高一数学必修1函数的基本性质
高一数学必修1-函数的概念及基本性质
§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(-∞,b ],(- ∞,b).【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域：（1）()f x =xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，求)1(f ，)1(-f ，)0(f ，)]}1([{-f f f讨论：函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1. ② ()f x = x ； ()g x③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +. ④ ()f x = | x | ；()g x例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )（D ）2.对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
高一数学上册《函数的基本性质》优秀教学案例
5.丰富的教学内容与过程，提高教学效果
本案例从导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳到作业小结，设计了丰富多样的教学活动，使学生在不同环节中逐步深入地掌握函数性质。这种教学内容与过程的安排，有助于提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
高一数学上册《函数的基本性质》优秀教学案例
一、案例背景
在我国高中数学教育中，函数作为核心概念之一，其基本性质的理解与应用对于学生数学素养的提升具有重要意义。本案例以高一数学上册《函数的基本性质》为教学内容，围绕函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质展开，旨在帮助学生建立扎实的函数理论基础，培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
1.引导学生进行自我反思，总结自己在学习函数性质过程中的收获和不足。
2.组织学生互相评价，借鉴他人的优点，改进自己的学习方法。
3.教师对学生的学习过程和成果进行全面评价，关注学生的知识掌握、思维品质、合作交流等方面。
4.根据评价结果，针对学生的个体差异进行差异化教学，提高教学质量。
四、教学内容与过程
在教学过程中，教师将结合实际生活中的实例，引导学生探索函数性质的内涵与外延，以激发学生的学习兴趣。通过小组合作、师生互动等方式，让学生在探讨、发现、总结中掌握函数基本性质，从而为后续学习导数、积分等高级数学知识打下坚实基础。
此外，本案例注重培养学生的自主学习能力，鼓励学生在课后进行拓展阅读和练习，以提高其数学素养和解决问题的综合能力。在教学评价方面，教师将关注学生的知识掌握程度、思维品质及合作交流能力，全面评估学生的学习成果。
新课标人教版高中数学必修一 1.3函数的基本性质 教学设计
1.3 函数的基本性质[教学目标]1．理解函数的单调性，初步掌握函数单调性的判别方法．2．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．3．结合具体函数了解奇偶性的含义．4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质．[教学要求]讨论函数的基本性质，就是要研究函数的重要特征：函数的增与减，最大值与最小值，增长率与衰减率，增长（减少）的快与慢，对称性（奇偶性），函数的零点，函数值的循环往复（周期性）等．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．[教学重点]函数的单调性的概念；判断、证明函数的单调性；形成奇偶性的定义．[教学难点]1．函数的单调性和奇偶性定义的形式化表达．2．利用增（减）函数的定义判断函数的单调性．[教学时数]3课时[教学过程]第一课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的单调性新课导入一、情景问题如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32︒C ），观察这张气温变化图：问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？由“函数在某个区间内随着自变量的增加函数值增大或减小”引入课题——函数的单调性．二、观察函数图象，认识“上升”与 “下降”请同学们画出函数x x f =)(和2)(x x f =的图象，并观察图象的变化特征，说说自己的看法．（呈现这两个函数的图象，课本第27页图）可观察到的图象特征：（1）函数x x f =)(的图象由左至右是上升的；（2）函数2)(x x f =的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的；也就是图象在区间]0,(-∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小，在区间),0(+∞上，随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大．归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映．新课进展一、函数的单调性1．如何用函数解析式2)(x x f =描述“随着x 的增大，相应的)(x f 随着减小”，“随着x 的增大，相应的)(x f 也随着增大”？在区间),0(+∞上任取x 1,x 2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？对于函数2)(x x f =，经过师生讨论得出：在区间),0(+∞上，任取两个21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <．这时，我们就说函数2)(x x f =在区间),0(+∞上是增函数．课堂练习请你仿照刚才的描述，说明函数2)(x x f =在区间]0,(-∞上是减函数．2．增函数和减函数的定义设函数)(x f 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）．（2）请你仿照增函数的定义给出函数)(x f 在区间D 上是减函数的定义．如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）．3．对定义要点分析问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？（2）你能分析一下减函数定义的要点吗？引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间D 上的任意两个自变量都有…”的含义．课堂例题例1 （课本第29页例1）课堂练习课本第39页习题1.3A 组第4题．课本第32页练习第1、2、3题．课堂例题例2 （课本第29页例2）课堂练习课本第32页练习第4题．4．本课小结（1）增减函数的图象有什么特点？增减函数的图象从左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的．（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的大小．（3）如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第1、2、3题．课本第44页复习参考题A 组第9题．第二课时1.3.1单调性与最大（小）值——函数的最大（小）值复习导入通过提问复习上节课主要学习内容．问：如何判断函数的单调性？观察上节课例1中的图象（课本第29页），发现，函数图象在2-=x 时，其函数值最小，而在1=x 时，其函数值最大．函数2)(x x f =的图象有一个最低点)0,0(，函数2)(x x f -=的图象有一个最高点)0,0(，而函数x x f =)(的图象没有最低点，也没有最高点．新课进展二、函数的最大（小）值1．函数的最大（小）值的定义设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值(maximum value)．请你仿照函数最大值的定义，给出函数)(x f y =的最小值的定义．设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≥)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最小值(minimum value)．课堂例题例1 （课本第30页例3）说明：本例题是一个实际应用题，教学时应让学生体会问题的实际意义．例2 （课本第30页例4）说明：本例题表明，高一阶段利用函数的单调性求函数的最大（小）值是常用的方法．通过本例题的教学，再一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法．课堂练习课本第32页练习第5题2．函数的最大（小）值与单调性的关系从上面的例题可以看到，函数的最大（小）值与单调性有非常紧密的关系．我们再看一个例子．例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(1) 若函数()y f x =的定义域为[],x b e ∈，求最大值和最小值；(2) 若函数()y f x =的定义域为[],x a e ∈，求最大值和最小值；(3) 若函数()y f x =的定义域为[),x b d ∈，求最大值和最小值；解：(1)在定义域[],b e 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f e f c <，则函数()y f x =在[],b e 上的最大值为()f c ，最小值为()f d ；(2) 在定义域[],a e 上，函数()y f x =在区间[],a c 上是增函数，在区间[],c d 上是减函数， 在区间[],d e 上是增函数，且()()f a f d <，则函数()y f x =在[],a e 上的最大值为()f c ，最小值为()f a ；(3) 在定义域[),b d 上，函数()y f x =在区间[],b c 上是增函数，在区间[),c d 上是减函数， 由于函数在x d =处没有定义，则函数()y f x =在[),b d 上的最大值为()f c ，没有最小值．思考：为什么要讨论)()(c f e f <？说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值．3．本课小结函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值．4．布置作业课本第39页习题1.3A 组第5题；课本第39页习题1.3B 组第1、2题第三课时1.3.2 奇偶性创设情景，导入新课从对称的角度，观察下列函数的图象： 函数2()1,().f x x g x x =+=这两个函数图象有什么共同的特征?请列出从-3到3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？讨论结果：当自变量取值互为相反数时，函数值恰相等．反映在图象上，函数图象关于y 轴对称．新课进展三、函数的奇偶性1．偶函数如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=那么函数()f x 就叫做偶函数(even function)．定义域关于坐标原点对称．请你举出偶函数的例子．2)(x x f =，21)(xx f =等等． 2．奇函数 观察函数x x f =)(和x x f 1)(=的图象，说一说这两个函数有什么共同特征？（1）图象看，它们都是关于坐标原点成中心对称；（2）从定义域看，它们的定义域都是关于坐标原点对称；（3）从函数值看，x 与x -的函数值的绝对值相等且符号相反．如果函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()(),f x f x -=-则函数()f x 叫做奇函数(old function)．请你举出奇函数的例子．3．函数的奇偶性奇函数和偶函数的这种性质叫做函数的奇偶性．（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．课堂例题例1 （课本第35页例5）课堂练习课本第36页练习第1（1）——（4）、第2题．4．本课小结本节课学习了函数的奇偶性及其判断方法．我们可以把对称性和奇偶性结合起来思考． 定义域具有对称性，函数值具有对称性，图象具有对称性．由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．5．布置作业课本第39页习题1.3A 组第6题，B 组第3题．课本第44页复习参考题A 组第10题．补充：1．已知2(),f x ax bx cx =++∈R 是偶函数，那么32()g x ax bx cx =++是( )．(A)偶函数 (B)奇函数(C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数 2． 已知函数1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩试判断并证明它的奇偶性．。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
高一数学必修1函数的基本性质
高一数学必修1函数的基本性质高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(_)定义域内的任意_都有f(－_)=－f(_)，则称f(_)为奇函数；如果对于函数f(_)定义域内的任意_都有f(－_)=f(_)，则称f(_)为偶函数。
如果函数f(_)不具有上述性质，则f(_)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(_)既是奇函数，又是偶函数。
注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个_，则－_也○一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－_)与f(_)的关系；○3 作出相应结论：○若f(－_) = f(_) 或 f(－_)－f(_) = 0，则f(_)是偶函数；若f(－_) =－f(_) 或 f(－_)＋f(_) = 0，则f(_)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设f(_)，g(_)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(_)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量_1，_2，当_1_lt;_2时，都有f(_1)_lt;f(_2)（f(_1)_gt;f(_2)），那么就说f(_)在区间D上是增函数（减函数）；注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量_1，_2；当_1_lt;_2时，总有f(_1)_lt;f(_2) ○（2）如果函数y=f(_)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(_)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(_)的单调区间。
高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
高一数学必修一多项式函数的基本性质
高一数学必修一多项式函数的基本性质多项式函数是高中数学中的重要内容之一，掌握多项式函数的基本性质对于研究数学和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍多项式函数的一些基本性质。
一、多项式函数的定义多项式函数是指由常数和变量的乘积再进行有限次的加法运算所得到的函数。
它由若干项组成，每一项包含一个系数和变量的幂次。
多项式函数的一般形式可表示为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$$其中，$a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ 是常数，$x$ 是变量，$n$ 是非负整数，称为多项式的次数。
二、多项式函数的性质1. 多项式函数的次数：多项式函数的次数等于其中最高次幂的指数，记作 $\deg f(x)$。
例如，$f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ 的次数为 3。
2. 多项式函数的零次项和首项：多项式函数 $f(x)$ 中次数为$n$ 的项称为首项，系数为 $a_n$；次数为 0 的项称为常数项或零次项，系数为 $a_0$。
3. 多项式函数的导函数：多项式函数 $f(x)$ 的导函数是将每一项的幂次减 1，然后再乘以原来的系数。
例如，$f(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ 的导函数为 $f'(x) = 6x^2 + 10x - 3$。
4. 多项式函数的奇偶性：若多项式函数中的所有项都是偶次项或奇次项，则多项式函数为偶函数或奇函数。
若多项式函数中同时存在奇次项和偶次项，则多项式函数既不是偶函数也不是奇函数。
例如，$f(x) = x^4 - x^2$ 是偶函数，$g(x) = x^3 - x$ 是奇函数。
5. 多项式函数的图像特征：多项式函数的图像是连续的、光滑的曲线。
对于 $n$ 次多项式函数 $f(x)$，当 $n$ 是奇数时，图像的起始方向和终止方向相反；当 $n$ 是偶数时，图像的起始方向和终止方向相同。
高一数学上册《函数的基本性质》知识点总结沪教版
高一数学上册《函数的基本性质》知识点总结沪教版高一数学上册《函数的基本性质》知识点总结沪教版一、函数的概念在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解。
函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解.考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;③了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、函数关系的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用函数进行描述和解决问题”，这是《课标》关于函数目标的一段描述。
因此，各地中考试卷都有“函数建模及其应用”类问题，而建模的首要是建立函数表达式。
三、函数的运算函数的运算是各阶段考试和高考命题的必考内容，数学函数的运算知识点是对大家夯实基础的重点内容，请大家务必认真掌握。
四、函数的基本性质在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合c，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象。
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合c，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.c上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在c上.即记为c={P(x,y)|y=f(x),x∈A}图象c一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
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高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f (x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f (x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)（f(x 1)>f(x 2)），那么就说f(x)在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（2）如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A 是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u=g(x) 的象集：①若u=g(x) 在A 上是增（或减）函数，y= f(u)在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A 上是增函数；②若u=g(x)在A 上是增（或减）函数，而y=f(u)在B 上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2作差f(x 1)－f(x 2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x 1)－f (x 2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数)(x f 增函数)(x g 是减函数。
3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；②存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 。
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f(x)≥M ；②存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 。
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值。
注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x)≤M （f(x)≥M ）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图象求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f (x)在x=b 处有最大值f (b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f (x)在x=b 处有最小值f (b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f(x+T )= f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T )= f(x)常常写作),2()2(T xf T xf 若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T ，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T 。
四．典例解析【奇偶性典型例题】例1．以下五个函数：（1）)0(1x xy ；（2）14xy；（3）xy 2；（4）x y2log ；（5）)1(log 22xxy，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是_________ 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
题型二：奇偶性的应用例2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。
例3．已知()f x 奇函数，当x ∈（0，1）时，1()lg1f x x，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是．例4．若奇函数()f x 是定义在（1，1）上的增函数，试求a 的范围：2(2)(4)0f a f a ．解：由已知得2(2)(4)f af a因f(x)是奇函数，故22(4)(4)f a f a ，于是2(2)(4)f af a ．又()f x 是定义在（1，1）上的增函数，从而22322412113321415335aa aa a a aaa或即不等式的解集是(3,2)【单调性典型例题】例1．(1)()(21),f x a xb R 设函数是上的减函数则a 的范围为()A ．12aB ．12aC ．12aD ．12a(2)函数2([0,)y xbxc x)是单调函数的充要条件是()A ．0b B ．0bC ．0bD ．0b (3)已知()f x 在区间(,)上是减函数，,a b R 且0a b，则下列表达正确的是（）A ．()()[()()]f a f b f a f bB ．()()()()f a f b f a f b C ．()()[()()]f a f b f a f b D ．()()()()f a f b f a f b 提示：0ab 可转化为a b 和ba 在利用函数单调性可得.(4)如右图是定义在闭区间上的函数()yf x 的图象,该函数的单调增区间为例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1yxx （2）2|23|y xx例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n 恒有)()()(n f m f n m f ，且当0x时，1)(0x f 。
（1）求证：1)0(f ；（2）证明：R x 时恒有0)(x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数；（4）若()(2)1f x f x ，求x 的范围。
解：(1)取m=0，n=12则11(0)()(0)22f f f ，因为1()02f 所以(0)1f (2)设0x 则0x 由条件可知()f x o又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ，所以()0f x ∴R x 时，恒有0)(x f （3）设12x x 则121211()()()()f x f x f x f x x x =1211()()()f x f x x f x =121()[1()]f x f x x 因为12x x 所以210x x 所以21()1f x x 即211()0f x x 又因为1()0f x ，所以121()[1()]f x f x x 所以12()()0f x f x ，即该函数在R 上是减函数.(4) 因为()(2)1f x f x ，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f 所以220xx ，所以20x xx的范围为或例5：（复合函数单调性）1.函数223y xx 的增区间是（）.A ．[3,1]B ．[1,1]C ．(,3)D ．[1,)2.函数y ＝80212xx的单调递增区间为（）A ．(,8)B ．(,1)C ．(1,)D ．(8,)题型五：周期问题例6．已知函数()y f x 是定义在R 上的周期函数，周期5T ，函数()(11)yf x x 是奇函数又知()yf x 在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5。
①证明：(1)(4)0f f ；②求(),[1,4]y f x x 的解析式；③求()yf x 在[4,9]上的解析式。
解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f ，又∵()(11)yf x x 是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f ，∴(1)(4)0f f 。
②当[1,4]x 时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a ，由(1)(4)0f f 得22(12)5(42)50a a ，∴2a ，∴2()2(2)5(14)f x x x 。
③∵()(11)y f x x是奇函数，∴(0)0f ，又知()yf x 在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x，而2(1)2(12)53f ，∴3k ，∴当01x 时，()3f x x ，从而当10x 时，()()3f x f x x ，故11x 时，()3f x x 。
∴当46x时，有151x ，∴()(5)3(5)315f x f x x x 。
当69x 时，154x ，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x ∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x。