连续函数及连续函数的性质

连续函数及连续函数的性质张柏忱数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 ***********摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。

这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。

于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。

关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、一． 连续函数概念已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f ax ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。

但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。

定义 设函数f(x)在U(a)有定义。

若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即)()(lim a f x f ax =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。

函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。

因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。

用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x )|,|:|,0,0εδδε<<-∀>∃>∀⇔有a x x将（1）式极限改写为、0)]()([lim =-→a f x f ax （2） 设x a x x x a x ∆-=∆∆+=.或称为自变数a x 在的改变量。

设),()()()(a f x a f a f x f y -∆+=-=∆y ∆称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→∆⇔→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0=∆⇔→∆y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。

若))0()()(lim )(0()()(lim -==+==-+→→a f a f x f a f a f x f ax a x则称函数a x f 在)(右连续（左连续）。

根据2.3定理3，有a x f a x f 在连续在)()(⇔既右连续又左连续或)()(lim )(lim )()(lim a f x f x f a f x f ax a x a x ==⇔=-+→→→. 定义 若函数)(x f 在区间I 的每一点都连续（若区间I 左（右）端点属于I 函数)(x f 在左（右）端点右连续（左连续）），则称)(x f 在区间I 连续。

二． 间断点及其分类定义 若函数a x f 在)(不满足连续定义的条件，则称函数)()(x f a a x f 是函数间断（或不联系），在的间断点（或不连续点）。

定 义 设函数)()(a U x f 在邻域有定义。

1）若)0()0()()0()0(+=-≠+=-a f a f a f a f a f 或，但)(a f 无意义，则称a 是函数)(x f 可去间断点；2）若)0()0(+-a f a f 与皆存在，且)0()0(+≠-a f a f ，则称)(x f a 是函数的第一类间断点；3）若)0()0(+-a f a f 与之中有一个不存在或发散到∞，则称a 是函数)(x f 的第二类间断点。

点)(x f a 是函数的可去间断点的特征是)()(,)(lim a f a f A A x f ax 或但≠=→无意义。

因此，当可去间断点仅有有限个时，人们可改变函数a x f 在)(的极限值或补充函数a x f 在)(的值，使)()(lim a f x f ax =→，则 ⎪⎩⎪⎨⎧==≠=→a x a f x f a x x f x F ax ),()(lim ),()( 这样新函数a x F 在)(就连续了。

而函数)()(x F x f 与仅在个别的可去不连续点上有差别，二者在分析性质上（如可积性等）无重大差异，在讨论这样的函数性质可同等对待，者就是“可去”二字的含意。

可去间断点也认为属于第一类间断点。

例3点0是函数x x x f /sin )(=的可去间断点。

事实上，已知x x x /sin lim 0→，即 ,1)00()00(=-=+f f但点0不属于函数x x x f /sin )(=的定义域，而)0(f 无意义。

于是，点0是函数x x x f /sin )(=的可去间断点。

补充点0的函数值为1，即⎪⎩⎪⎨⎧==≠=→.0,1/sin lim ,0,/sin )(0x x x x x x x F x 于是，函数x x x F /sin )(=在点0就连续了。

称)()(x f x F 是在点0的连续开拓。

例4点0是函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=的第一类间断点0,1,0,00,1sin x x x x 。

事实上，已知,1sgn lim )00(0==++→x f x 1sgn lim )00(0-==--→x f x 即)00()00(-+f f 与都存在。

且).00()00(+≠-f f 从而点0是函数x sgn 的第一类间断点。

例5狄利克雷函数⎩⎨⎧=是无理数，当是有理数当x x x D 0,1)( R x ∈∀都是间断点，而且每个点都是第二类间断点。

事实上，R x ∈∀ 不讨论x 时有理数或无理数，存在有理数列{})(,∞→→n x r r n n 使，也存在无理数列{})(,∞→→n x a a n n 使，有11lim )(lim ==∞→∞→n n n r D ， 00lim )(lim ==∞→∞→n n n a D . 即)(x D 在任意点x 都不存在极限，于是，每一点R x ∈都是第二类间断点。

注 关于函数的间断点，自然要问：1）是否存在函数)(),(,),(:)(x f b a R b a x f 的使属于→所有间断点在),(b a 稠密，而且都是第一类间断点？2) 是否存在函数)(),(,),(:)(x f b a R b a x f 的使属于→所有间断点在),(b a 稠密，而且都是第二类间断点？这个问题的回答是肯定的。

例如，黎曼函数),()(b a x R 在中每个无理点都连续，而在),(b a 中每个有理点都是间断点，且在),(b a 稠密，而且是第一类间断点。

再例如，狄利克雷函数R x x D ∈∀),(都是间断点，当然间断点在R 稠密，而且每个点都是第二类间断点。

三． 连续函数的局部性质根据极限四则运算定理及函数连续的定义，立即可得连续函数的四则运算定理。

定理1 若函数a x g x f 都在与)()(连续，则它们的和，差，积，商函数)()(x g x f ±，)()(x g x f ，)(/)(x g x f ，（0)(≠x g ）在a 也连续。

由复合函数求极限定理及函数连续的定义，立即可得复合函数连续性的定理。

定理2 若函数a x y 在)(ϕ=连续，且)(a b ϕ=，而函数)(y f z =在b 连续，则复合函数a x f z 在)]([ϕ=连续。

证明 已知b y f z 在)(=连续，即ηηε<-∀>∃>∀|:|,0,0b y y ，有ε<-|)()(|b f y f又已知a x y 在)(ϕ=连续，且)(a b ϕ=，奇对上述，有.|||)()(|ηϕϕ<-=-b y a x于是，δδηε<-∀>∃>∃>∀|:|,0),0(,0a x x 从而，有（从而,|||)()(|ηϕϕ<-=-b y a x ）.|)()(||)]([)]([|εϕϕ<-=-b f y f a f x f已知指数函数R a a y f y 在)0()(>=连续，正弦函数R x y 在sin =连续，从而它们的复合函数x a x f sin )(sin =在其定义域R 也连续。

与极限的局部保号性类似，有连续函数的局部保号性定理。

定理3（局部保号性） 若函数a x f 在)(连续，且),0)((0)(<>a f a f 则,|:|,0δδ<-∀>∃a x x 有).0)((0)(<>a f x f证明 已知0)()(lim >=→a f x f ax ，即δδ<-∀>∃>∃|:|,0,02/)(a x x a f ，有 2/)(|)()(|a f a f x f <- 或 ).(2/)()(x f a f a f <-于是，δ<-∀|:|a x x ，有.02/)(2/)()()(>=->a f a f a f x f同法可证：0)(<x f 的情况。

四． 闭区间连续函数的整体性质闭区间的连续函数有几个理想的整体性质，这些性质的几何意义都十分明显。

它们的证明要用到实数的连续性。

定理4（有界性） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 有界，即],[,0b a x M ∈∀>∃，有.|)(|M x f ≤一般来说，开区间（或半开区间）的连续函数不一定有界。

例如，在半开区间]1,0(，连续函数x x f /1)(=无界。

定理5（最值性） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 能取到最小值m 与最大值M ，即],[,21b a x x ∈∃，使m x f =)(1与M x f =)(2，且],[b a x ∈∀，有M x f m ≤≤)(一般来说，开区间连续函数可能取不到最大值或最小值。

例如，函数x x f =)(在开区间)1,0(既取不到最大值，也取不到最小值。

引理 （零点定理） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且0)()(<•b f a f （即)(a f 与)(b f 异号）。

则在区间),(b a 至少存在一点c ，使.0)(=c f引理的几何意义是，在闭区间],[b a 的连续曲线)(x f y =，且连续曲线的始点))(,(a f a与终点))(,(b f b 分别在x 轴的两侧，则此连续曲线至少与x 轴有一个交点。

定理6（介值性） 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，m 与M 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 的最小值与最大值，ξ是m 与M 之间任意数（即M m ≤≤ξ），则在闭区间],[b a 至少存在一点c ，使得ξ=)(c f证明 如果M m =，则函数)(x f 在],[b a 是常数。

显然，定理成立。

如果M m <，根据定理5，闭区间],[b a 上必存在两点1x 与2x ，使m x f =)(1，M x f =)(2。