反函数与反三角函数
03.反函数_复合函数与初等函数
x3
也就是说：两个函数复合时， 也就是说：两个函数复合时，内层函数 与 外层函数 的 次序不可颠倒 ！
（2） 两个以上函数，在可复合的条件下，可以进行有次序的多次 ） 两个以上函数，在可复合的条件下， 复合。例如： 复合。例如：
y = sin x, y = arctgx 与 y = x 2 + 1 按照先后次序可以复合 成：
§4.复合函数与初等函数 复合函数与初等函数 1. 复合函数概念 1）定义 给定函数 u = f ( x )，x ∈ D 和 y = g ( u )，u ∈ U . ） 假定 Z ( f ) ⊆ U .现在以前一函数的定义域 D 作为 新的定义域 ， 现在以前一函数的定义域 如下： 并定义 新的对应规律 如下：对于任意的 x ∈ D , 先令唯一的 u = f ( x ) 与之相对应，因为这里 u ∈ Z ( f ) ⊆ U 与之相对应， 所以再可令唯一的 y = g ( u ) 与 x 最后相对应 ， 即 : x → u → y . 这样定义出的 新函数 被称为原函数 u = f ( x )，x ∈ D 与 y = g ( u )，u ∈ U 的 复合函数，记为 : 复合函数， y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D . 我们称 u = f ( x ) ，x ∈ D 为内层函数 ， y = g ( u ) ，u ∈ U 为 为中间变量。 外层函数 ， u 为中间变量。 由于习惯记法 ， 表示， 表示，因此我们也可说： 函数的自变量总用 x 表示，因变量总用 y 表示，因此我们也可说： 当 Z ( f ) ⊆ U 时 ， y = f ( x )， x ∈ D 与 y = g ( x )， x ∈ U 可以 复合成 复合函数 : y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D .
第34讲 反函数与反三角函数
第十五讲 反函数与反三角函数一、 知识要点1．反函数的定义设定义在数集A 到数集B 上一个函数()y f x =,如果对于B 的任意一个元素x ,在对应关系g 下,A 中都有唯一存在的元素y 与之对应,则称函数()y g x =是函数()y f x =的反函数,同时也称()y f x =是函数()y g x =的原函数．2．反函数的表示：一般地，反函数()y g x =记作: 1()y f x -= (读作f 逆x )．3．由反函数的定义，我们可以知道一些重要结论：(1)原函数的定义域应该是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域；(2)数集A 到数集B 的映射必然为双射；(3)1(())f f x x -=；1(())f f x x -=；(4)互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称；(5)若连续函数()y f x =存在反函数，则必然是单调函数；(6)互为反函数的两个单调函数，单调性相同．4．求反函数步骤：(1)先计算函数()y f x =的值域；（2）反解；（3）替换字母．5．三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以研究三角函数的反函数了．(1)反正弦函数①定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数,记为：arcsin y x =([]1,1x ∈-)这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ,即②反正弦函数的性质：(a) 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2]． (b) 在定义域上单调增；(c) 是[－1，1](d)y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2])的图象关于y ＝x 对称； (e)arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：(2)．反余弦函数 (仿反正弦函数的情况可以得到)①定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1,1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ,即 cos(arccos x )＝x ， x ∈[－1，1]②反余弦函数的性质：(a) 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]；(b) 在定义域上单调减；(c)是[－1，1] arccos(－x )＝π－arccos x ， x ∈[－1，1](d)y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称．(e)arccos(cos x )的值及 arccos(cos x )＝x ， x ∈[0，π] ．(3)反正切函数①定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2))的反函数就是反正切函数， 记为y ＝arctan x (x ∈R)．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2)内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即tan(arctan x )＝x ， x ∈R②反正切函数的性质：(a) 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2 )； (b)在定义域上单调增；(c) 是R arctan(－x )＝－arctan x ， x ∈R(d)y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2))的图象关于y ＝x 对称； (e) arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：arctan(tan x )＝x ， x ∈(-π2 ，π2) （3）反余切函数 请根据上面的内容自己写出．二、习题演练例1．已知3sin ()2x x ππ=<<，求x (用反三角函数符号表示).例2．已知tan 2α=-，(1),22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(2) ()0,2απ∈；求α．例3．求适合下列关系的x (或者x 的取值集合) (1)21cos ,(,0)9x x n π=∈-+；(2)1sin 12x +=,[]0,2x π∈；(3) 1cos(),262x x R π+=-∈．例4．计算：(1)arccos(cos3)；(2)arccos(cos(4))-；(3) arcsin(cos3)；(4)arctan(cot(4))-．例5．比较各角的大小.(1)18；(2)12arcsin(),arctan(arccos 33⎛⎫-- ⎪⎝⎭．例6．求值：(1)32cos arctan arccos()43⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦；(2)111arccos()arccos 147--．例7．已知arcsin(sin sin )arcsin(sin sin )2παβαβ++-=；求：22sin sin αβ+的值．例8．求证：1111arctanarctan arctan arctan 35784π+++=．例9．求证: 21111arctanarctan arctan arctan 37131n n ++++++．例10．求证：arcsin arccos 2x x π+=．例11．若12,x x 是方程2670x x ++=的两根，求12arctan arctan x x +的值；探究：若12,x x 是方程2230x x ++=的两根，求12arctan arctan x x +的值；探究：若12,x x 是方程2(1)0(0)x mx m m +++=>的两根，求12arctan arctan x x +的值．例12．若12,x x 是方程2sin cos 0x x αα-+=的两根，且0απ<<，求12arctan arctan x x +的值．例13．求函数2()2arccos()2x x f x -=的定义域与值域，单调区间．三、习题演练1．计算：(1)513tan(2arcsin )tan(arctan )1324+；(2)34sin(arcsin arccos )55+ ； (3)33arcsin(sin )arccos(cos )44ππ+；(4)111arctan arctan arctan 258++．2．证明：(1)cos(arcsin )y x =(2)sin(arccos )y x == (3)1tan(arccot )y x x ==,并作它们的图象．3．证明： (1)[]arcsin arccos ,1,12x x x π+=∈-；⑵arctan arccot ,2x x x R π+=∈．4．若arctan tan arctan x arc y z π++=,证明：(1)x ＋y ＋z ＝xyz ；⑵证明：cot[arctan x ＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．5．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－ 54),试比较()()()(),,,f f f f αβγδ的大小．6.求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．7．求函数2()arcsin()f x x x =-的定义域，最值，单调区间．8．求函数cos(2arccos )4sin(arcsin )2x y x =+，求最值．。
高中数学反函数有哪些反三角函数的所有公式
高中数学反函数有哪些反三角函数的所有公式
为了方便大家复习，小编整理了高中数学反三角函数的所有公式供大家
参考。
1反三角函数公式:1、arcsin(-x)=-arcsinx
2、arccos(-x)=π－arccosx
3、arctan(-x)=-arctanx
4、arccot(-x)=π－arccotx
5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
7、当x∈〔—π/2,π/2〕时,有arcsin(sinx)=x
8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x
9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x
10、x∈(0,π),arccot(cotx)=x
11、x〉0,arctanx=arctan1/x,
12、若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 1高中数学反函数：1、反正弦函数：正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[- 1，1]，值域[0，π]
小编推荐:三角函数的8个诱导公式。
反函数和反三角函数
y [ , ]
22
余弦函数 y cos x(x R) 有反函数吗？
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
（1）定义：正弦函数
的反函数
正弦函数 习惯记作
有反函数吗？ (矫正反函数)
1
理解和掌握
符号
正切函数y=tanx在
上有反函数吗？
正弦函数
有反函数吗？
-2· -· o 正切函数
2
,
2
即arcsin
a
2
,
2
.
（2）反正弦函数 y arcsin x, x [1,1]的图象
与性质：
①定义域:[-1，1]。 只有余弦函数主值区间[0，π]上的角才能用反余弦表示
y=cosx,x∈[0，π]
叫反正切函数，记作
(本义反函数)
同一个三角函数值只对应一个角。
②值域: [ , ] ①
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应
许多角。
y
1
· · · · · · 2
-2
-
o
2 3
x
4
2
-1
正弦函数y sin x(x [ , ]) 有反函数吗？
有,因为它是一一对应函2 数2，
同一个三角函数值只对应一个角。
1.反正弦函数
（1）定义：正弦函数 y sin x(x [ , ]) 的反函数
叫反余弦函数，记作 x arccos y (本义反函数)
习惯记作y arccos x (矫正反函数)
x [1,1], y [0, ]
若x a [1,1],有y arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.
三角函数的反函数与反三角函数
三角函数的反函数与反三角函数三角函数是数学中非常重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
而与三角函数紧密相关的概念就是反函数与反三角函数。
本文将详细介绍三角函数的反函数以及反三角函数的性质和应用。
一、三角函数的反函数我们知道，三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
当我们给定一个角度时，三角函数可以计算出该角度对应的值。
而反过来，反函数的作用就是给定一个函数值，计算出对应的角度。
1.1 正弦函数的反函数正弦函数的反函数被称为反正弦函数，记作arcsin或sin^-1。
反正弦函数的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
对于给定的正弦值x，反正弦函数可以计算出对应的角度sin^-1(x)。
1.2 余弦函数的反函数余弦函数的反函数被称为反余弦函数，记作arccos或cos^-1。
反余弦函数的定义域也是[-1, 1]，但值域是[0, π]。
给定一个余弦值x，反余弦函数可以计算出对应的角度cos^-1(x)。
1.3 正切函数的反函数正切函数的反函数被称为反正切函数，记作arctan或tan^-1。
反正切函数的定义域是(-∞, +∞)，值域是(-π/2, π/2)。
对于给定的正切值x，反正切函数可以计算出对应的角度tan^-1(x)。
二、反三角函数的性质反三角函数具有一些特殊的性质，这些性质对于解决一些三角方程和三角关系式非常有用。
2.1 反函数与原函数的关系正弦函数、余弦函数和正切函数的反函数与它们的关系如下：sin^-1(sin(x)) = x，其中x为[-π/2, π/2]的范围内的任意值；cos^-1(cos(x)) = x，其中x为[0, π]的范围内的任意值；tan^-1(tan(x)) = x，其中x为(-π/2, π/2)的范围内的任意值。
2.2 同角三角函数的关系对于同一个角度，不同的三角函数之间有一些特殊的关系：sin(x) = cos(π/2 - x)cos(x) = sin(π/2 - x)tan(x) = 1/tan(π/2 - x)这些关系可以大大简化三角函数之间的计算。
反函数与反三角函数
反函数与反三角函数
1
反函数与反三角函数
一、 反函数
函数 x 定义域 D 例如， 一对一函数 f
y
值域 W
f ( x) x3
y
y x3
g( x ) x 2
y
y x2
同样的y值 1
非一对一函数
o
x
1
o
图1-1(b)
1
x
x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 )
o
图1-3
y x2
x
y x
2 函数 y x , x 0与 y x 互为反函数.
6
反函数与反三角函数
二、反三角数函数 正弦函数
f ( x ) sin x
x
定义域 R
Байду номын сангаас
f
y
值域 [1,1] 不是一对一的
sin( 2n x ) sinx
f ( x ) sin x是一对一的， 当x , 时 ， 所以它有反函数. 2 2
y
y
1
O
y cos x
2
2 y arccos x
x
1 x
O x1
x
图1-5(a)
图1-5(b)
定义域： 1,1
值域： 0,
在定义域内单减.
cosarccosx x,
arccos( x ) arccosx, x 1,1
9
图1-6
10
反函数与反三角函数
反余切函数
y arc cot x
定义域： , 值域： 0, 在定义域内单减.
反函数和反三角函数(最新)
2
2
正切函数 ytanx,x(,) 有反函数吗？ 有,因为它是一一对应函2数2，
同一个三角函数值只对应一个角。 --
3.反正切函数
（1）定义：正切函数
ytanx(x( , )的反函数 22
叫反正切函数，记作 xarctany (本义反函数)
习惯记作 yarctanx(矫正反函数)
xR, y(
反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数
--
一、反函数
--
--
--
二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsixn 2.反余弦函数 arccxos 3.反正切函数 arctaxn 4.反余切函数 arccoxt
--
(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
②这个角的范围是
2
,
2
即arcsina2,2.
--
（2）反正弦函数 yarc x,x s i [ 1 n , 1 ]的图象
与性质： ①定义域:[-1，1]。
②值域: [ , ]
22
y
③单调性: 是增函数。
yarcsinx,x [ 1 ,1 ],y [, ]
2
22
1.5
④奇函数 ⑤有界函数
arccos
0
___2 ___(4)
arccos
1 2
__3____
2
(5) arccos( 1 ) __3 ____(6) arccos 2
2 2
__4 ______
(7) arccos(
2 2
)
3
__4 ______(8)
arccos
三角函数的反函数与反三角函数计算
三角函数的反函数与反三角函数计算在数学中，三角函数是非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
而三角函数的反函数与反三角函数计算则是在解决各种三角函数相关问题时不可或缺的工具。
本文将详细介绍三角函数的反函数和反三角函数的概念，以及如何进行计算。
一、三角函数的反函数三角函数的反函数是指，通过将三角函数的值作为输入，计算出与之对应的角度。
以正弦函数为例，正常情况下我们通过给定一个角度，计算出其对应的正弦值。
而反函数则是给定一个正弦值，计算出其对应的角度。
以正弦函数sin(x)为例，其反函数记为arcsin(x)或者sin^(-1)(x)。
表示为sin^(-1)(x)=y，其中x为正弦函数的值，y表示对应的角度。
当x∈[-1,1]时，arcsin(x)存在唯一的解。
二、反三角函数的计算反三角函数包括反正弦函数（arcsin），反余弦函数（arccos），反正切函数（arctan）等。
它们的定义和使用方法如下：1. 反正弦函数（arcsin）：反正弦函数arcsin(x)的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
我们可以通过输入正弦函数的值，来计算对应的角度。
例如，如果要计算sin^(-1)(0.5)，即要求正弦函数为0.5时，对应的角度。
我们可以使用计算器或查表得到结果，arcsin(0.5)≈π/6，即30°。
2. 反余弦函数（arccos）：反余弦函数arccos(x)的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
与反正弦函数类似，我们可以通过输入余弦函数的值，计算对应的角度。
例如，要计算cos^(-1)(0.5)，即要求余弦函数为0.5时，对应的角度。
可以得到arccos(0.5)≈π/3，即60°。
3. 反正切函数（arctan）：反正切函数arctan(x)的定义域为实数集，值域为[-π/2,π/2]。
我们可以通过输入正切函数的值，计算对应的角度。
例如，要计算tan^(-1)(1)，即要求正切函数为1时，对应的角度。
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反函数与反三角函数
函数是数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在函数中，如果存在一个函数f(x)，它的定义域和值域分别为D和R，那么对于任意的R中的y，都可以找到一个唯一的x∈D，使得f(x)=y。
然而，在实际问题中，我们也经常需要找到一个函数g(y)，使得对于
任意的D中的x，都能找到一个唯一的y∈R，使得g(y)=x。
这时，我
们需要引入反函数的概念。
一、反函数
在函数f(x)中，如果对于任意的x∈D，都能找到一个唯一的y∈R，使得f(x)=y；同时对于任意的y∈R，都能找到一个唯一的x∈D，使得
f(x)=y成立，那么函数f(x)就是可逆的。
我们称满足这个条件的函数
g(y)，为函数f(x)的反函数，并记作g(x)=f^(-1)(x)。
反函数具有以下性质：
1. 函数f(x)和它的反函数g(x)之间是一一对应的关系，即f(x)和g(x)互为反函数。
2. 函数f(x)和它的反函数g(x)关于y=x对称，即它们在坐标系中的
图像关于直线y=x对称。
二、反三角函数
反三角函数是指将三角函数反过来的函数，用来解决三角函数方程的求解问题。
常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，分别用符号sin^(-1)，cos^(-1)和tan^(-1)表示。
1. 反正弦函数 (sin^(-1))
反正弦函数将给定的实数y映射到一个角度x，使得sin(x)=y且-
x/2≤x≤x/2。
反正弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]。
2. 反余弦函数 (cos^(-1))
反余弦函数将给定的实数y映射到一个角度x，使得cos(x)=y且
0≤x≤π。
反余弦函数的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
3. 反正切函数 (tan^(-1))
反正切函数将给定的实数y映射到一个角度x，使得tan(x)=y且-
x/2≤x≤x/2。
反正切函数的定义域为实数集R，值域为[-π/2,π/2]。
通过使用反三角函数，我们可以解决一些与三角函数相关的问题，例如求解三角方程、计算角度值等。
反三角函数在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
总结：
反函数与反三角函数在数学中具有重要的地位和作用。
反函数通过构造一个与给定函数满足双射关系的函数，为我们解决方程和求解问题提供了便利；反三角函数通过将三角函数的定义域和值域反过来，
用于求解三角方程和计算角度值。
熟练掌握反函数和反三角函数的概念和性质，对于理解和应用数学知识具有重要意义。