四川省开江县任市中学高中必修一数学课件：1.3函数的基本性质1 精品
思考：讨论函数 f(x) x 2 2ax 3
在(-2,2)内的单调性.
f (x1) f (x2 )＜0
则 在区间上是增函f (数x)
（2）当 时，x1＜x2
f (x1) f (x2 )＞0
则 在区间上是减函f (数x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数．
2、 证明函数f(x)=x3 在(-∞，+∞)上是增函数.
函数的基本性质---单调性
课前复习
1 函数的概念
复
习
2 函数的表示方法
3 常见的函数图象：正比例函数、反 比例函数、一次函数、二次函数
复习：几个常见函数的图像
y
y x 1
1
1
O
x
y
O
1
y x2 2x
2
x
y
y 2x 2 2
o1
x
y
y 1
x
O
x
「自我感悟」
1. 分析下图中函数图象的变化规律，并将 相同规律的图象部分绘制出来
(2)图①和图②分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，
则函数 y＝f(x)的单调增区间为_[_1_,4_)_和__[_4_,6_]__；函数 y ＝g(x)的单调减区间为___0_，__32_π_ ____．
(3)画出函数 f(x)＝|x|(1－x)的图象，并说明函数的单 调区间．
－x2＋x，x≥0
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O
x1
x
2. 初中教材如何描述上述的相同规律？ 高中教材又是如何描述的？
上升
y y x 1
o
x
y 下降
y x 1
o
x
y
先下降后上升
y x2
o
x
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或
下降趋势吗？
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升； 当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
练习1：证明函数 y x 2 在区间 [2, ) 是增函数。
证明：任取 x1, x2 [2，, 且) ，x1 x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O x1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O x1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O
x1
x
函数 y x 2 中自变
「知识辨析」
辨析1：能否只取两个点（a，f (a) ）、
（b，f (b) ），若a < b ，则f (a)< f (b) ，就可
肯定函数 y = f (x) 为单调递增函数？反之呢？
辨析2：我们知道函数 y =
1 在区间
x
（－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，
∩
能否写成在区间（－∞，0） （ 0 ，+ ∞ ）
1
2
1
2
=3 x +2-3 x -2
1
2
=3( x - x ) 12
∵x <x
1
2
∴ x - x <0 12
∴ f (x )- f (x )=3( x - x )<0
1
2
12
∴函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增ห้องสมุดไป่ตู้数
下一课
回顾
定义:一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1, x2，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 )( f ( x1 ) f ( x2 )), 那么就说函数f ( x)在区间D上是增函数(减函数).
y
y f(x)
f (x1 ) f (x2 ) 一般地，设函数f(x)的定义域为I:
O
x1
x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值x1，x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数．
y
y f(x)
f (x1) f(x2)
(3)f(x)＝|x|(1－x)＝x2－x，x<0
.
作出函数的图象，如图所示．
由图可知：函数 f(x)的单调增区间为 0，21；单调减区间为(－∞，0)和 12，＋∞.
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明：设 x ， x 是 R 上任意两个实数，且 x < x
1
2
1
2
则 f (x )- f (x )=(3 x +2)-(3 x +2)
练习1（3）、求函数y=|x2-2x-3|的单调区间。
例3.物理学中的玻意耳定律
p
k V
(k为正常数)告诉我们,对于
一定量的气体,当其体积减小时,压强 p将增大,试用函数的单调性证明之。
证明：设V1,V2 是在 0, 上任取的两个实数,且V1 V2 取值
kk 则 p(V1) p(V2 ) V1 V2
上是减函数？
反比例函数
例题展示
例1、(1) 下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图 象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单 调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
Y
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
X
解：单调递增区间：[-2,1],[3,5] 单调递减区间：[-5,-2),(-3,3)
作差
k V2 V1 V1V2
变形
V1,V2 0, ，且V1 V2 V2 V1 0,V1V2 0
定号
又 k 0 ,于是 p(V1) p(V2 ) 0, p(V1) p(V2 )
结论
所以函数 p k ,V 0, 在区间 0, 上是减函数.
V
证明函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
则 f (x1) f (x2 ) x1 2 x2 2
(
x1 2
x2 2)(
x1 2
x2 2)
x1 x2
.
x1 2 x2 2
x1 2 x2 2
因为 x1 x2 0, x1 2 ， x2 2 0
得 f ( x1) f ( x2 )
所以函数 f (x) 在x上 2 是[增2,函数)．
O
x1 x2
如果对于定义域I内某个区间D上的任
意两个自变量的值x1，x2 ，当x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 )，那么就说函数 f (x) x 在区间D上是减函数．
如果函数 f (x) 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f (x)
在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 f (x) 的单调区间．
2：证明函数 y
x
1 x
在（1，+∞）上为增函数．
练习1
规律总结
用定义证明函数单调性的步骤：
1.取值
在指定的区间上任意取 两个数
x1 , x2 且x1 x2
2.作差变形 f (x1) f (x2)＝
3.定号
确定 f (x1) f (x2 )＞0 还是 ＜０
4.判断
（1）当 x1＜x时2 ，
x1 O
y x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
x1 O
y x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
x
O
1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
Ox1
y
y
y
2 x
-1 0 (1) y
x 0
(4)
0
x
x=-2 (2)
y
-1 0 1 x
(5)
x 0
(3) y
2 -2
01
(6)
x
引导
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
y x2
x1 O
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
在(-2,2)内的单调性.
f (x1) f (x2 )＜0
则 在区间上是增函f (数x)
（2）当 时，x1＜x2
f (x1) f (x2 )＞0
则 在区间上是减函f (数x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数．
2、 证明函数f(x)=x3 在(-∞，+∞)上是增函数.
函数的基本性质---单调性
课前复习
1 函数的概念
复
习
2 函数的表示方法
3 常见的函数图象：正比例函数、反 比例函数、一次函数、二次函数
复习：几个常见函数的图像
y
y x 1
1
1
O
x
y
O
1
y x2 2x
2
x
y
y 2x 2 2
o1
x
y
y 1
x
O
x
「自我感悟」
1. 分析下图中函数图象的变化规律，并将 相同规律的图象部分绘制出来
(2)图①和图②分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，
则函数 y＝f(x)的单调增区间为_[_1_,4_)_和__[_4_,6_]__；函数 y ＝g(x)的单调减区间为___0_，__32_π_ ____．
(3)画出函数 f(x)＝|x|(1－x)的图象，并说明函数的单 调区间．
－x2＋x，x≥0
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O
x1
x
2. 初中教材如何描述上述的相同规律？ 高中教材又是如何描述的？
上升
y y x 1
o
x
y 下降
y x 1
o
x
y
先下降后上升
y x2
o
x
能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或
下降趋势吗？
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升； 当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性）．
练习1：证明函数 y x 2 在区间 [2, ) 是增函数。
证明：任取 x1, x2 [2，, 且) ，x1 x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O x1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O x1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
O
x1
x
函数 y x 2 中自变
「知识辨析」
辨析1：能否只取两个点（a，f (a) ）、
（b，f (b) ），若a < b ，则f (a)< f (b) ，就可
肯定函数 y = f (x) 为单调递增函数？反之呢？
辨析2：我们知道函数 y =
1 在区间
x
（－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，
∩
能否写成在区间（－∞，0） （ 0 ，+ ∞ ）
1
2
1
2
=3 x +2-3 x -2
1
2
=3( x - x ) 12
∵x <x
1
2
∴ x - x <0 12
∴ f (x )- f (x )=3( x - x )<0
1
2
12
∴函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增ห้องสมุดไป่ตู้数
下一课
回顾
定义:一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1, x2，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 )( f ( x1 ) f ( x2 )), 那么就说函数f ( x)在区间D上是增函数(减函数).
y
y f(x)
f (x1 ) f (x2 ) 一般地，设函数f(x)的定义域为I:
O
x1
x2 x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值x1，x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数．
y
y f(x)
f (x1) f(x2)
(3)f(x)＝|x|(1－x)＝x2－x，x<0
.
作出函数的图象，如图所示．
由图可知：函数 f(x)的单调增区间为 0，21；单调减区间为(－∞，0)和 12，＋∞.
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明：设 x ， x 是 R 上任意两个实数，且 x < x
1
2
1
2
则 f (x )- f (x )=(3 x +2)-(3 x +2)
练习1（3）、求函数y=|x2-2x-3|的单调区间。
例3.物理学中的玻意耳定律
p
k V
(k为正常数)告诉我们,对于
一定量的气体,当其体积减小时,压强 p将增大,试用函数的单调性证明之。
证明：设V1,V2 是在 0, 上任取的两个实数,且V1 V2 取值
kk 则 p(V1) p(V2 ) V1 V2
上是减函数？
反比例函数
例题展示
例1、(1) 下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图 象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单 调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
Y
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5
X
解：单调递增区间：[-2,1],[3,5] 单调递减区间：[-5,-2),(-3,3)
作差
k V2 V1 V1V2
变形
V1,V2 0, ，且V1 V2 V2 V1 0,V1V2 0
定号
又 k 0 ,于是 p(V1) p(V2 ) 0, p(V1) p(V2 )
结论
所以函数 p k ,V 0, 在区间 0, 上是减函数.
V
证明函数单调性的方法步骤：
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
则 f (x1) f (x2 ) x1 2 x2 2
(
x1 2
x2 2)(
x1 2
x2 2)
x1 x2
.
x1 2 x2 2
x1 2 x2 2
因为 x1 x2 0, x1 2 ， x2 2 0
得 f ( x1) f ( x2 )
所以函数 f (x) 在x上 2 是[增2,函数)．
O
x1 x2
如果对于定义域I内某个区间D上的任
意两个自变量的值x1，x2 ，当x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 )，那么就说函数 f (x) x 在区间D上是减函数．
如果函数 f (x) 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f (x)
在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 f (x) 的单调区间．
2：证明函数 y
x
1 x
在（1，+∞）上为增函数．
练习1
规律总结
用定义证明函数单调性的步骤：
1.取值
在指定的区间上任意取 两个数
x1 , x2 且x1 x2
2.作差变形 f (x1) f (x2)＝
3.定号
确定 f (x1) f (x2 )＞0 还是 ＜０
4.判断
（1）当 x1＜x时2 ，
x1 O
y x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
x1 O
y x2
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
x
O
1
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
y x2
f (x1)
Ox1
y
y
y
2 x
-1 0 (1) y
x 0
(4)
0
x
x=-2 (2)
y
-1 0 1 x
(5)
x 0
(3) y
2 -2
01
(6)
x
引导
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
y x2
x1 O
x
函数 y x 2 中自变
y
量的不同位置时，函
数值的变化情况.
f (x1)
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四川省开江县任市中学高中必修一数学课件：1.2.1 函数的概念3 精品
一、知识回顾
什么是函数的定义域？ 函数的定义域是指使函数式有意义的自变 量x的取值范围，通常用集合或区间表示。
什么是函数的值域？ 函数值的集合{f(x) | xA}叫做函数的值 域，通常用集合或区间表示。
二、求函数的定义域
求简单函数的定义域
常规方法
❖ 分母 ❖ 根式(开偶次方) ❖ 零次幂，底数不为零
3. y 1
1 x2
4. y x 1 x
5. y x 2x 1
6. 7. 8.
（2）∵ 4－x 0 ∴ 2 4－x 2 ∴ 函数的值域为［2，＋）
总结：直接法就是利用常见函数的值域来求目标函数的值域.
2、图象法（对二次函数也可考虑配方）：
例例22、 已知函数y x2 - 4x 1， 求它在下列区间的值域
（1）x R (2) 3,4 (3) 0,1 (4) 0,5
例题:求下列函数的定义域
f (x) 1 x | x |
f (x) 1 x x 3 1
[-3,1]
求函数定义域的两种题型
例1、若f ( x)的定义域是[0,2], 求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2 x 1)的 定 义 域 是{ x 1 x 3}
2
2
若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域
总结:
应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得。
例2、已知f 2x 1的定义域(1,5], 求f ( x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5 3 2x 1 9
f ( x)的定义域为 3, 9
若函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f[x]的定义域
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
图像在定义域内呈上升趋势； 图像经过原点。
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
-2
3
1
-3
-1
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
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y
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O
x
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3
1
-3
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四川省开江县任市中学人教版高中必修一数学课件：1.2.1 函数的概念
有四种表示方法：
集合表示法：{x|3<x<7}；区间表示法：(3,7)；
数集的数轴表示；
Venn图
(3)区间就是集合，两种表示方法是等效的。
(44“) 无穷大”在使用时要用圆括号，要注意正负 ，
和写前写后，如错误的写法3,
第九页，编辑于星期日：七点 三十一分。
例2.
请完成下面的区间和集 合形式的互写
1.2.1 函数的概念(二)
第一页，编辑于星期日：七点 三十一分。
复习：
1.函数的定义及定义域 、值域
2.求下列函数的定义域。
（1）
f
(x)
(1
1 2 x)( x
1)
(2) f (x) x 1 1 2－x
第二页，编辑于星期日：七点 三十一分。
函数的定义：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到 集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．
(1)h 130t 5t2和y 130x 5x2 (2) f (x) 1和g(x) x0
第四页，编辑于星期日：七点 三十一分。
练习、 下列各组中的两个函数是否为相等
的函数？
①
y1
(x
3)(x 5) x3
y2 x 5
②y 1
x 1 x 1 y2
(x 1)(x 1)
③f 1
(
x)
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
第六页，编辑于星期日：七点 三十一分。
（4）满足不等式 a x b 的实数
的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；
四川省开江县任市中学人教高中必修一数学课件：1.3函数的基本性质(1)
函数的基本性质单调"性课前复习函数的概念函数的表示方法常见的函数图象：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函薮复习：几个常见函数的图像个y‘二一2x + 21>XXXX函数y = x?中自变量的不同位置时，函数值的变化情况.f(xjX函数y = x?中自变量的不同位置时，函数值的变化情况OX]Xy Ay = x2=x2f(xjX 1能用图象上动点P5 y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？在禁一区间内,当x的值增犬肘,函数值y也增丸------ 图像在该区间内逐渐上升;当X的值增犬时，函数值烬而减小——图像在该区间内逐渐下阵。
•般地，设函数f(x)的定义域为I:O X1 X2 X如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的II'当XL 时，都有f(Xj<f(X2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，x2、兰］＜ x2时，都有f（x1）＞f（x2r那么就说函轧在区间D上是减函数.如果函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说辱&）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫佛（X）的单调区辨析1:辨析2:反比例函数例1、(D下图是定义在[一5, 5]上的函数y = f (x)的图象，根据图象说出y = f (x)的单调区间，以及在每_ 单调区间上，y = f (x)是增函数还是减函数.Y解：单調遍增区间：卜2,1],[3,5] 草调通减区间:[-5,-（2）图①和图②分别为函数y=/（兀）和y=g（兀）的图则函数的单调增区间为」1⑷和［4,6］；函数丿象,① ②⑶画出函数/（X）= 1x1（1—X）的图象，并说明函数的单调区间.[—x 2+x, x^O(3)/(X )=W(1-X )=L_X > X <0作出函数的图象，如图所示.由图可知：函数/（兀）的单调增区间为10, 2］；单调减区间为（一8, 0）和、 ,+°° ・ 丿(15例2证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设心九是R上任意两个实数，且占v九则/（入）・/（君=（3占+2）.（3兀2+2）=3Xj +2-3 %2-2 =3(占込)v x{<x2A占讥vO•••/（^）-/（^2）=3（X,-X2）＜0函数f(x)=3x+2在R上是增函数下一课回顾定义1般地，设函数几兀）的定义域知：如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值“2，当兀1 V兀2时，都有几旺）V /（兀2）（/（兀1） > /（七）），那么就说(I)练习1 ( 3 )、求函数尸図・2冶3|的单调区间。
人教版高中数学必修一函数的基本性质ppt课件
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值
（2）增中大的y值
。
增大
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值
图（2减）小中的y值
。
增大
；图 ；
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞， 0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意 偶函数 一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函
数f(x)是偶函数
图象特点
关于 y轴 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意 奇函数 一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么
函数f(x)是奇函数
关于 原点 对称
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性， 则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数 的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶 性．
课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数单调性的 一般步骤：
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两 个值，且x1＜x2.
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并 通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于 判断差的符号的方向变形．
课堂互动讲练
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号， 确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符 号不确定时，可以进行分类讨论．
（maximum value）。
你能给出函数最小值的定义吗？
1.3.1 单调性与最大（小）值
请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：
1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值
（2）增中大的y值
。
增大
2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值
图（2减）小中的y值
。
增大
；图 ；
3、分别指出图(1)、图(2)中，当x ∈[0，+∞)和x∈(－∞， 0)时，函数图象是上升的还是下降的？ 4、通过前面的讨论，你发现了什么？
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意 偶函数 一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函
数f(x)是偶函数
图象特点
关于 y轴 对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意 奇函数 一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么
函数f(x)是奇函数
关于 原点 对称
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具有奇偶性， 则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数 的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶 性．
课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数单调性的 一般步骤：
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两 个值，且x1＜x2.
(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并 通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于 判断差的符号的方向变形．
课堂互动讲练
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号， 确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符 号不确定时，可以进行分类讨论．
（maximum value）。
你能给出函数最小值的定义吗？
人教版高中数学必修一 函数的基本性质精品课件
[解析] (1)设 x1<x2≤2，则 f(x1)－f(x2)＝(－x21＋4x1)－(－ x22＋4x2)＝(x2－x1)(x1＋x2－4)<0，
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，2]上为增函数． (2)设 x1>x2≥－12，则 f(x1)－f(x2)＝ 2x1＋1－ 2x2＋1 ＝ 2x1＋2(x11＋－x22)x2＋1>0. ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝ 2x＋1在[－12，＋∞)上为增函数．
(2)在区间A内任取两个值x1、x2，设x1＜x2， ∵y＝f(x)，y＝g(x)为增函数 ∴f(x2)－f(x1)＞0 g(x2)－g(x1)＞0 ∴[f(x2)＋g(x2)]－[f(x1)＋g(x1)] ＝[f(x2)－f(x1)]＋[g(x2)－g(x1)]＞0 ∴f(x2)＋g(x2)＞f(x1)＋g(x1) ∴y＝f(x)＋g(x)是增函数
2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上 都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．
3．对增函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)， 也可以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＞0. 对减函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，相应 地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＜0.
都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间D上是增函
数．,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)
高中数学(人教A版)必修一课件：1.3函数的基本性质
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(偶函数)
(3) f (x)＝x＋1；
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(5) f (x)＝0.
练习
2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数； (错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则
这个函数为偶函数.
例1 判断下列函数的奇偶性； (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
例1 判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
强调定义中“任意”二字，说明函 数的奇偶性在定义域上的一个整体性质， 它不同于函数的单调性 .
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.
问题3：结合函数f (x)＝x3的图象回答以 下问题： (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的 点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标 是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象 上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形，能否判断它 的奇偶性？
数学必修一：1-3-1-1函数的基本性质课件
第十二页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
规律方法 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函 数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断(或运用)函数的单调性的步骤为： (1)取值(注意 x1、x2 的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符 号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．
第九页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
拓展 在解答选择或填空题时，也可用到以下结论： (1)函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)单调性相反； (2)若函数 f(x)恒正或恒负时，函数 y＝f1x与 y＝f(x)单调性相反； (3)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函 数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数，减函数－增函数＝减 函数．
第四页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
2．函数的单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数 或 减函数 ，那么就说函 数 y＝f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性 ，区间 D 叫做 y＝f(x) 的 单调区间 ． 想一想：如图所示函数 f(x)的图象， 则函数 f(x)的单调增区间是(－∞，0] ∪(0，＋∞)吗？ 提示 不是，其单调增区间为(－∞，0]和(0，＋∞)．
第十三页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
【变式 1】 证明函数 f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数． 证明 设 0<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝(x1－x2)＋x11－x12 ＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1＝x1－x2x1xx21x2－1， ∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0.x1x2－1<0，x1x2>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
四川省开江县任市中学高中必修一数学课件：1.3.2 奇偶性课件 精品
例1 判断下列函数是不是奇函数：
（1）f（x）=
1 x
；
（3）f（x）= x +1 ；
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解: （3）函数 f（x）= x+1 的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． 因为f（-x）= -x +1 - f（x）= -（ x + 1 ） = - x - 1 ≠ f（ - x）， 所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数．
解： （3）函数 f（x）= x2 + x3 的定义域为R， 所以定义域关于坐标原点对称． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)3 = x2 – x3 ≠ f（x） 函数 f（x）＝ x2 + x3 不是偶函数．
例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1, 3]．
图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形
f (x) = x3 1x
奇函数的定义
如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = -f (x)，则这个函数叫做奇函数.
y
f (-x) = -f (x)
1
(-x，f(-x))-1-O1
y=f(x) (x，f(x))
（2）f（x）= -x3 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．
解:
（1）函数
f（x）=
1 x
的定义域为A = { x | x ≠ 0} ，
四川省开江县任市中学人教高中必修一数学课件：1.3函数的基本性质(1)35页文档
四川省开江县任市中学人教高中必修 一数学课件：1.3函数的基本性质(1)
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿