离散数学第二讲-重言式
离散数学-2.2-3命题逻辑等值演算.ppt
2.3 范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式 – 析取范式与合取范式
• 2.3.2 主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项 – 主析取范式与主合取范式 – 主范式的用途
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简单析取式与简单合取式
文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, …
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主析取范式的用途
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值
例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真赋值: 000,010,100,101,110; 成假赋值: 001,011,111
范式:析取范式与合取范式的统称
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式
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范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的,
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主析取范式的用途(续)
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项 A为矛盾式当且仅当 A的主析取范式不含任何极小项,记作0 A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项
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实例
例3 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
6
第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
离散数学II
c)：最外层括号可省。 如，(¬((P ∧ ¬Q) ∨R) →((R ∨P)∨Q))
¬(P ∧ ¬Q∨R) →R ∨P∨Q
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1.1 命题与命题联结词
• 例1.3：符号化下列命题。
a)：他既有理论知识又有实践经验 b)：i. 如果明天不是雨夹雪则我去学校
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1.2 公式的解释与真值表
• 原子命题在不指派真值时称为命题变元，而
复合命题由原子命题和联结词构成，可以看 作是命题变元的函数，且该函数的值仍为 “真”或“假”，可以称为真值函数（True Value Function）或命题公式。但不是说原 子命题和联结词的一个随便的组合都可以为 命题公式，我们用递归的方法来定义命题公 式。
• 例，(¬ P∧Q)，(P→(¬P ∧Q)) ，(((P∧Q) ∧(R
∨Q)) ↔(P →R))是命题公式 (P →Q )∧¬ Q)， (P →Q， (¬ P∨Q ∨(R， P∨Q ∨不是命题公式
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1.2 公式的解释与真值表
• 注意：
– 如果G是含有n个命题变元 P1, P2, …,Pn的公式， 通常记为G（P1, …,Pn）或简记为G。
汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍
及现代科学技术的诸多领域。
–离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立
起来的一门新兴的工具性学科，形成于上上个
世纪七十年代。
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引言
• 课程意义
–离散数学是计算机科学的数学基础，其基本概念、 理论、方法大量地应用在数字电路、编译原理、数 据结构、操作系统、数据库系统、算法设计、人工 智能、计算机网络等专业课程中，是这些课程的基 础课程。
《离散数学》02命题逻辑等值演算
2.2 析取范式和合取范式
定理2.1 (1)一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 (2)一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题
变项及它的否定式。 定义2.3 (1)由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式
A∨1 1,A∧0 0 A∨0 A，A∧1 A A∨┐A 1 A∧┐A 0 A→B ┐A∨B AB (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A AB ┐A┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
对偶原理
一个逻辑等值式，如果只含有┐、∨、∧、0、1 那么同时
把∨和∧互换 把0和1互换 得到的还是等值式。
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
┐(A∨B) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐A∨┐B
A∨(A∧B) A，A∧(A∨B) A
基本等值式
8.零律 9.同一律 10.排中律 11.矛盾律 12.蕴涵等值式 13.等价等值式 14.假言易位 15.等价否定等值式 16.归谬论
例2.5 解答
(1) (p→q)∧p→q
(┐p∨q)∧p→q
（蕴涵等值式）
┐((┐p∨q)∧p)∨q
（蕴涵等值式）
(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）
(1∧(┐q∨┐p))∨q
离散数学—第2章命题逻辑
第二章命题逻辑---学习指导一、内容提要1.命题逻辑基本概念（1）命题与连接词命题与真值：命题、命题的真值、真命题、假命题、简单命题（或原子命题）复合命题；命题与真值的符号化：用p、q、r等命题，用数字1表示命题真，用0表示假；连接词及其符号化：记S={￢、∧、Ｖ、-→、←→}，称S为常用联结词集。
（2）基本复合命题复合命题：基本复合命题以及多次使用联结词集S中的联结词复合而成的命题。
排斥或可以看成非基本复合命题的复合命题。
（3）命题合成及其赋值：命题常项与命题变项：命题常项是命题，命题变项是取值为0或1的变量，也用p、q、r等表示。
命题公式：由命题变项或常项以及联结词按一定规则形成的公式，也称合成公式或公式。
公式的赋值:给公式中变项指定真值，成真赋值、成假赋值、公式的真值表。
命题公式的类型：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
2.命题逻辑等值演算（1）等值式与基本等值式等值式：若A←→B为重言式，记为A<=>B，并称A<=>B为等值式。
（2）基本的等值式（教材P49-P50）等值演算：由已知的等值式推演出新的等值式的过程。
置换规则：若A<=>B,则Φ（A）<=>Φ(B)（3）联结词完备集真值函数：n元真值函数F：{0，1}n-→{0,1}.任何含n个命题变项的公式A,都与唯一的一个真值函数等值，若公式A与B与同一个真值函数等值，则A<=>B。
联结词完备集：{￢、∧、Ｖ、-→、←→}，{￢、∧、Ｖ}，{￢、∧}，{￢，-→}，{↓}，{↑}。
（4）真值表：主要用于验证两个公式是否相等。
3.范式（1）主要定义：文字，简单析取式，简单合取式，极小项，极大项，析取范式，公式的析取范式，合取范式，公式的合取范式，主析取范式，公式的主析取范式，主合取范式。
定理2.1：在真命题逻辑中，任何公式都存在着唯一的与之等值的主析取范式与合取范式（2）求公式A的主析取范式的方法与步骤：方法1等值演算法消去A中联结词-→、←→（若存在）；否定号￢内移（德摩根定律）或消去（双重否定律）；使用∧对Ｖ的分配律；将不是极小项的简单合取式等值地化成若干个极小项的析取式；表示，使用冥等律，最后排序。
离散数学第一章第二节
2、命题符号化
将一个命题表示成符合规定的命题公式叫命题符
号化。步骤如下： (1) 找出各简单命题，分别用命题标识符表示； (2) 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起 来，便得到复合命题的符号化表示。
五种联结词又叫逻辑运算符。联结词运算的优先
级顺序为：,∧,∨,,
例2 将下列命题符号化： (1) 如果我下班早，就去商店看看，除非我很累。 (2) 只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 解：(1) Ｐ→(Ｑ→Ｒ)。 其中 Ｐ：我很累。Ｑ：我下班早。Ｒ：我去商店看看。 (2) Ｐ→Ｑ或Ｑ→Ｐ。 其中P：三角形有一个角是直角。Ｑ：三角形是直角三角形。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1 （P∨Q） 1 0 0 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧Q 1 0 0 0
例4 构造命题公式（P∨Q）和P∧Q的真值表。
对于Ｐ、Ｑ的任一种真值指派，（P∨Q）与P∧Q 都有相同的真值，所以这两个命题公式是等价的。 6
常用的等价公式：
E1对合律 PP E2幂等律 PPP PPP E3结合律 (PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) E4交换律 PQQP PQQP E5分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) E6吸收律 P(PQ) P P(PQ) P E7德.摩根律 (PQ) PQ (PQ) PQ E8同一律 PFP PTP E9零 律 PTT PFF E10否定律 PPT PPF E11 P→QP∨Q E12 P→QQ→P E13 PQ (P→Q)∧(Q→P) E14 PQPQ E15 (P→Q)∧(P→Q)P
证明：Ａ与Ｂ除替换部分外均相同，又由于替换部分Ｘ Ｙ，即是说对任一指派，Ｘ与Ｙ真值相同，那么Ａ与 Ｂ对任一真值指派也应有相同的真值。故ＡＢ。
《离散数学》讲义(胡盛)
小结
合式公式（命题公式）及其判定 自然语言的翻译（符号化形式）
列出原子命题，并符号化 不同的原子命题使用不同的符号，符号使用最少 选择合适的联结词，根据命题表达的真实含义，而不 拘泥于形式
离散数学
30
1-3 命题公式与翻译
P12(3)(5)ad(7)
离散数学
31
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
(PQ) (PQ) T F F T
35
1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
定义1-5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对 应的真值永为T，则称该命题公式为重言式或永真公 式。 例如：表1-4.4
明天下雨
2. 我们去看电影
房间里有十张凳子
二元运算
离散数学 17
1-2 联结词
析取(),其定义可用如下真值表表示
P T T F Q T F T PQ T T T 今天我在家看电视或去剧场看戏
她可能是100米或400米赛跑的冠军
他昨天作了二十或三十道习题 可兼或
F
F
F
排斥或
二元运算
离散数学 18
它可以是有意义的一般论证，也可以是科学理论中的数学证 明或结论。建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规 则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。这 些规则，通常称为推理规则。
离散数学
6
北京大学离散数学教材 2
命题逻辑等值演算2学习目的本章主要涉及命题演算中两个重要内容之一：等值演算。
首先理解命题公式等值的含义，掌握构造真值表和不构造真值表两种方法证明等值式，熟练应用于命题公式的化简和范式表示基本内容z命题公式等值关系及其证明z联结词的全功能集z命题公式的范式表示等值关系基本概念等值的两种定义：z如果两个逻辑形式对其中的命题变项的任何取值，都具有相同的值，则称它们是相等的。
z A、B等值是指等价式A↔B为重言式，记为A⇔B。
可直接构造真值表证明两个命题形式的等值。
等值演算根据已知的等值式，可以推演出另外许多的等值式，这种推演过程称为等值演算。
这些已知等值式通常是经过证明了的常用等值式，其中许多是布尔代数或逻辑代数的主要组成部分，称为等值关系模式：(1) 双重否定律： A ⇔¬¬A(2) 等幂律：(2a) A ⇔ A∧A(2b) A ⇔ A∨A(3) 交换律：(3a) A∧B ⇔ B∧A(3b) A∨B ⇔ B∨A(3c) A∨B ⇔ B∨A(3d) A↔B ⇔ B↔A(4) 结合律：(4a) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)(4b) (A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C)(4c) (A∨B) ∨C ⇔ A∨ (B∨C)(4d) (A↔B) ↔C ⇔ A↔ (B↔C)(5) 分配律：(5a) A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C)(5b) A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C)(5c) A∧(B∨C) ⇔ (A∧B) ∨ (A∧C)(6) 德•摩根律：(6a) ¬(A∧B) ⇔¬B∨¬A(6b) ¬(A∨B)⇔¬B∧¬A(7) 吸收律：(7a) A∨(A∧B)⇔A(7b) A∧(A∨B)⇔A(7c) A∨(¬A∧B)⇔A∨B(7d) A∧(¬A∨B)⇔A∧B(7e) (A∧B) ∨ (¬A∧C) ∨ (B∧C) ⇔ (A∧B) ∨ (¬A∧C) (8) 零律：(8a) A∨1 ⇔ 1(8b) A∧0 ⇔ 0(9) 同一律：(9a) A∨0 ⇔ A(9b) A∨0 ⇔ A(10)排中律：A∨¬A ⇔ 1(11)矛盾式：A∧¬A ⇔ 0(12)蕴涵等值式：A→B ⇔¬A∨B(13)等价等值式：(13a) A↔B ⇔ (A→B) ∧ (B→A)(13b) A↔B ⇔¬ (A∨B)(14)假言易位：A→B ⇔¬B→¬A(15)等价否定等值式：A↔B ⇔¬A↔¬B(16)否定等价等值式：¬ (A↔B) ⇔¬A↔B ⇔ A↔¬B(17)归谬律：(A→B) ∧ (A→¬B) ⇔¬A(18)输出律：(A∧B) → C ⇔ A → (B → C)(19) A ∨¬A ⇔ 0(20) A ∨ B ⇔ (A ∧¬B) ∨ (¬A ∧ B)通常在等值演算的过程中，还可以用到一些规则或定理：z置换规则设Φ是含有公式A的命题形式，Ψ是用公式B置换Φ中的公式A(不一定是每一处)而得到的命题形式，如果A ⇔ B，则Φ⇔Ψ。
离散数学知识点
离散数学知识点(总23页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法:绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(，，，，)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则， CP规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG），-规则(ES)，+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
离散数学第1章重言式与蕴含式和其它连接词
10
例题1 证明((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R)为重言式。
证明 因为PV┐PT， 如以((P∨S)∧R)置换P即得 ((P∨S)∧R)V┐((P∨S)∧R) T
定理1-5.3 设A、B为两个命题公式，A B当且仅 当A B为一个重言式。 证明 若AB，则A、B有相同真值，即A B永为T。 若A B为重言式，则A B永为T，故A、B的真 值相同，即AB。
2
课程回顾
第1次课：
命题；5个联结词
第2次课：
合式公式 命题的翻译 命题公式等价的两种证明方法
真值表 利用命题定律推导
3
第一章 命题逻辑 第3讲§1—5 重言式与蕴含式 §1—6 其他连结词
重点：重言式、蕴含式
难点：用推理方法证明蕴含式。
回顾
表1-4.4 P Q P∧Q TT T TF F FT F FF F
❖要证P→Q是重言式：
（1）只要对条件命题P→Q的前件P，指定真值为T，若由 此推出Q的真值也为T，则P→Q是重言式，即P Q成立(前 真看后真)；
（2）同理，如条件命题P→Q中，假定后件Q的真值取F， 若由此推出P的真值为F，即推证了┐Q ┐P 故P Q成立 (后假看前假)。
定理1-5.3的作用：为A B又提供了一种方法。 其他方法： （1）真值表法 （2）利用命题定律推导证明
例题2 证明┐(P∧Q）（┐P∨┐Q）
证明：据定理1-5.3 ，只需证：┐(P∧Q） （ ┐P∨┐Q）为重言式。
P Q P∧Q TT T TF F FT F FF F
┐(P∧Q) ┐P ┐Q
F
FF
T
FT
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E1和替换规则
E14和替换规则
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5、对偶原理
定义：设有公式A, 其中仅有联结词∧ , ∨ , ¬ 。
在A中将 ∧, ∨, T, F 分别换以∨, ∧, F, T ，得公式A*, 则A*称为A的对偶公式。 显然，(A*)* A，即对偶是相互的。 （对偶的对偶是其本身）。 例：P∨(Q∧R)和P∧(Q∨R)互为对偶
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5、对偶原理
定理1：设A和A*是对偶式。P 1, P2,…, Pn是出现于A和A *中
的所有命题变元, 于是
¬ A(P1, P2, …, Pn)
A *( ¬ P1, ¬ P2, …
, ¬ Pn)
Hale Waihona Puke 证明略。 例： 已知 A(P, Q, R)
¬ P∨Q∧R 证明: ¬ A(P, Q, R) A*(¬ P, ¬ Q, ¬ R) 证明： ¬ A(P, Q, R) ¬ (¬ P∨Q∧R) ¬ (¬ P)∧ ¬ (Q∧R) ¬ (¬ P)∧ ( ¬ Q∨ ¬ R) A*(P, Q, R) ¬ P∧(Q∨R) A*(¬ P, ¬ Q, ¬ R) ¬( ¬ P)∧(¬ Q∨ ¬ R) 所以¬ A(P, Q, R) A*(¬ P, ¬ Q, ¬ R)
¬ A(P1, P2, … , Pn)
¬ B( P1, P2,
A *( ¬ P1, ¬ P2, … , … , Pn) B *( ¬ P1, ¬ P2, …
¬ Pn)
, ¬ Pn)
故 A *( ¬ P1, ¬ P2, …
, ¬ Pn) B *( ¬ P1, ¬ P2, …
, ¬ Pn)永真
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5、对偶原理
定理2：(对偶原理）若A B, 且A , B为命题变元P1, P2,.., Pn及 联结词∧ , ∨ , ¬ 构成的公式, 则A* B*。
证明：A B意味着 A(P1, P2, …, Pn) B(P1, P2, …, Pn) 永真 所以 ¬ A(P1, P2, … , Pn) ¬ B( P1, P2, … , Pn)永真 由定理1知
第二讲
重言式
4. 命题公式变换规则
代入规则 替换规则 传递规则 重言式 矛盾式 偶然式 可满足式 非永真式
讲授内容： 1. 重言式
2. 恒等式
恒等式 恒等式的验证 常用恒等式
5. 对偶原理
对偶公式 基本定理
3.永真蕴含式
永真蕴含式 永真蕴含式证明 常用永真蕴含式
1
讲授重点：恒等式、恒等变换
讲授难点：恒等式与永真蕴含式证明 （方法：利用常用公式形式化证明）
例1：P (P → Q) Q
证：①若P (P → Q)为真，则P为真， P → Q也为真， 所以Q为真。
②若Q为假，则
P为真，所以 P → Q为假，故P (P → Q)为假 P为假，则P (P → Q)为假
9
3、永真蕴含式
3）常见永真蕴含式
表 1.2 – 2 永真蕴含式
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4、代入规则和替换规则
使用代入规则，以 ¬ Pi 代替 Pi, 1≤i≤n, 得 A*(P1, P2, …, Pn) B*(P1, P2, …, Pn) 永真 所以 A* B*
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5、对偶原理
定理3：如果A B, 且A , B为命题变元P1, P2, … , Pn及联结词
∧ , ∨ , ¬ 构成的公式, 则B* A*。 证明：A B意味着 A(P1, P2 , … ,Pn)→B(P1, P2, …. , Pn)永真, 由E24可知 ¬ B(P1, P2, … , Pn)→ ¬ A (P1, P2, … , Pn)永真， 由定理1知 B *( ¬ P1, ¬ P2, …, ¬ Pn) → A *( ¬ P1, ¬ P2, …, ¬ Pn)永真 使用代入规则，以 ¬ Pi 代替 Pi, 1≤i≤n, 得 B*(P1, P2, …, Pn) → A*(P1, P2, …, Pn) 永真 故 B* A*。
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作业：P14 习题1.2 1 (2) , (5) , (8) , (10) , (13) 、 2 (2) ,(5)、 3 (3)、 7 (3)、 8 (2)、 11
20
6
7
3.永真蕴含式
定义：如果A →B是永真式，称为永真蕴含式，记为A B，
读作“A永真蕴含B”。
1） “”和“→”区别
“”：表示永真蕴含关系， “→”是逻辑联结词。 联系：A B iff A →B 为重言式
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3.永真蕴含式
2）A B的证明方法
①真值表法 ②假定前件为真，若能推出后件为真，则此蕴含式为真。 ③假定后件为假，若能推出前件为假，则此蕴含式为真
1）“ ”与“”区别
：关系，表示A与B有逻辑等价这个关系， A B 不是命题公式 “”:是逻辑联结词， A B是命题公式。 联系：A B iff A B为重言式
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2. 恒等式
2）恒等式的证明
①真值表法（对同一指派，A、B真值是否相同） ②用基本恒等式证明
3）常见恒等式
表 1.2 - 1 逻 辑 恒 等 式
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4、代入规则和替换规则
例3 : 证明： A →( B → A ) ¬ A →(A→ ¬ B) 证：
A →( B → A ) ¬ A ( B → A )
E14
E14和替换规则 E6 E4 E14和替换规则
¬ A (¬ B A) (¬ A ¬ B) A A (¬ A ¬ B) A (A→ ¬ B) ¬(¬ A) (A→ ¬ B) ¬ A →(A→ ¬ B)
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4、代入规则和替换规则
3. 传递规则：若A B，B C 则 A C; 若A B, B C 则A C。
证：1）因为A B、B C，故A B永真，B C永真，
所以A C永真，即A C。 2）因为A B、B C，有A → B永真、B→C 永真， 所以 (A → B) ( B → C)永真， 由公式 I6 得A → C永真，即A C。
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1. 重言式
定义1：设 A(P1, P2, …, Pn)是由P1, P2, …, Pn这n 个命题变元构成的命题公式，如果
1) 对于所有指派，A取值均为真，则A为重言式(或永真式）。 如： ¬P P , 2) 对于所有指派，A取值均为假，则A为矛盾式（或永假式）。 如： ¬P P 3) A即不是永真式，也不是永假式，称A为偶然式。 如： P Q
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1. 重言式
4）至少存在一个指派，使A为真，则称A为可满足的。 如： P Q 5）至少存在一个指派，使A为假，则称A为非永真。 如：P Q
由上述定义，可知： ① A为重言式，iff ¬A为矛盾式； ② 若A、B为重言式，则 (A B), (A B), (A → B),(A B)都是重言式。
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2. 恒等式
定义：设A: A(P1, P2, …, Pn), B: B(P1, P2,…, Pn)是 两个命题公式，对 P1, P2, …, Pn的所有指派，A和B真 值相同（即A B为重言式），称A与B逻辑等价，记为A B,读作“A恒等于B”或“A等价于B”。 A B，它又称为逻辑等价式
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4、代入规则和替换规则
2.替换规则
定义：如果X是合式公式A的一部分，且X本身也是一个 合式公式，则称X为公式A的子公式。 替换规则：设X是合式公式A的子公式，若X Y,如果将A 中出现X的地方，替换以Y（不必处处）， 所得到的公式B与公式A等价，即A B。 这条规则之所以正确是由于对相应变元的任一种指派， X与Y真值相同，故以Y取代X后，B在相应指派下真值与A相 同，所以B A。
为命题公式的变换、推理作准备
1.代入规则：重言式中某个命题变元出现的每一处 均代入以同一公式后, 所得的仍是重言式。 理由：重言式之值不依赖于变元的值。
注意：仅对重言式进行代入运算！
对于非重言式，利用上述代入规则作代入运算， 所得的公式性质如何？
---对非重言式代入规则不适用！
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4、代入规则和替换规则
重言式代入规则验证： 例2 : P → Q ¬P Q 是重言式 用(R Q)代替P,得(R Q) → Q ¬(R Q) Q仍是 重言式 根据代入规则，可以由基本恒等式和永真蕴含式导出无 穷多的恒等式和永真蕴含式。 偶然式代入规则验证： 例2： P Q P Q是偶然式 用 ¬Q 代替 P,得到¬Q Q，是重言式； 用 (RS) 代替 P,得到 (RS) Q，是偶然式。 对非重言式代入规则不适用！