11-3多元连续函数的性质

覆盖
了 K。
记 1 min { a } ，那么对于 K 中满足 | x x | 的任意 x 和 x ，不
2 1 j p
j
at 妨设 x O at , 2
(1≤t≤p)，则有
1 1 at at at ， 2 2
第十一章 Euclid空间的极限和连续
第三节 连续函数的性质
１、连续函数概念推广：连续映射的定义
设K R n , f : K R m为定义在点集K上的向量 定义： 值函数,x0 K , 对于任给的正数，总存在相 应的正数 ，只要x U （x0；） K，就有 | f ( x) f ( x0 ) | 则称f 点x0连续.若f 在K上任何点都连续， 则称f 为K上的连续函数.如K是紧集,称f是紧集 上的连续函数.
(Qn , Pn ) 0，对上述>0, NN+,n>N时, 由条件 lim n
有(Pn,Qn)<，从而有 | f ( Pn ) f (Qn ) |
f ( Pn ) f (Qn )] 0 . 所以，lim[ n
充分性： 若f(x,y)在E上不一致连续，由定义


2


2
。
由定义， f 在 K 上一致连续。
5. 连通集及其上的连续映射
定义：设 S 是 R n 中点集，若连续映射 : [0,1] R n 的值域全部落在 S 中，即满足 ( [0,1]) S，则称 为 S 中的道路， (0) 与 (1) 分别称为道 路的起点与终点。 若 S 中的任意两点 x，y 之间，都存在 S 中以 x 为起点，y 为终点 的道路，则称 S 为（道路）连通的，或称 S 为连通集。 连通的开集称为（开）区域。 （开）区域的闭包称为闭区域。
: [0,1] D R n ，
使得 (0) x, (1) y 。 于是对于连续映射 f 来说， 有 f ( ([0,1])) f ( D) ， 且 f ( (0)) f ( x) 及 f ( (1)) f ( y) 。这就是说， f 是 f ( D) 中以 f ( x ) 为起 点，以 f ( y ) 为终点的道路。 由 f ( x), f ( y) 的任意性即知 f ( D) 是连通的。
f ( x) f ( x)
对于 K 中所有满足 | x' x | 的 x, x 成立，则称 f 在 K 上一致连续。
4. 紧集上连续映射的性质
定理（一致连续性定理） 设 K 是 R n 中紧集，f : K→ R m 为连续映射。 则 f 在 K 上一致连续。 证 对于任意给定的 0 ，由于 f 在 K 上连续，因此对于任意的 a ∈K，存在 a 0 ，使得当 x O(a, a ) K 时，
Pn P0 D 列{Pnk}{Pn},并设 lim k
k
再在{Qn}中取出与Pnk下标相同的子列{Qnk},则因
1 0 ( Pnk , Qn k ) 0 (k ) nk
Qn lim Pn P0 D 而有 lim k k
k k
最后,由 f 在P0的连续性，得到
(Qn , Pn ) 0，但 显然 {Pn },{Qn } E , 且 lim n
lim[ f ( Pn ) f (Qn )] 0
n
与已知矛盾，故f(x,y)在E上一致连续。
例3 若是ER2上的有界开集, f(x,y)为E上一致
连续的充要条件是: f 在E上连续,且对Q0E,
。
由 f 在 a 点的连续性得
lim y kl lim f ( x kl ) f (a ) ，
l l
即 f (a ) 是{yk}的一个聚点，它显然属于 f ( K ) 。因此， f ( K ) 是紧集。
证明：
推论（有界性定理） ： 设 K 是 R n 中紧集, f 是 K 上的连续函数。则
| x a t | | x x | | x a t |
于是成立 | f ( x ) f (at ) | 。因此
2

f ( x) f ( x) ≤ | f ( x) f (at ) | + | f ( x) f (at ) |
２、紧集上的连续函数的性质：
2. 连续映射的性质
定理 连续映射将紧集映射成紧集。 证 设 K 是 R n 中紧集， f : K Rm 为连续映射。要证明 K 的像集
f ( K ) { y Rm | y f ( x), x K}
是紧集，只要证明 f ( K ) 的任意一个点列必有聚点属于 f ( K ) 即可。
设{yk}为 f ( K ) 的任意一个点列。对于每个 yk，任取一个满足 f (xk) = yk 的 xk K （ k 1,2, ） ，则{xk}为紧集 K 中的点列， 它必有聚点属于 K，
３、一致连续的定义：
l
即存在{xk}的子列 {x k } 满足
lim x kl a K
l
若 lim (Qn , Pn ) 0，有 lim[ f ( Pn ) f (Qn )] 0
n n
证：必要性 因f 在E上一致连续, 即对>0, >0,
P, P E, 只要 ( P, P) ，有 | f ( P) f ( P) |
极限 lim f ( P) 存在。
P Q0 PE
证：必要性 ∵f 在E上一致连续, 即对>0, >0,
P, P E, 且 ( P, P) ，有 | f ( P) f ( P) | 任取Q0E, 当 ( P, Q0 ) 2 , ( P, Q0 ) 2 ( P ,来自百度文库P ) ( P , Q0 ) ( P , Q0 ) 2 2
f
在 K 上有界。
推论 （最值定理） ： 设 K 是 R n 中紧集, f 是 K 上的连续函数。 则f在 K 上必能取到最大值和最小值， 即存在ξ 1， ξ 2 K， 使得对于一切 x K 成立 f (ξ 1) ≤ f (x) ≤ f (ξ 2) 。
3.一致连续的概念
定义 设 K 是 R n 中点集，f : K→ R m 为映射。如果对于任意给定 的 0 ，存在 0 ，使得
本例说明：如果 f 在有界开集上一致连续，则
f 在E上的连续性便能够被延拓到E的边界E上。
从而再由连续函数的性质1，可得 f 在E上有界，即
f (E)为有界集。 这两个例子的结论，给我们提供了论证函数在某 一区域上是否一致连续问题的方法。
例4
讨论 f ( x, y) sin
1 1 x2 y
定理 连续映射将连通集映射成连通集。 证 设 D 是 R n 中的连通集， f : D Rm 为连续映射，现证明 f 的像 集
f ( D) { y Rm | y f ( x), x D}
是连通集。 对任意 f ( x), f ( y) ∈ f ( D) ， x , y ∈D，由 D 的连通性，知道存在连 续映射
则存在0>0, 使对>0, P, P E, ( P, P) ，
但 | f (P) f (P) | 0 .
1 对 n = ,Qn , Pn E , 使 (Qn , Pn ) n， 但 n | f (P n ) f (Qn ) | 0
因此便有 | f ( P) f ( P) |
由柯西收敛定理，极限 lim f ( P) 存在。
P Q0 PE
lim f ( P ) 存在。记作A(Q0 ). 充分性: Q0E, 由于极限 P Q
PE
0
因此令
f ( P) P E g ( P) A( P) P E
则f(x,y)在x2+y2<1上不一致连续。
思考与练 习
例5：设f (x, y)是R2上的连续函数，且
r
lim f ( x, y) 0,(r x 2 y 2 ) 证明：f(x,y)在R2上
一致连续，且能取到最值。
证：由极限存在的柯西收敛准则，对>0,
r0>0,当|P1|>r0，|P2|>r0，有 | f(P1)-f(P2) |< ,
lim | f ( Pnk ) f (Qnk ) || f ( P0 ) f ( P0 ) | 0
k
这与 | f (Pn ) f (Qn ) | 0 0 相矛盾。
k k
所以，f 在D上一致连续。
例2 若函数 f(x,y) 定义在ER2上，证明：
f(x,y)在E上一致连续的充要条件:对{Pn},{Qn}E,
推论 1：连续函数将连通的紧集映射成闭区间。
推论 2（中间值定理） 设 K 为 R n 中连通的紧集， f 是 K 上的连续 函数。则 f 可取到它在 K 上的最小值 m 与最大值 M 之间的一切值。 换言之， f 的值域是闭区间 [m, M ] 。
习题课
例 1、一致连续定理也可以用聚点定理来证吗？ 若 f 在D上不一致连续，则存在某0>0,对>0,例如 =1/n，n=1,2,…,总有相应的Pn,QnD,使得 (Pn,Qn)<1/n，但|f(Pn)-f(Qn)|0。 由于D是紧集，从而也是有界闭域,因此存在收敛子
| f (x ) f (a ) |

2
。
显然开集族 O a,


a
, a K 是 K 的一个开覆盖。由于 K 是紧集， 2
， O a 2 , a2 2
a1 因此存在其中有限个开集 O a1 , 2
ap ，…， O a p , 2
则有
( Pn, Pn) | 1
1 2 1 | 0(n ) n 4n 1
2 2 f 在 x y 1上不一致连续。 | f ( P ) f ( P ) | 1 0 但 n n

或由例3
（x y ) 1
2
lim 2
f ( x, y )不存在
2 2 , x y 1 2
的一致连续性，指出下面的解答过程中有无错误？
1 1 , yn ) ( 1 cos , 1 sin ), 解：取 Pn ( xn 2n 2n [0, 2 ) 2 2 , yn ) ( 1 Pn ( xn cos , 1 sin ), 4n 1 4n 1
由题设条件，f(P)在有界闭集E={ ||P|| ≤ 2r0}上连续， 因而是一致连续的。 综合两方面即证得f(x,y)在R2上一致连续。 下面证f(x,y)在R2上能取到最值。 若f(x,y)恒为0，则其最值为0。若不然假设存在 P0R2,使f(P0)>0, 由极限Limf(x,y)=0，对=f(P0)/2
对>0,>0,当PE,且|P-Q0|<时,有|g(P)-g(Q0)|<
对Q1E且|Q1-Q0|</2,
P Q1 PE
lim f ( P )
故存在PE,且|P-Q1|</2时,有|g(P)-g(Q1)|<
此时就有 |P-Q0|<|P-Q1|+|Q1-Q0|<, 因而
有|g(P)-g(Q0)|<，所以 |g(Q0)-g(Q1)|<|g(Q0)-g(P)|+|g(P)-g(Q1)<2 即当 Q1E且|Q1-Q0|</2, 就有|g(Q1)-g(Q0)|<2 综上所述，g在有界闭集 E E 上连续,由一致连 续定理，g在 E E 上一致连续，从而g也在E上一 致连续，在E上g=f，所以 f 在E上一致连续。