反函数 高中数学
高考数学中的函数逆定理分析
高考数学中的函数逆定理分析作为高中三年中最重要的考试之一，高考对于很多学生来说都是非常压力和困难的。
而其中数学科目尤其令人头痛，因为其涉及到各种复杂的概念和公式。
其中一个非常重要的议题就是函数逆定理，它在高考数学中扮演了重要的角色。
因此，在这篇文章中，我将会详细地分析函数逆定理，以便对于想要成功通过高考的学生有所帮助。
1. 函数逆定理是什么？在高中数学中，函数逆定理指的是函数反函数的存在条件和具体求解方法。
也就是说，当给定一个函数 y=f(x) 的时候，我们可以通过其反函数 x=f⁻¹(y) 来解决一些实际问题。
因此，函数逆定理的研究也就变得非常有意义。
2. 函数逆定理的存在条件在研究函数逆定理之前，我们需要了解其存在条件。
具体地说，函数 y=f(x) 的反函数 x=f⁻¹(y) 存在的条件是：（1）函数 f(x) 是单射函数，也就是在定义域 X 上，对于任意的 x₁、x₂，当 f(x₁)=f(x₂) 时，有 x₁=x₂。
（2）函数 f(x) 是满射函数，也就是在值域 Y 上，对于任意的y∈Y，都有至少一个 x∈X，使得 f(x)=y。
（3）函数 f(x) 是连续函数，也就是在定义域 X 上，函数 f(x) 不存在间断点或跳跃点。
通过以上条件，我们可以理解到函数逆定理的存在性是非常严格的，需要符合苛刻的数学条件才行。
3. 函数逆定理的求解方法在了解函数逆定理的存在条件之后，我们就可以着手求解其具体方法了。
在这里，我们将通过几个例子来详细展示函数逆定理的求解方法。
（1）例子一：求解函数 y=2x-1 的反函数。
解答：根据函数逆定理的定义，我们可以令 y=2x-1，也就是说，x=(y+1)/2。
因此，函数 y=2x-1 的反函数为 x=(y+1)/2。
（2）例子二：求解函数 y=sin(x) 的反函数。
解答：由于函数 y=sin(x) 在整个定义域（即实数集合）内都不是单射函数，因此它没有反函数。
高中数学-学生-反函数
【能力提高】
1.抽象符号 的理解和应用
（1）符号 表示函数f(x)的反函数； 不是表示函数 的反函数，而是表示在 中以 代替x所得到的函数
（2）函数y=f(x)与函数 的图像关于y=x对称；函数 与函数x=f(y)的图像关于y=x不对称，而是相同图像；函数y=f(x)与x=f(y)的图像不同，而是关于直线y=x对称
（1）若y=f(x)为单调递增函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点必在直线y=x上
（2）若y=f(x)是单调递减函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点可能不都在y=x上
例12在 五个点中，函数 的图像与其反函数
的图像的公共点可能是（多选题）（）
A P B Q C M D N E G
例13已知函数 ，其反函数为
例10已知函数 ，函数y=g(x)的图像与函数 的图像关于直线y=x对称，求g(5)的值
例11已知函数y=g(x)的图像过点（4，5），且在R上单调递增；若函数 存在反函数，求实数 的取值范围
2.函数与反函数图像的交点问题
函数y=f(x)的图像若与直线y=x相交，则其反函数的图像也必须与直线y=x交于此点；但函数y=f(x)与其反函数 的图像的交点未必都在直线y=x上
1.反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A.如果对于A中任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x)成立，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记为 .习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
【注】（1）反函数存在性问题：不是所有的函数都存在反函数：一个函数存在反函数的充要条件是确定这个函数的对应是从定义域到值域上的一一对应
高中数学如何利用反函数求解方程
高中数学如何利用反函数求解方程在高中数学学习中，解方程是一个重要的内容。
而利用反函数求解方程是一种常见的解题方法，它可以帮助我们更快地找到方程的解。
本文将以具体的题目为例，介绍如何利用反函数求解方程，并探讨此题的考点和解题技巧。
首先，我们来看一个简单的例子：求解方程2x+1=5。
要利用反函数求解这个方程，我们需要先将方程转化为反函数的形式。
观察方程，我们可以发现x的系数是2，常数项是1，而等式右边是5。
根据反函数的定义，我们可以将方程改写为f(x)=2x+1和g(x)=5两个函数的关系。
其中，f(x)是原函数，g(x)是反函数。
接下来，我们需要找到f(x)和g(x)的关系。
由于f(x)和g(x)是反函数，它们的自变量和因变量互换，即f(g(x))=x和g(f(x))=x。
将f(x)=2x+1和g(x)=5代入这两个等式中，我们可以得到2g(x)+1=x和5f(x)+1=x两个方程。
现在，我们可以利用这两个方程求解原来的方程2x+1=5了。
将2g(x)+1=x代入2x+1=5中，得到2(5)+1=x，化简得到x=11。
同样地，将5f(x)+1=x代入2x+1=5中，得到5(2x+1)+1=x，化简得到x=9/4。
通过利用反函数，我们成功地求解了方程2x+1=5，得到了两个不同的解x=11和x=9/4。
这个例子展示了如何利用反函数求解方程的步骤和方法。
那么，利用反函数求解方程的考点是什么呢？首先，我们需要理解反函数的概念和性质。
反函数是指满足f(g(x))=x和g(f(x))=x的两个函数之间的关系。
其次，我们需要掌握将方程转化为反函数形式的技巧。
通过观察方程的系数和常数项，我们可以将方程转化为两个函数的关系，从而利用反函数求解方程。
最后，我们需要熟练运用反函数的性质解题。
通过将反函数代入原方程，我们可以得到新的方程，从而求解出方程的解。
利用反函数求解方程的方法不仅适用于简单的一元一次方程，还可以推广到更复杂的方程类型。
高中数学三角函数反三角函数关系
高中数学三角函数反三角函数关系在高中数学中，三角函数和反三角函数是一个重要的知识点。
它们之间存在着密切的关系，掌握了这种关系，可以帮助我们更好地理解和应用三角函数和反三角函数。
一、正弦函数和反正弦函数的关系正弦函数是一个周期为2π的函数，定义域为实数集，值域为[-1,1]。
反正弦函数是正弦函数的反函数，即y=sin(x)的反函数，记作y=arcsin(x)。
正弦函数和反正弦函数的关系可以用下面的例子来说明。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，斜边的长度为5。
我们想知道这个三角形的另一条直角边的长度是多少。
根据三角函数的定义，我们知道正弦函数可以表示为sinθ=对边/斜边。
在这个例子中，对边的长度为3，斜边的长度为5，所以sinθ=3/5。
为了求出θ的值，我们可以使用反正弦函数。
将sinθ=3/5代入反正弦函数中，即arcsin(3/5)=θ。
通过计算，我们可以得到θ的值为约36.87°。
所以，根据三角函数和反三角函数的关系，我们可以得出这个三角形的另一条直角边的长度为约3.61。
二、余弦函数和反余弦函数的关系余弦函数是一个周期为2π的函数，定义域为实数集，值域为[-1,1]。
反余弦函数是余弦函数的反函数，即y=cos(x)的反函数，记作y=arccos(x)。
余弦函数和反余弦函数的关系可以用下面的例子来说明。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为4，斜边的长度为5。
我们想知道这个三角形的另一条直角边的长度是多少。
根据三角函数的定义，我们知道余弦函数可以表示为cosθ=邻边/斜边。
在这个例子中，邻边的长度为4，斜边的长度为5，所以c osθ=4/5。
为了求出θ的值，我们可以使用反余弦函数。
将cosθ=4/5代入反余弦函数中，即arccos(4/5)=θ。
通过计算，我们可以得到θ的值为约36.87°。
所以，根据三角函数和反三角函数的关系，我们可以得出这个三角形的另一条直角边的长度为约3。
高中数学-反函数例题选讲
高中数学-反函数例题选讲【例1】求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤，得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤，x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜，故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1，由＝－，得反函数＝＋＋≥－．函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2．4－2所示．【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值．解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠，31x x a ++若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x (2)f(x)f (x)x 1若＝，即＝对定义域内一切的值恒成立，-++--3113x x a ax x 令x ＝0，∴a ＝－3．或解 由f(x)＝f -1(x)，那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x ≠a ，x ∈R }，值域y ∈{y|y ≠3，y ∈R }，∴－a ＝3即a ＝－3．【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身．解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0．事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0．【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数．解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数＝，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关 系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12 【例7】已知∈，且≠，≠．设函数＝∈且≠，证明＝的图像关于直线＝对称．a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由＝，≠，≠，得－＝－，如果－＝，则＝，∴＝得＝，这与已知≠矛盾，x ax aa x ax ----111111 ∴－≠，故＝，∴＝，即证得＝的反函数就是它本身．ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝f(x)的图像关于直线y ＝x 对称．。
高中数学知识点题库 021反函数
1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则f －1(x )的定义域是 ( )A ．(0,1)B ．[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．R 答案：C解析：由x ≥1，得log 2x ≥0，∴y ＝log 2x ＋3≥3，∵反函数的定义域就是原函数的值域， ∴f －1(x )的定义域为[3，＋∞)．题干评注：反函数问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
2．函数f (x )＝2x ＋1的反函数的图象大致是 ( )答案：A解析：由y ＝2x ＋1得x ＋1＝log 2y ，x ＝log 2y －1(y >0)，即函数f (x )＝2x ＋1的反函数是f －1(x )＝log 2x －1(x >0)，注意到函数f －1(x )在(0，＋∞)上是增函数，结合各选项知，选A.题干评注：反函数问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
3．函数y ＝ln x ＋1x －1，x ∈(1，＋∞)的反函数为 ( )A ．y ＝e x －1e x ＋1，x ∈(0，＋∞)B ．y ＝e x ＋1e x －1，x ∈(0，＋∞)C ．y ＝e x －1e x ＋1，x ∈(－∞，0)D ．y ＝e x ＋1e x －1，x ∈(－∞，0)答案：B解析：由y ＝ln x ＋1x －1得x ＝e y ＋1e y －1，∵x >1，∴e y ＋1e y －1>1，∴2e y －1>0，e y >1，∴y >0， 因此y ＝ln x ＋1x －1的反函数为y ＝e x ＋1e x －1，x ∈(0，＋∞)．题干评注：反函数问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。
高中数学-教师-对数函数反函数
教师
班级
学生
日期
上课时间
学生情况：
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主课题：反函数
教学目标：1.通过实际问题导出反函数的概念
2.会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的反函数）
3．掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学重点：1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、值域的关系
函数 的定义域是它的反函数 的值域；函数 的值域是它的反函数
的定义域
函数
反函数
定义域
Dห้องสมุดไป่ตู้
A
值域
A
D
2. 反函数的求法
求反函数 的三个步骤：
（1）倒解方程（由 解出x）
（2）交换字母x，y（在上述表达式中将x，y互换）
（3）注明定义域（反函数的定义域是原函数的值域）
知识点一：求原函数的反函数
例1求下列函数的反函数
一般地，对于函数 ，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使 ，这样得到的x关于y的函数叫做 的反函数，记作 .在习惯上，自变量常用x表示，而因变量用y表示，所以把它改写为 （ ）
从反函数的概念可知：如果函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 ，这就是说函数 与 互为反函数.
2. 掌握求原函数反函数的一般方法
3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
4.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学难点：1. 掌握求原函数反函数的一般方法
2. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
1.3 反函数-人教版高中数学必修一教案
反函数教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系化了对概念的理解和掌握教学目的：1.掌握反函数的概念和表示法，达到会求一个函数的反函数2.使学生直观上了解互为反函数的函数图象间的关系3.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：1.反函数的定义及理解2.反函数的求法教学难点：1.反函数的定义及理解2.求解反函数注意原函数与反函数的关系。
（特别是反函数的定义域）授课类型：新授课课时安排：课时一、问题引入：1.画出2(0)y x x =≥的图像。
2.思考y x =的图像。
猜想分析二者关系：在2(0)y x x =≥，反解该式得2,0x y x x y =≥∴=，该函数图像和2(0)y x x =≥一样，当我们将,x y 互换后得到y x =，即图像关于y x =对称，我们得到y x =的图像，那么在该过程中你能发现些什么呢？二、讲解新课： 反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是，根据这个函数中的关系，用把表示出，得到ϕ(). 若对于在中的任何一个值，通过ϕ()，在中都有唯一的值和它对应，那么，ϕ()就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数ϕ() (∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=书上的两个例子：记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为v tt f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f .探讨：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨：互为反函数定义域、值域的关系 从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域到值域的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合到集合的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x f y -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x f y -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：函数)(x f y = 反函数)(1x f y -=定义域 值 域探讨：)(1x f y -=的反函数是？[来源:] 若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数三、讲解例题：例．求下列函数的反函数：①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且.解：①由13-=x y 解得31+=y x∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=，②由)(13R x x y ∈+=解得31-y ,∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-= ③由x 解得2)1(-y ,∵≥，∴≥.∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是2)1(-y (≥);④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵ {∈≠}，∴∈{∈≠} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例．求函数 211x y --=（-<<）的反函数解：∵-<<∴<2x <∴<-2x < ∴<21x -<∴ < < 由：211x y --=解得：22y y x --= (∵-< < )∴211x y --=(-< < )的反函数是：22x x y --=(<< )例．已知)(x f 2x (≥),求)(1x f-.解法：（步骤）令2x ，解此关于的方程得2442yx +±=，∵≥，∴，即y +1①,（步骤）∵≥，由①式知y +1≥，∴≥②, （步骤）由①②得)(1x f-x +1（≥，∈）；解法：（步骤）令2x 2)1(-x ，∴2)1(-x ，∵≥，∴≥，∴y +1①,即y +1, （步骤）∵≥，由①式知y +1≥，∴≥,（步骤）∴函数)(x f 2x (≥)的反函数是)(1x f-x +1（≥）；求反函数是本课的重点，例、①②③④问可以让学生自己在解题后归纳一般步骤。
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1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕.1.函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数 解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换， ∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）.答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________.解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x=31，解得x =1. ∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便.【例】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.1.函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是A.y =x 2－2x +2（x ＜1）B.y =x 2－2x +2（x ≥1）C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）2.记函数y =1+3－x 的反函数为y =g （x ），则g （10）等于A.2B.－2C.3 D .－1 3.函数y =e 2x （x ∈R ）的反函数为A.y =2ln x （x ＞0）B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0） D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 4.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a yy-+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log axx-+11＞1. 当a ＞1时，原不等式⇒x x-+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1. 当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或 ∴－1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）5.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）.（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1. ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0.∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数.小结：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）. ③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）.1.求下列函数的反函数：(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝≤．＝－≤≤－＜≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪4 反函数·基础练习(一)选择题1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是[ ]A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2[ ]A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2)B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2)C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1)D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2．＝和＝．＝和＝x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2．＝和＝≠．＝≥和＝≥3131311x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是y ＝－，那么另一个函数是x -1[ ]A ．y ＝x 2＋1(x ≤0)B ．y ＝x 2＋1(x ≥1)C ．y ＝x 2－1(x ≤0)D ．y ＝x 2－1(x ≥1)7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点[ ]A ．(a ，f -1(a))B ．(f -1(b)，b)C ．(f -1(a)，a)D ．(b ，f -1(b))8．设函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，则函数y ＝f(－x)的反函数是[ ]A ．y ＝g(－x)B ．y ＝－g(x)C ．y ＝－g(－x)D ．y ＝－g -1(x)(二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x ．函数＝＋的反函数是．．函数＝＞与函数＝的图像关于直线＝对称，x x ++2121解f(x)＝________．3．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________， b ＝________．4y (1x 0)．函数＝－＜＜的反函数是，反函数的定92-x 义域是________．5．已知函数y ＝f(x)存在反函数，a 是它的定义域内的任意一个值，则f -1(f(a))＝________．6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1．函数＝的反函数的值域是．．函数＝≥－＜的反函数是：．．函数＝＜－，则－＝．121121232x x x x---⎧⎨⎪⎩⎪--参考答案(一)选择题1．(C)．解：函数y=－x 2(x ≤0)的值域是y ≤0，由y=－x 2得x=－－，∴反函数－－≤．y x f (x)=(x 0)1-2．(D)．解：∵y=－x 2－2x=－(x ＋1)2，x ≥0，∴函数值域y ≤0，即其反函数的定义域为x ≤0．3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2．．解：∵－＋，≥，∴函数值域≥，由－＋1，得反函数f －1(x)=(x －1)2＋1，(x ≥1)．4．(B)．解：(A)错．∵y=x 2没有反函数．(B)中如两个函数互为反函数．中函数＋－≠的反函数是＋－≠而不是＋－．中函数≥的值域为≥．应是其反函数的定义域≥．但中的定义域≥，故中两函数不是互为反函数．(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f -1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x 2＋1(x ≥0)的图像与y 轴有交点，但其反函数－≥的图像与轴没有交点．∴错．f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12．．解：∵函数－－的值域≤；其反函数＋x 1-＋1(x ≤0)．选(A)．7．(D)．解：∵点(a ，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b ，a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上，而a=f -1(b)，故点(b ，f －1(b))在y=f -1(x)的图像上．选(D)．8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f -1(x)=－g(x)，∴选(B)．(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2．解：∵函数＋＋的值域≥，其反函数－＋x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1)．解：＋＞的值域＜，其反函数－＜．3y =4x b y =14x x =ax ．解：函数－的反函数是＋，则＋＋，b b41443比较两边对应项系数得，．a =14b =124y =9x (1x 0)y (223)2．解：函数－－＜＜的值域∈，，反函数f -1 (x)=(223)－－．反函数的定义为，．92x5．a6．[0，2)∪(2，＋∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122．＋≥－＜-⎧⎨⎪⎩⎪8．－2作业一、 选择题1、 已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( ) A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x yC 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x yD 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3。