)$在$x=a$处有第一类间断点，当且仅当存在左右极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$和$\lim_{x \to a^+} f(x)$，且两者不相等。
连续函数的性质
99定理 1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
设：sup ()[]{}|,f x x a b M ∈=用反证法：假使[],x a b ∀∈有()f x <M,显然，()0M f x -> ([],x a b ∀∈)，且()M f x -在[],a b 连续，于是函数()1M f x -在[],a b 连续，根据定理3，函数()1M f x -在[],a b 有界，即：0c ∃>，[],x a b ∀∈⇒()1c M f x <-，或，()1f x M c<-由上确界的定义知：M 不是数集()[]{}|,f x x a b ∈的上确界，矛盾，于是[]2,x a b ∃∈，使()2f x M =。
定理3.(零点定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且)()(b f a f <0(即)(a f 与)(b f 异号)，则在开区间（a,b ）内至少存在一点c ,使)(c f =0证明：不妨设)(a f <0，)(b f >0.用反证法，假设∈∀x [a,b]，有)(x f ≠0，将闭区间],[b a 二等分，分点为2b a +.已知)2(b a f +≠0，如果)2(ba f +>0,则函数)(x f 在闭区间]2,[b a a +的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(ba f +<0,则函数)(x f 在闭区间[2ba +,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,[b a a +与[2ba +,b]必有一个使函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,b a ]，有)()(11b f a f <0，再将[11,b a ]二等分，必有一个闭区间，函数)(x f 在其两个端点的函数值的100符号相反.将此闭区间表为[22,b a ]，有)()(22b f a f <0，用二分法无限进行下去，得到闭区间{[n n b a ,]}（b b a a ==00,），且1）[a,b]⊃ [11,b a ]⊃…⊃[n n b a ,]⊃……; 2))(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =c （1）而c ∈[a,b]，且)(c f ≠0，设)(c f >0.一方面，已知函数)(x f 在c 连续，根据连续函数的保号性，δ∃>0,x ∀:|c x -|<δ,即x ∀),(δδ+-∈c c ，有)(x f >0;另一方面，由（1）式，当n 充分大时，有[n n b a ,]⊂),(δδ+-c c ，已知)()(n n b f a f <0，即函数)(x f 在),(δδ+-c c 中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(c f ≯0.同法可证)(c f ≮0.所以闭区间[n n b a ,]内至少存在一点c ,使)(c f =0.二、 一致连续性 已知：()f x =1x在()0,1连续，即：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,(限定00||||2x x x -<⇒0||||2x x > 011||x x -=00||||||x x x x -≤0202||||x x x -<ε 0||x x -<20||*2x ε，取200||||min *,22x x δε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭于是：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,∃0x δ=20||*2x ε。
连续函数的性质
又如, 又如
学
在 上也连续单调递增. 上也连续单调递增
上连续 在
y
y = ex
y = ln x
递增, 单调 递增 其反函数
1
O
1
x
哈 尔 滨 工 程 大 学 高 等 数 学
点连续, 定理 2 若函数 y = f (u)在 u0 点连续, u = ϕ ( x ) 在 x0 点 连续, 点连续, 连续,且 u0 = ϕ ( x0 ) ,则 y = f (ϕ ( x )) 在 x0 点连续, 从而 lim f (ϕ ( x )) = f (ϕ ( x0 )) .
( 利用极限的四则运算法则证明，证明略 利用极限的四则运算法则证明，证明略) 例如, 例如 sin x , cos x 在 ( −∞ , + ∞ ) 内连续 , 故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续 .
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 定理 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增
学
根据连续函数运算法则 , 可知 连续 .
也在
上
二、初等函数的连续性
哈 尔 滨 工 程 大 学
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 例如, 例如,
一切初等函数 在定义区间内 连续
y = 1− x2 的连续区间为
(端点为单侧连续 端点为单侧连续) 端点为单侧连续
y = lnsin x 的连续区间为
学
而y=
cos x −1 的定义域为
因此它无连续点
例2. 求
哈 尔 滨 工 程 大 学
解: 原式 例3. 求 解: 令 t = a −1, 则 x = loga (1+ t), t 原式 = lim t →0 loga ( + t) 1
函数的连续性
函数的连续性一、连续函数的性质定义1. 设函数()x f 在0x 的某邻域内有定义，若()0)(lim 0x f x f x x =→，则称函数()x f 在0x 点连续。
例如： 函数()12+=x x f 在点2=x 连续，因为()()2512lim )(lim 22f x x f x x ==+=→→又如：函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,1sin x x xx x f 在0=x 处连续。
因为 ()001sinlim )(lim 0f xx x f x x ===→→ 若记 0x x x -=∆,()()0x f x f y -=∆ 则()0)(lim 0x f x f x x =→可等价的叙述为：0lim 0=∆→∆y x ，于是函数()x f 在0x 点连续的定义又可以叙述为：设函数()x f 在0x 的某邻域内有定义，若0lim 0=∆→∆y x ，则称()x f 在0x 点连续。
二、闭区间上连续函数的性质定理1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值定理2 （零点定理） 设函数()x f 在闭区间[]b a ，上连续，且()a f 与()b f 异号（即()()0<⋅b f a f ）,那么在开区间()b a ，内至少有函数()x f 的一个零点，即至少有一点()b a <<ξξ使()0=ξf 。
定理3（介值定理） 设函数()x f 在闭区间[]b a ，上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()A a f =及()B b f =，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ， 在开区间()b a ，内至少有一点ξ，使得()()b a Cf <<=ξξ。
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值【例1】讨论下列函数在给定点处的连续性（1）24)(2--=x x x f ，点2=x ； （2）⎩⎨⎧≤<-≤<-=31,210,1)(x x x x x f ，点1=x ；（3）设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>+)0( )11()0( )0( 12x x xbx a x x ，在x =0处连续，求a ，b 的值.解（1）因为)(x f 在点2=x 处无定义，所以)(x f 在点2=x 处不连续（2）因为当10≤<x 时，1)(-=x x f ，所以1111lim ()lim (1)0x x f x x --→→=-=又31≤<x 时，x x f -=2)(，所以11lim ()lim(2)x x f x x ++→→=-= 所以11()lim ()lim ()x x f x f x f x -+→→≠，故1lim ()x f x →不存在，故)(x f 在点1=x 处不连续（3）解：-→0lim x f (x )=x b x -→0lim ·(x +1－1))11()11)(11(lim 0++++-+=-→x x x x b x211lim )11()11(lim 0bx b x x x b x x =++=++-+=--→→ +→0lim x f (x )=+→0lim x (2x +1)=2·0+1=1 ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2112b a a a b【变式】讨论下列函数⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=1,21,11)(2x x x x x f ，在点1-=x 处的连续性解：因为111(1)(1)lim ()lim lim (1)21x x x x x f x x x ---→-→-→--+==-=-+111(1)(1)lim ()lim lim (1)21x x x x x f x x x +++→-→-→--+==-=-+ 所1lim ()2(1)x f x f →-=-=-，故)(x f 在点1-=x 处连续点评：①连续性定义是判断函数在给定点处是否连续的依据，也可以先作函数的图象，再从图象直观上作出判断，从直观上看，一个函数在—处连续是指这个函数的图象在—处没有中断②在研究分段函数在分段点—处的连续性时，先求在—处的左右极限，再检验其在—处的极限是否存在；若存在，则进一步验证在分段点处的极限值是否与分段点处的函数值相等换言之，判断分段函数—在其分段点—处连续的基本依据是：000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -+→→==【例2】讨论函数f （x ）= ∞→n limnn xx 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n nxx ·x =－x ;当x =1时，f （x ）=0∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1，-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1, ∴1lim →x f （x ）不存在∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续。
函数的连续性
x
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D {x | x 2k , k Z}
函数的连续性
一、函数的连续性 二、连续性原理 三、函数的间断点 四、闭区间上连续函数的性质
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
3.第二类间断点
如果 f ( x) 在点 x0 处的左、右极限至 少有一个不存在, 则称点 x0 为函数 f ( x)的 第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0为函数的第二类间断点.
上连续，且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
求 lim
连续函数的性质
x
n
在[ 0
, )
上亦为连续且
y x 在 R内 续 取 连 ，
2
x x 0 1, x x 0 1
x0
( 2 x 0 1), 0 , 取 min(
2
2 x0 1
,1)，
得 当
x x0 , 有 x
x0
2
.
指 函 的 续 数 数 连 性
且严格增. 关于其它的反三角函数
sin( x tanx
2
) cos x 复 函 连 性 合 数 续 , cot x . cos x sin x , sec x
R上 续 . 连 1 cosx , csc x 1 sin x
sinx cosx
在 义 内 续 定 域 连
由 函 的 续 知 反 数 连 性 所 域 连 内 续 .
到, 具体过程请读者自行给出.
我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P ( x ) a 0 a1 x a n x
n
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q(x) a 0 a1 x a n x b 0 b1 x b m x
x 0的 离 于 距小
.
y 1 f ( x1 ) , y 2 f ( x 2 ) ,
令
min{ y 2 y 0 , y 0 y 1 } 0 ,
x f
1
1
当 y U ( y0 ; ) 时 对 ， 应
( y )的 都 在 值 落
x1与 x 2 之 ， 间
§2 连续函数的性质 一 连续函数的局部性质 - 山东师范.
即方程 f (x) 0 在 (a,b) 内至少有一个根.
若 Aa, f a 与 Bb, f b 分别在 x 轴的两侧, 则连接 A, B
的连续曲线 y f x 与x 轴至少有一个交点.
这个推论的几何解释如图4—3所示：
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下面举例说明介值性定理的应用
若函数连续使得对一切连续若函数定理42局部有界性定理43局部保号性在具体应用局部保号性时常取使在其内有定理44四则运算上的连续性在其定义域的每一点都是连续的
§2 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质 二、闭区间上连续函数的基本性质 三 、反函数的连续性 四、一致连续性——数学分析的一个难点
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§2 连续函数的性质
（1）
又由 u0 f (x0)及 u f (x)在点 x0 连续, 故对上述 1 0, 存在
0 使得当 x x0 时，有| u u0 || f (x) f (x0) | 1 .
联系(1)得: 对任给的 0, 存在 0 , 当 | x x0 | 时有
g( f (x)) g( f (x0)) .
这就证明了 g f 在点 x0连续.
注1 根据连续性的定义, 上述定理的结论可表为
lim
x x0
g(
f
( x))
g( lim x x0
f
( x))
g(
f
( x0 )).
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二、闭区间上连续函数的基本性质
数学分析课程中主要的研究对象是连续函数,很自然地, 闭区 间上的连续函数的整体性质在微积分理论中具有相当的重要性.
右连续与左连续, 所以 f 1 在 f a, f b 上连续.
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§2连续函数的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性.2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性.3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题.4.理解函数一致连续性的概念.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 闭区间上连续函数的性质.难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念.Ⅲ. 讲授内容一 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态．定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界．定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）.注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r =则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()021x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,⋅±(这里()00≠x g )也都在点0x 连续．以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()()x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点都连续．关于复合函数的连续性，有如下定理：定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续．证 由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在01>δ，使得当10δ<-u u 时有()()ε<-0u g u g ． ()1又由()00x f u =及()x f u =在点0x 连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()100δ<-=-x f x f u u ．联系(1)得：对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-0x x 时,有()()()()ε<-0x f g x f g ． 所以 f g 在点0x 连续．注 根据连续性的定义，上述定理的结论可表为()()()()0))(lim (lim 00x f g x f g x f g x x x x ==→→． ()2 例1 求()211sin lim x x -→．解 ()21sin x -可看作函数()u u g sin =与()21xx f -=的复合．由(2)式得 ()()()00sin 1lim sin 1sin lim 2121==-=-→→x x x x ． 注 若复合函数f g 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而()0x f a ≠或f 在0x 无定义(即0x 为f 的可去间断点)，又外函数g 在a u =连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有 ))(lim ())((lim 00x f g x f g x x x x →→= ()3 还可证明：()3式不仅对于0x x →这种类型的极限成立，而且对于→x ∞+，-∞→x 或±→0x x 等类型的极限也是成立的．例2 求极限： ()x x x sin 2lim 10-→；()xx x sin 2lim 2-∞→. 解 ()112s i n lim 2sin 2lim 100=-=-=-→→xx x x x x ； ()202s i n lim 2sin 2lim 2=-=-=-∞→∞→xx x x x x . 二 闭区间上连续函数的基本性质设f 为闭区间[]b a ,上的连续函数，本段中我们讨论f 在[]b a ,上的整体性质.定义1 设f 为定义在数集D 上的函数．若存在D x ∈0，使得对一切D x ∈有()()()()()x f x f x f x f ≤≥00，则称f 在D 上有最大(最小)值，并称()0x f 为f 在D 上的最大(最小)值．例如，x sin 在[]π,0上有最大值1，最小值0．但一般而言，函数f 在其定义域D 上不一定有最大值或最小值(即使f 在D 上有界)．如()x x f =在()1,0上既无最大值也无最小值．又如()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈=，与，10,21,0,1x x x x g ()4它在闭区间[]1,0上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件．定理4．6 (最大、最小值定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值．推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．由()4式给出的函数g 在闭区间[]1,0上无界，什么对函数g 上述推论的结论不成立． 定理4．7 (介值性定理) 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()≠a f ()b f ．若μ为介于()a f 与()b f 之间的任何实数()()b f a f <<μ(或()μ>a f ()b f >)，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得().0μ=x f这个定理表明，若f 在[]b a ,上连续，又不妨设()()b f a f <，则f 在[]b a ,上必能取得区间()()[]b f a f ,中的一切值，即有()()[][]()b a f b f a f ,,⊂，其几何意义如图4—2所示． 推论(根的存在定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号(即()()0<b f a f )，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得()00=x f ，即方程()0=x f 在()b a ,内至少有一个根．这个推论的几何解释如图4—3所示：若点()()a f a A ,与()()b f b B ,分别在x 轴的两侧，则连接A 、B 的连续曲线()x f y =与x 轴至少有一个交点．应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若f 在区间I 上连续且不是常量函数，则值域()I f 也是一个区间；特别，若I 为闭区间[]b a ,，f 在[]b a ,上的最大值为M ，最小值为m ，则[]()[]M m b a f ,,=；又若f 为,[a ]b 上的增(减)连续函数且不为常数，则[]()()()[]()()[]()b f a f b f a f b a f ,,,=.下面举例说明介值性定理的应用．例3 证明：若0>r ，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得00(x r x n =称为r 的n 次正根(即算术根)，记作n r x =0)．证 先证存在性．由于当+∞→x 时有+∞→n x ，故必存在正数a ，使得n a r >．因()n x x f =在[]a ,0上连续，并有()()a f r f <<0，故由介值性定理，至少存在一点()a x ,00∈，使得()r x x f n ==00． 再证唯一性．设正数1x 使得r x n =1，则有()()011120101010=+++-=----n n n n n x x x x x x x x ， 由于第二个括号内的数为正，所以只能010=-x x ，即01x x =.例4 设f 在[]b a ,上连续，满足[]()[]b a b a f ,,⊂． ()5证明：存在[]b a x ,0∈，使得()00x x f =. ()6证 条件()5意味着：对任何[]b a x ,∈有()b x f a ≤≤，特别有()a f a ≤ 以及 ()b b f ≥．若()a f a =或()b b f =，则取a x =0或b ，从而()6式成立．现设()a f a <与()b b f <．令()()x x f x F -=，则()(),0>-=a a f a F ，()()0<-=b b f b F ．故由根的存在性定理，存在∈0x ()b a ,，使得()00=x F ，即().00x x f =从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数(如在本例中令()()x x f x F -=)，可收到事半功倍的效果．三 反函数的连续性定理4.8 若函数f 在[]b a ,上严格单调并连续，则反函数1-f 在其定义域()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,上连续．证 不妨设f 在[]b a ,上严格增．此时f 的值域即反函数1-f 的定义域为()a f [，()]b f ．任取()()()b f a f y ,0∈，设=0x ()01y f -，则()b a x ,0∈．于是对任给的>ε0，可在()b a ,内0x 的两侧各取异于0x 的点()20121,x x x x x <<，使它们与0x 的距离小于ε(图4—4)．设与21,x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，由f 的严格增性知201y y y <<令()1002,m in y y y y --=δ，则当()δ;0y U y ∈时，对应的()y f x 1-=的值都落在1x 与2x 之间，故有()()ε<-=---0011x x y f y f ，所以1-f在点0y 连续，从而1-f 在()()()b f a f ,内连续． 类似地可证1-f 在其定义区间的端点()a f 与()b f 分别为右连续与左连续．所以1-f 在()()[]b f a f ,上连续．- 例5 由于x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上严格单调且连续，故其反函数=y x arcsin 在区间[]1,1上连续．同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续．如x y arccos =在[]1,1-上连续，x y arctan =在()+∞∞-,上连续等．例6 由于n x y =(n 为正整数)在),0[+∞上严格单调且连续，故n x y 1=在),0[+∞上连续．又若把n xy 1-=(n 为正整数)看作由n u y 1=与x u 1=复合而成的函数，则由复合函数的连续性，n x y 1-=在()+∞,0上连续．综上可知，若g 为非零整数，则q x y 1=是其定义区间上的连续函数．例7 证明：有理幂函数αx y =在其定义区间上连续． 证 设有理数qp =α，这里()0,≠q p 为整数.因为q u y 1=与p x u =均在其定义区间上连续，所以复合函数 ()αx xy q p ==1也是其定义区间上的连续函数．四 一致连续性 函数f 在区间上连续，是指f 在该区间上每一点都连续．本段中讨论的一致连续性概念反映了函数在区间上更强的连续性．定义2 设f 为定义在区间I 上的函数．若对任给的0>ε，存在()>=εδδ0，使得对任何x 'I x ∈''，只要：δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ，则称函数f 在区间I 上一致连续．直观地说，f 在I 上一致连续意味着：不论两点x '与x ''在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使()()ε<''-'x f x f ．例8 证明()()0≠+=a b ax x f 在()+∞∞-,上一致连续．证 任给0>ε，由于()()x x a x f x f ''-'=''-'，故可选取a εδ=，则对任何(),,,+∞∞-∈'''x x 只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ．所以 ()b ax x f +=在()+∞∞-,上一致连续．例9 证明函数xy 1=在()1,0内不一致连续(尽管它在()1,0内每一点都连续)．§4.2连续函数的性质证 按一致连续性的定义，为证函数f 在某区间I 上不一致连续，只须证明：存在某00>ε，对任何正数δ(不论δ多么小)，总存在两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .对于函数x y 1=，可取10=ε，对无论多么小的正数⎪⎭⎫ ⎝⎛<21δ，只要取δ='x 与2δ=''x （图4-5），则虽有 δδ<=''-'2x x ，但1111>=''-'δx x ， 所以xy 1=在()1,0内不一致连续． 函数在区间上连续与一致连续这两个概念有着重要的差别.f 在区间I 上连续，是指任给0>ε，对每一点I x ∈，都存在相应的正数()x ,εδδ=，只要I x ∈'且δ<'-x x ，就有()()ε<'-x f x f ．一般来说，对于I 上不同的点，相应的正数δ是不同的．换句话说，δ的取值除依赖于ε之外，还与点x 有关，由此我们写()x ,εδδ=以表示δ与ε和x 的依赖关系．如果能做到δ只与ε有关，而与x 无关，或者说存在适合于I 上所有点x 的公共的δ，即()εδδ=，那么函数就不仅在I 上连续，而且是一致连续了．所以，f 在区间I 上一致连续是f 的又一个整体性质，由它可推出f 在I 上每一点都连续的这一局部性质(只要在定义2中把x '看作定点，把x ''看作动点，即得f 在点x '连续)．而从例9可见，由f 在区间I 上每一点都连续，并不能推出f 在I 上一致连续．然而，对于定义在闭区间上的函数来说，由它在每一点都连续却可推出在区间上的一致连续性，即有如下重要定理：定理4．9 (一致连续性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在,[a b ]上一致连续．例10 设区间1I 的右端点为1I c ∈，区间2I 的左端点也为212,(I I I c ∈可分别为有限或无限区间)．试按一致连续性的定义证明：若f 分别在1I 和2I 上一致连续，则f 在21I I I =上也一致连续．x'§4.2连续函数的性质证 任给0>ε，由f 在1I 和2I 上的一致连续性，分别存在正数1δ和2δ，使得对任何,,2I x x ∈'''，只要1δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ； ()7又对任何2,I x x ∈'''，只要2δ<''-'x x ，也有(7)式成立．点c x =作为1I 的右端点，f 在点c 为左连续，作为2I 的左端点，f 在点c 为右连续，所以f 在点c 连续．故对上述0>ε，存在03>δ，当3δ<-c x 时有()()2ε<-c f x f ． ()8令()321,,min δδδδ=，对任何I x x ∈''',，δ<''-'x x ，分别讨论以下两种情形：(i)x x ''',同时属于1I 或 2I ，则()7式成立；（ii ）x x ''',分属1I 与2I ，设21,I x I x ∈''∈'则3δδ≤<'-''<'-=-'x x x c c x ，故由()8式得()()2ε<-'c f x f .同理得()()2ε<-''c f x f 从而也有()7式成立．这就证明了f 在I 上一致连续．Ⅳ 小结与提问:本节要求理解函数一致连续性的概念,掌握续函数的局部性质、闭区间上连续函数的性质，并利用其讨论相关命题. 掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续.Ⅴ 课外作业: 80P 2、3、4、6、7、8、9、10、12、14、18、19、20.。