偏导数 全导数
偏导数
偏导数在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
函数f关于变量x的偏导数写为或。
偏导数符号是圆体字母，区别于全导数符号的正体d。
这个符号是阿德里安-马里·勒让德介入的并在雅可比的重新介入后得到普遍接受。
简介假设ƒ是一个多元函数。
例如：f(x,y) = x2 + xy + y2。
f = x2 + xy + y2的图像。
我们希望求出函数在点（1, 1, 3）的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。
因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。
偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。
通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。
定义这是右图中y = 1时的图像片段。
一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。
例如，欲求出以上的函数在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线，我们把变量y视为常数。
右图中显示了函数的图像以及这个平面。
左图中显示了函数在平面y= 1上是什么样的。
通过求出这个图中的切线，我们发现ƒ在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。
我们把它记为：在点（1, 1, 3），或称“f在（1, 1, 3）的关于x的偏导数是3”。
定义函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数：。
也就是说，每一个x的值定义了一个函数，记为f x，它是一个一元函数。
也就是说：f x(y) = x2 + xy + y2。
一旦选择了一个x的值，例如a，那么f(x,y)便定义了一个函数f a，把y映射到a2+ ay + y2：f a(y) = a2 + ay + y2。
在这个表达式中，a是常数，而不是变量，因此f a是只有一个变量的函数，这个变量是y。
这样，便可以使用一元函数的导数的定义：f a'(y) = a + 2y。
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
多元函数复合函数求导
多元函数复合函数求导
多元函数复合函数求导是一种重要的数学技术，它在许多领域中都具有广泛的应用。
在这个过程中，我们需要使用链式法则和偏导数的知识来解决问题。
首先，我们需要了解复合函数的概念，即将一个函数作为另一个函数的输入。
接下来，我们需要学习如何求解复合函数的偏导数和全导数。
其中，偏导数是多元函数在某个给定方向上的导数，而全导数则是多元函数在所有方向上的导数。
最后，我们需要掌握一些实际问题的求解技巧，例如利用复合函数求导来计算曲线的切线方程和极值点等。
总之，掌握多元函数复合函数求导技术对于高等数学和应用数学领域的学习都是十分重要的。
- 1 -。
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系几个重要的微积分和微分几何概念，包括偏导数、全微分以及方向导数，在微积分和微分几何的应用中极为重要，它们之间的关系也是十分有趣的。
偏导数、全微分以及方向导数，简称为D、E和F，分别可以定义为下面这三个函数：D：偏导数，指的是函数的偏导数；E：全微分，指的是函数的全微分；F：方向导数，指的是函数的方向导数。
广义地说，这三个概念都是函数f(x, y)在某个点(x, y)处的局部变化率，可以用数学表达式来表示这种局部变化。
而这三个概念之间的关系可以从函数极值的角度来理解。
首先，偏导数D可以用来描述函数在某一点(x, y)处的极值情况。
对于函数f(x, y)，如果满足偏导数D在该点处取得最大值，那么就说明该点处的函数值可以取得极大值；如果满足偏导数D在该点处取得最小值，那么就说明该点处的函数值可以取得极小值。
其次，全微分E可以用来描述函数在某一点(x, y)处的抛物线极值情况。
对于函数f(x, y)，如果满足全微分E在该点处取得最大值，那么就说明该点处的函数值可以取得抛物线极大值；如果满足全微分E在该点处取得最小值，那么就说明该点处的函数值可以取得抛物线极小值。
最后，方向导数F可以用来描述函数在某一点(x, y)处的切线极值情况。
对于函数f(x, y)，如果满足方向导数F在该点处取得最大值，那么就说明该点处的函数值可以取得切线极大值；如果满足方向导数F在该点处取得最小值，那么就说明该点处的函数值可以取得切线极小值。
由此可见，偏导数、全微分以及方向导数三者之间的关系，就是它们可以分别用来描述函数在某一点(x, y)处的极值情况，也可以用来表示一阶和二阶变化情况。
偏导数、全微分以及方向导数三者之间的关系，除了可以用来描述函数在某一点(x, y)处的极值情况，还可以用来表示函数f(x, y)在该点处的稳定性和不稳定性。
例如，如果偏导数D，全微分E和方向导数F在某点处取得最大值，则说明该点处的函数可能是稳定的；如果这三个量在某点处取得最小值，则说明该点处的函数可能是不稳定的。
高数大一偏导数知识点归纳
高数大一偏导数知识点归纳一、导数的定义和计算方法在高等数学中，偏导数是一个非常重要的概念。
它描述了一个函数在某一点上的变化率，即函数沿特定方向的斜率。
下面将对偏导数的定义和计算方法进行总结。
1.1 导数的定义偏导数的定义是：对于具有多个自变量的函数，当其中的一个自变量发生微小变化时，其他自变量保持不变，函数值相应地发生变化。
偏导数用来表示函数在这一自变量上的变化率。
1.2 偏导数的计算方法偏导数的计算方法与普通的导数计算方法类似，只需将其他自变量看作常数。
对于一个具有两个自变量的函数f(x, y)，其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
具体计算时，可以使用以下方法来计算偏导数：- 对于一个单变量函数，求导即可得到偏导数。
- 对于一个多变量函数，可以将其他自变量看作常数，并对每个自变量求导。
二、偏导数的性质和应用2.1 偏导数的性质偏导数具有以下性质：- 线性性质：偏导数满足线性运算法则，即和、差的偏导数等于偏导数之和、差的和。
- 交换性：对于函数f(x, y)，其关于x和y的偏导数可以互相交换次序。
- 高阶偏导数：偏导数可以进行多次求导，得到高阶偏导数。
2.2 偏导数的应用- 偏导数可以用于求函数的最大值、最小值等极值问题。
- 在物理学、工程学等领域中，偏导数可以表示变量之间的相互关系和影响。
- 偏导数还可以用于微分方程的求解和函数的泰勒展开等数学问题。
三、常见的偏导数公式3.1 二阶偏导数二阶偏导数是指对一个函数的偏导数再次求导。
在计算二阶偏导数时，需要注意求导的次序，常见的二阶偏导数公式有：- 混合偏导数：对于函数f(x, y)，其混合偏导数可以通过先对一个自变量求偏导数，再对另一个自变量求一次偏导数得到。
- 拉普拉斯算子：表示对函数f(x, y)的二阶混合偏导数之和。
3.2 高阶偏导数在实际问题中，有时需要对一个函数进行多次求导，得到高阶偏导数。
高阶偏导数的计算需要依次对各个变量求导，按照求导的顺序，可以得到各个阶数的偏导数。
多元函数微分学》名师教案,新课+复习,全突破分享
多元函数微分学》名师教案,新课+复习,全突破分享第一章：多元函数的概念与基本性质1.1 多元函数的定义与图形表示1.2 多元函数的极限与连续性1.3 多元函数的偏导数与全导数1.4 多元函数的泰勒公式与极值问题第二章：多元函数的微分学2.1 多元函数的微分概念2.2 多元函数的链式法则2.3 多元函数的偏导数计算规则2.4 多元函数的隐函数求导与参数方程求导第三章：多元函数的积分学3.1 多元函数的二重积分概念3.2 二重积分的计算法则与性质3.3 多元函数的三重积分与四重积分3.4 多元函数的定积分与不定积分第四章：多元函数的极值与优化问题4.1 多元函数的极值概念与判定条件4.2 多元函数的极值求解方法4.3 多元函数的最大值与最小值问题4.4 多元函数优化问题的应用实例第五章：多元函数微分学的应用5.1 多元函数微分学在几何中的应用5.2 多元函数微分学在物理中的应用5.3 多元函数微分学在经济中的应用5.4 多元函数微分学在其他领域的应用第六章：向量分析简介6.1 向量的定义与运算6.2 向量场与散度6.3 向量场的旋度6.4 向量分析的应用第七章：线性代数与多元函数微分学7.1 矩阵与行列式的基础知识7.2 向量空间与线性变换7.3 特征值与特征向量7.4 线性代数在多元函数微分学中的应用第八章：重积分与多重积分8.1 重积分的定义与性质8.2 二重积分的计算法则8.3 三重积分与四重积分8.4 多重积分的应用第九章：曲线与曲面的微分学9.1 曲线与曲面的表示方法9.2 曲线的切线与法线9.3 曲面的切平面与法线平面9.4 曲率与曲率公式第十章：隐函数与参数方程的微分学10.1 隐函数微分学的基本原理10.2 参数方程微分学的基本原理10.3 隐函数与参数方程微分学的应用10.4 复杂曲面的微分学问题第十一章：多元函数微分学在实际问题中的应用11.1 多元函数微分学在工程中的应用11.2 多元函数微分学在生物学中的应用11.3 多元函数微分学在经济学中的应用11.4 多元函数微分学在其他科学领域的应用第十二章：多元函数微分学的进一步研究12.1 多元函数微分学的推广12.2 多元函数微分学的新发展12.3 多元函数微分学与其他数学分支的融合12.4 多元函数微分学的前沿问题第十三章：多元函数微分学的教学策略与方法13.1 多元函数微分学的教学目标与方法13.2 多元函数微分学的教学难点与对策13.3 多元函数微分学的教学实践与反思13.4 多元函数微分学的教学资源与工具第十四章：多元函数微分学的测试与评估14.1 多元函数微分学的考试与评估方法14.2 多元函数微分学的试题设计与分析14.3 多元函数微分学的解题策略与技巧14.4 多元函数微分学的学业评价与反馈第十五章：多元函数微分学的教学研究与发展15.1 多元函数微分学的教学研究方法与途径15.2 多元函数微分学的国内外教学现状与发展趋势15.3 多元函数微分学的教学改革与创新15.4 多元函数微分学的教育技术应用与展望重点和难点解析本文教案主要涵盖了多元函数微分学的概念、性质、计算方法及其在各个领域的应用。
导数 偏导数的定义
导数偏导数的定义导数和偏导数是微积分学中的重要概念，它们是用来研究函数的变化的重要工具，具有着非常重要的数学意义。
本文将对导数和偏导数的定义、形式及意义进行详细阐述。
1、导数的定义导数是指函数局部改变率的量，当函数中变量做微小的改变时，函数自变量乘以导数，其结果就是函数值的变化。
它的表达式形式为： $$f(x)=lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$$其中，$f(x)$表示导数，$f(x)$表示函数值，$Delta x$表示小幅度改变量。
2、偏导数的定义偏导数指的是某一变量的导数，当多个变量同时变化时，可以用偏导数来表示某一变量对函数值改变的敏感程度。
一般偏导数表示为： $$frac{partial f}{partial x}=lim_{Delta xto0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$$其中，$frac{partial f}{partial x}$表示对$x$求导，$f(x)$表示函数值，当$Delta x$很小时，可以用偏导数来表示某变量对函数值的改变程度。
3、导数和偏导数的意义导数和偏导数有着本质的区别，但它们本质上具有相同的意义，即表示函数局部改变率，是描述函数变化的重要工具。
它们可以帮助我们分析函数在某一点处的变化特征，如果对函数求导，则可以得出函数这一点处的变化率，即点斜率。
它们也可以用来求解一些复杂的问题，如求函数的最大值和最小值，解一元函数的极值问题等等，解散等式的极限问题，求曲线的单调性，以及求一些定积分、微积分等问题，导数和偏导数对于解决这些问题至关重要。
4、总结导数和偏导数是微积分学中的重要概念，它们是用来研究函数的变化的重要工具，具有着非常重要的数学意义，它们可以分析函数的某一点的变化特征，也可以求解一些复杂的问题。
因此，对导数和偏导数的研究具有非常重要的意义。
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式1.偏导数：偏导数是多元函数在其中一点上对其中一个自变量的导数，可以通过对该自变量求导来得到。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，只需要将其他自变量视为常数。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则对第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
具体的计算公式如下：- 对于常数函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = C，则对任何xi，偏导数都是0。
- 对于一次多项式函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2+ ... + anx_n，则对任何xi，∂f/∂xi = ai。
- 对于乘积函数：如果f(x1, x2, ..., xn) = g(x1, x2, ...,xn)h(x1, x2, ..., xn)，则对任何xi，有∂f/∂xi = h(x1, x2, ..., xn) * (∂g/∂xi) + g(x1, x2, ..., xn) * (∂h/∂xi)。
2.全微分：全微分是多元函数在其中一点上沿所有自变量变化时的变化率，由偏导数组成的线性函数。
全微分的符号为df。
记多元函数为f(x1, x2, ..., xn)，则全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
3.链式法则：链式法则是多元函数求导中经常使用的方法，用于计算复合函数的导数。
假设有两个函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算。
具体公式如下：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)4.高阶偏导数：高阶偏导数指的是对多元函数的偏导数再次求导的过程。
对于二阶偏导数，可以通过对一级偏导数再次求导得到。
具体的计算方法为，先计算一级偏导数，然后对一级偏导数再次求导。
记二阶偏导数为∂²f/∂x²，则有∂²f/∂x²=∂/∂x(∂f/∂x)5.性质：多元函数的偏导数遵循以下性质：-对自变量求偏导，得到的结果是一个函数。
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偏导数全导数
偏导数：
偏导数是指多元函数关于其中一个变量的导数。
其本质是将多元函数在某个变量方向
上的变化量除以该变量的变化量，当其他变量不变时求得的极限值。
例如，对于函数$z=f(x,y)$，在给定$x=x_0$时，关于$y$的偏导数为：
$$ \frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} $$
在求偏导数时，需要注意变量的独立性以及各个限制条件。
偏导数在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域中都有
重要的作用。
其中，常用的变量关系有线性关系、指数函数、对数函数等，如经济学中的
边际效用、收益率等。
全导数是指在各个变量方向上的偏导数组成的向量，也称为梯度。
其可以通过向量运
算得到。
在二元函数$f(x,y)$的情况下，其梯度为：
其中，$\nabla$表示梯度运算符。
梯度的数量表示函数在该点的变化率最大方向，其方向表示函数在该点增加最快的方向。
梯度广泛应用于函数的极值、曲面法向量、多元函数的链式法则、最小二乘等问题中。
例如在工程中，可以利用梯度寻找最优解，提高效率。
在无约束最优化问题中，梯度下降
是一种常见的求解方法。
总之，偏导数和全导数对于计算机应用、机器学习、人工智能等领域都有着非常重要
的意义，对于提高效率和节省时间有着显著作用。