高中数学必修一 竞赛讲义：函数的基本性质
高中数学教案：函数的基本性质
高中数学教案：函数的基本性质一、函数的定义和表达形式函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。
具体地说，如果存在一个规则将一个数集中的每个元素和另一个数集中的唯一一个元素对应起来，那么这个规则就称为函数。
函数可以用多种形式来表示。
常见的函数表达形式有两种：算式表示和图像表示。
在算式表示中，函数可以用一个显式的算式来表示，例如 f(x) = 2x + 1。
这个算式表示了一个线性函数，在给定x的值时，可以求出f(x)的值。
在图像表示中，函数可以用图像的方式来表达，例如将函数的所有点绘制在坐标系中形成的曲线。
图像表示可以直观地展示函数的性质和规律。
二、函数的定义域和值域函数的定义域是指函数中自变量（通常用x表示）的取值范围。
在定义域内，函数是有意义的，而在定义域外，函数没有定义。
例如，对于函数 f(x) = 1/x，由于0不在其定义域内，所以当x等于0时，函数没有定义。
函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
值域可以通过分析函数的定义域和图像来确定。
对于函数 f(x) = 2x + 1，可以发现随着x的取值增加，f(x)也会增加，因此函数的值域是所有实数。
三、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，它与函数的定义域和图像有关。
如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。
如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，那么它就是一个既非偶函数也非奇函数的普通函数。
通过观察函数的图像或利用性质判定，可以确定一个函数是否为偶函数或奇函数。
例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数，而函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。
四、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减规律。
如果函数在定义域内的任意两个数x1和x2满足x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是递增函数。
《高一数学课件：函数的概念和性质》
1
递增函数
当自变量增加时，函数值也增加。
2
递减函数
当自变量增加时，函数值减小。
3
严格单调函数
பைடு நூலகம்
在定义域的任意两个不同数值点上，函数值都不相同。
函数的性质之二：奇偶性
奇函数
具有奇函数性质的函数满足关系：f(-x) = -f(x)。
偶函数
具有偶函数性质的函数满足关系：f(-x) = f(x)。
函数的性质之三：周期性
复合函数的概念和计算
1 复合函数
复合函数是将一个函数的输出作为另 一个函数的输入。
2 复合函数的计算
可以通过将内层函数的输出替换为外 层函数的输入来计算复合函数。
反函数的概念和计算
1 反函数
对于函数f，如果对于定义域内的任意x， f(x) = y，那么反函数g满足g(y) = x。
2 反函数的计算
图像关于y轴对称。
关于原点对称
图像关于原点对称。
关于x轴对称
图像关于x轴对称。
函数的运算：加减乘除
加法
两个函数的和是将它们相应的函数值相加得 到的。
乘法
两个函数的乘积是将它们相应的函数值相乘 得到的。
减法
两个函数的差是将第二个函数的相应的函数 值从第一个函数的相应的函数值中减去得到 的。
除法
两个函数的商是将第二个函数的相应的函数 值除以第一个函数的相应的函数值得到的。
可以通过交换自变量和函数值来计算反函 数。
一次函数和二次函数的图像和性质
一次函数
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距。
二次函数
二次函数的图像是抛物线，具有顶点和对称轴。
指数函数和对数函数的图像和性质
函数的概念与基本性质
函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。
一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。
函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。
函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。
二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。
在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。
2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。
即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。
这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。
如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。
反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。
4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。
如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。
5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。
如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。
三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。
在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。
在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。
高中数学必修一竞赛讲义：函数的基本性质
第1页共2页竞赛讲义：函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。
.例题：1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)()A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x ≤23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( )A.－1B.0C.1D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150B.2303 C.152D.23054、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.5、已知x ＝9919是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x ≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M ≥21.8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x2001＋2x ＋8＝0⑵解方程：2)1x (222221)1x(1x1x 4x 29、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求41[f ⑷＋f(0)]的值10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥21。
高一数学基础知识讲义函数及其性质
第二讲 函数及其性质函数及其相关概念 ⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。
记作：:f A B →。
⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。
⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。
⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。
这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。
⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。
⑹区间：定 义名 称 符 号{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b {}x a x b << 开区间 (),a b{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b {}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点，开区间不包括端点。
实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为(),4-∞-。
高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。
例题讲解： 夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。
1）,,:A Z B Z f ==平方； 2）,,:A R B R f +==平方；3）{}11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数；4）{},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时，1n →；当n 为偶数时，0n →；5）{},Z A C Z B -==正奇数，:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈； 二、已知()23,1x f x x +=-求()(),2f t f x +。
新人教版高一数学必修1第一章要点：函数的基本性质
新人教版高一数学必修1第一章要点：函数的基本性质一、函数的概念在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解。
函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解.考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;③了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、函数关系的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能使用函数实行描述和解决问题”，这是《课标》关于函数目标的一段描述。
所以，各地中考试卷都有“函数建模及其应用”类问题，而建模的首要是建立函数表达式。
三、函数的运算函数的运算是各阶段考试和高考命题的必考内容，数学函数的运算知识点是对大家夯实基础的重点内容，请大家务必认真掌握。
四、函数的基本性质在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象。
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
高中数学必修一：1.3函数的基本性质——《奇偶性》
（金戈铁骑 整理制作）
1.3 函数的基本性质
zxxkw
学科网
——奇偶性 学.科.网
复习回顾
画出 f (x) x f (x) 1 f (x) x3
x
f (x) x2 f (x) | x | 的图象，
分别比较f(x)与f(－x)
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
例1．判断下列函数是否是偶函数．
(1) f (x) x2 x [1, 2] zxxkw 学.科.网
（2） f (x) x3 x2 x 1
例1 判断下列函数的奇偶性；
f (x) x4
f (x) x5
f (x) x 1 x
f (x) 1 x2
f (x) 1 x2 x2 1
是奇函数但不是偶函数； 是偶函数但不是奇函数； 既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数.
课堂小结
1. 奇函zxxkw 数、偶函数的定义； 2. 奇函数、偶函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33 -P.36；
zxxkw
2．作业P39页A组6、B组3
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
如果一个函数是奇函数，则这个函 数的图象以坐标原点为对称中心的中心 对称图形. 反之，如果一个函数的图象是 以坐标原点为对称中心的中心对称图形， 则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图 形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之， 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这 个函数是偶函数.
偶函数：设函数y＝g (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)， 则这个函数叫做偶函数.
高一数学函数的基本性质
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
添加标题
那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调增函 数，区间I称为函数y=f(x)的单调增区间.
问题： 如何定义单调减函数和单调减区间呢？
函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A，如 果对于区间I内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)， 那么就说函数y=f(x)在区间I上是单调减函数， 区间I称为函数y=f(x)的单调减区间.
（2）它在定义 域I上的单调性 是怎样的？证明
你的结论。
通过观察图象，先 对函数是否具有某 种性质做
出猜想，然后通过 逻辑推理，证明这 种猜想的正确
性，是研究函数性 质的一种常用方法。
证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
1
1
f ( x1 ) x1 , f ( x2 ) x2
f ( x1 ) f ( x2 )
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上 的单调性；
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现
函数的什么特征？
y
y
2
-1 o x
o
x
最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数M满足：
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
一．对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; 二．存在x0∈I，使得f(x0) = M
= (x1-x2)[(x1+ x2) 2 + x22]
因为 x1<x2 ，则 x1-x2 <0
又 (x1+ x2) 2 + x22>0
所以 f(x1)-f(x2)<0
即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
竞赛讲义：函数的基本性质
基础知识：
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。
.
例题：
1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( )
A.在区间(－2，0)上单调递增
B.在(0，2)上单调递增
C.在(－1，0)上单调递增
D.在(0，1)上单调递增
2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤2
3时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( )
A.－1
B.0
C.1
D.2003
3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，
若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
A.150
B.2303
C.152
D.2
305 4、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.
5、已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c
6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有
两个实数根，求证：a ＞4.
7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥
21. 8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1
x 4x 2-=++++++
9、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求
41[f ⑷＋f(0)]的值
10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥2
1
练习：
1、已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝( )
A.3
B.－3
C.5
D.－5
2、已知(3x ＋y)2001＋x 2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.
3、解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝0
4、若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.
5、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a
1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.
6、f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时. 求证：存在实数x ，y ，使得 |xy －f(x)－g(y)|≥41
7、设a ，b ，c ∈R ，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1， 求证：|2ax ＋b|≤4.
8、已知函数f(x)＝x 3－x ＋c 定义在[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2. ⑴求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|；
⑵求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1.
9、已知f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)
⑴若|a|≤1，求证：|f(x)|≤
45 ⑵若f(x)max ＝
8
17，求a 的值.。