课时作业4：7.2.1 三角函数的定义
7.2.3 三角函数的诱导公式 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册
图示
角π-α与角α
的终边关于
y轴对称
公式
sin(π-α)= sin α ,cos(π-α)= -cos α ,tan(π-α)= -tan α
4.诱导公式四
终边关系
图示
角π+α与角α
的终边关于
原点对称
公式
sin(π+α)= -sin α ,cos(π+α)= -cos α ,tan(π+α)= tan α
解 由
=3+2√2,
1-tan(-360°)
1+tan
2
得
=3+2√2,∴tan θ= 2 .
1-tan
cos2 +sincos+2sin2
2
原式=
=1+tan
θ+2tan
θ
2
cos
2
22
2
=1+ +2×( ) =2+ .
2
2
2
素养形成
思想方法——分类讨论思想在诱导公式中的应用
cos(π-)sin(π-)
-sin(-sin)cos sin
=
==-tan α.
cos
cos(-cos)sin
1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°)
(2)原式= sin(180°+70°)+cos(720°+70°)
1-2sin70°cos70°
|cos70°-sin70°|
变式训练2化简下列各式:
cos(π+)cos(3π-)tan(π+)
(1)
;
《三角函数的定义》人教版数学高一下册PPT课件
第一章 三角函数
〔跟踪练习 3〕求值： (1)sin(－1 740°)cos1 470°＋cos(－660°)sin750°＋tan405°； (2)sin2174π＋tan2(－116π)tan94π.
(4)若 sinα＝sinβ，则必有 α＝β.( × )
(5)若 α 是第二象限角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cosα＝－
x .( ×
x2＋y2
)
2
2
2．若角 α 的终边与单位圆相交于点( 2 ，－ 2 )，则 sinα 的值为( B )
2 A． 2
2 B．－ 2
1 C．2
D．－1
2
2
2
y (2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝x.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)不是单位圆上一点，则先求 r＝ x2＋y2，再求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x
sinα＝ r，cosα＝ r.
(4)若已知角 α 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
y
y
___x___叫做 α 的正切，记作 tanα，即 tanα＝x(x≠0)．
第一章 三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值 的函数．
③由三角形相似的知识，我们也可以利用角 α 终边上任意一点的坐标来定义三角函 数．
2021_2022学年新教材高中数学第7章三角函数7.27.2.1任意角的三角函数学案苏教版必修第一
7.2 三角函数概念7.2.1任意角的三角函数学习任务核心素养1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升学生的数学运算素养.在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？知识点1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)，那么名称定义定义域正弦sin α＝yr R余弦cos α＝xr R正切tan α＝yx⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋kπ，k∈Z1.对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？[提示]sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.1.若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－2222－1 [由题意可知 |OP |＝⎝⎛⎭⎫22－02＋⎝⎛⎭⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]知识点2 三角函数在各象限的符号2.(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 知识点3 三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) [答案] (1)√ (2)×类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．(2)当α＝－π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝(－1)2＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.(2) 当α＝－π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x >0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x＝12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫122＋y2＝1，y<0，解得y＝－32，所以P⎝⎛⎭⎫12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝121＝12，tan α＝－3212＝－ 3.1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“3x＋y＝0”其他条件不变，结果又如何？[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，3)，则r＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－3)，则r＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.[解]因为r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝4a－5a＝－45，cos α＝－3a－5a＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．已知特殊角α，求三角函数值的方法(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P 到原点的距离r ＝1)3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. [解] 由题意知r ＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝x x 2＋9.又∵cos θ＝1010x ， ∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.2. 当α＝4π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α＝4π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x <0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x ＝－12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32， 所以P ⎝⎛⎭⎫－12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝－121＝－12，tan α＝－32－12＝ 3.类型2 三角函数值的符号【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号． ①sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°； ②tan 191°－cos 190°； ③sin 2 cos 3 tan 4.(1)D [由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．](2)[解] ①∵2 015°＝1 800°＋215°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2 cos 3 tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．[跟进训练]3．判断下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0. 从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°·sin 269°＞0.类型3 应用三角函数线解三角不等式【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.1．在单位圆中，满足sin α＝32的正弦线有几条？试在图中明确． [提示] 两条，如图1所示，MP 1与NP 2都等于32. 2．在单位圆中，满足cos α＝－12的余弦线有几条？在图中明确．[提示] 一条，如图2所示，OM ＝－12.图1 图2[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法对于tan x ≥c ，取点(1，c )，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．[跟进训练]4．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z .1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．(多选题)下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°<0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°>0BCD[∵90°<165°<180°∴sin 165°>0.又270°<280°<360°，∴cos 280°>0.又270°<310°<360°.∴tan310°<0,90°<170°<180°∴tan 170°<0.]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值等于________． －1 [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．已知角α终边过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于________．32 [由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32.] 5．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是第________象限角．二或三 [因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0，若sin θ>0，tan θ<0，所以θ在第二象限．若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？[提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关． 2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？[提示] 确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离． 3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？ [提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标．。
高中数学第7章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第1课时诱导公式①②③④课件新人教B版必修第三
南京眼的桥身的完美对称 辽宁生命之环的完美对称
问题 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角 α 的终 边与 π±α，－α 有什么样的对称关系？
提示 π＋α 的终边与 α 的终边关于原点对称；π－α 的终边与 α 的终边关于 y 轴对称；－α 的终边与 α 的终边关于 x 轴对称．
1．诱导公式① sin(α＋k·2π)＝ sin α (k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝ cos α (k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝ tan α (k∈Z)．
[解] (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos
30°＝－
3 2.
(2)sin 114π＝sin2π＋34π
＝sin 34π＝sinπ－π4
＝sin
π4＝
2 2.
(3)sin－436π＝－sin6π＋76π ＝－sin 76π＝－sinπ＋π6＝sin π6＝12. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60° ＝－12.
3 .
解决给值求值问题的策略 1解决给值求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的 角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. 2可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形 向已知式转化.
[跟进训练]
2．已知 sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的值为( )
＝cosπ＋π6＝－cos π6＝－ 23.
法二：cos－316π＝cos－6π＋56π ＝cosπ－π6＝－cos π6＝－ 23. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
高中数学第1章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质高一数学
确；当点 P 在G︵H上时，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故 D 选项错误．综
上，故选 C．
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内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
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D．xx∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z
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解析：选 D y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，
由 x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)，得 x≠kπ＋34π(k∈Z)．所以函数的定
义域为x|
x∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z.
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5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，
A︵B，C︵D，E︵F，G︵H是圆 x2＋y2＝1 上的四段弧
(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始
边，OP 为终边，若 tanα<cosα<sinα，则 P 所
在的圆弧是( )
A．A︵B
B．C︵D
C．E︵F
D．G︵H
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解析：选 C 逐个分析 A、B、C、D 四个选项，利用三角函
数的定义可得正确结论．当点 P 在A︵B上时，cosα＝x，sinα＝y，
∴cosα>sinα，故 A 选项错误；当点 P 在C︵D上时，cosα＝x，sinα
＝y，tanα＝yx，∴tanα>sinα>cosα，故 B 选项错误；当点 P 在E︵F上
时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴sinα>cosα>tanα，故 C 选项正
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义课时作业(含解析)新人教A版必修4-新人教
课时作业3 三角函数的定义——基础巩固类——一、选择题1．sin(－1 305°)的值是( B ) A.12B.22 C ．－22D ．－12解析：sin(－1 305°)＝sin(－4×360°＋135°)＝sin135°＝22. 2．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( C )A ．－114B.114C ．－4D ．4解析：由题意可知，cos α＝mm 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.3．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由条件可知cos θ>0，sin θ<0，则θ为第四象限角，故选D. 4．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( C ) A.12B ．－12 C ．－32D ．－33解析：由题意得P (1，－3)，它与原点的距离r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 5．设a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，则sin α＋2cos α的值等于( A ) A.25B ．－25 C.15D ．－15解析：∵a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，∴点P 与原点的距离r ＝－5a ，sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋2cos α＝25，选A.6．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为( D )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4解析：θ∈[0,2π]，根据三角函数定义可知sin θ＝cos 3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2－3π4＝sin 7π4，cos θ＝sin 3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2－3π4＝cos 7π4，故θ＝7π4，故选D. 二、填空题7．已知角α的终边经过点M (π，－2)，则sin 2α＋cos 2α＝1. 解析：x ＝π，y ＝－2，r ＝π2＋2，∴sin 2α＋cos 2α＝⎝⎛⎭⎫y r 2＋⎝⎛⎭⎫x r 2＝2π2＋2＋π2π2＋2＝1.8．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝2.解析：角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上， 在角α的终边上取一点P (x 0，－3x 0)(x 0<0)， 有－3x 0>0.故P 在第二象限．所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2.9．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是{－1,3}．解析：当x 是第一象限角时，y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x ＝－1；当x 是第三象限角时，y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1；当x 是第四象限角时，y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x－tan x ＝－1.三、解答题10．已知角θ的终边上一点P (－3，m )，且sin θ＝24m .求cos θ与tan θ. 解：由题意得sin θ＝m m 2＋3＝24m ， 若m ＝0，则cos θ＝－1，tan θ＝0. 若m ≠0，则m ＝±5.当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； 当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. 11．计算：(1)sin(－1 395°)cos1 110°＋cos(－1 020°)sin750°. (2)已知tan α＝13且0<α<π2，求sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α＋4π)的值．解：(1)原式＝sin(45°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30°＋2×360°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝6＋14. (2)sin (α－2π)·cos (2π＋α)tan (α＋4π)＝sin α·cos αtan α.因为tan α＝13，且0<α<π2，所以可设α终边上一点坐标为(3x ，x )，x >0， 所以sin α＝x (3x )2＋x 2＝1010， cos α＝3x (3x )2＋x 2＝31010. 所以原式＝1010×3101013＝910.——能力提升类——12．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( C )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．13．在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( C ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形解析：因为sin A >0，所以cos B ，tan C 中一定有一个小于0，即B ，C 中一定有一个钝角，故△ABC 是钝角三角形．14．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a 的取值X 围是(－2,3]．解析：∵点(3a －9，a ＋2)在角α的终边上，sin α>0，cos α≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，3a －9≤0，解得－2<a ≤3.15．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，所以10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10kk ＝－10，所以10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0.。
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第3课时诱导公式习题课作业b
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2．若 cos(π＋α)＝－13，那么 sin32π－α等于( A )
A．－13
B．13
C．2 32
D．－2 3 2
解析：∵cos(π＋α)＝－cosα＝－13， ∴cosα＝13，∴sin32π－α＝－cosα＝－13.
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4．已知 a＝tan－76π，b＝cos234π，c＝sin－334π，则 a，b，c 的
大小关系是( A )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
解析：∵a＝tan－76π＝－tan6π＝－ 33，b＝cos234π＝cos4π＝ 22，
∴α 的终边位于第一象限内，∴α＝31π0＋2kπ(k∈Z)，故选 C．
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6．若 sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则 cos32π－α＋2sin(6π－α)的
值为( B )
A．－23m
B．－32m
C．23m
D．32m
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∴sin2α＝12，∴sinα＝±
2 2.
∵－π2<α<2π，∴α＝4π或 α＝－π4.
(1)当
α＝4π时，由②，得
cosβ＝
3 2.
∵β∈(0，π)，∴β＝π6；
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(2)当
α＝－4π时，由②，得
2016高中数学 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式课件
1．对正切函数图像的理解 π (1)正切函数的图像是由被互相平行的直线 x＝ ＋kπ (k∈ Z) 2 所隔开的无数多支曲线组成的， 这些直线叫作正切曲线各支的 渐近线． π (2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和 x＝ ＋ 2 kπ (k∈ Z)相交，与 x 轴交于点(kπ ，0)(k∈ Z)．
π 2tan x， <x≤ π ， 2
正切函数的性质
π 求函数 f(x)＝ tan 2x－ 的定义域、 最小正周期和单调 3 区间． (链接教材 P40 练习 T2)
π π [解 ] 由题意，知 2x－ ≠kπ ＋ (k∈ Z)， 3 2 kπ 5π 所以 x≠ ＋ (k∈ Z)， 2 12
第一章
三角函数
§7
正切函数
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
7．3 正切函数的诱导公式
1．问题导航 (1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方 法类似？该方法有什么优缺点？ π π (2)正切函数的定义域能写成 － ＋ kπ ， ＋ kπ (k∈ Z) 2 2 吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？
(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来， “三点”是指(0， π π π π 0)， － ，－1 ， ， 1 ；“两线”是指 x＝ 和 x＝－ . 2 2 4 4 π 作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线 x＝－ ， x＝ 2 π π π ，然后描出三点 (0，0)， ， 1 ， － ，－1，用光滑的 2 4 4 曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．
3π 3π 1． (1)函数 y＝ sin x 与 y＝tan x 在区间 － 上的交点个 ， 2 2 数是( A ) A． 3 C． 5 B．4 D． 6
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7.2.1 三角函数的定义
一、选择题
1.下列三角函数判断错误的是( )
A.sin 165°>0 B.cos 280°>0
C.tan 170°>0 D.tan 310°<0
2.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P坐标为( )
A.P(sin α，cos α) B.P(cos α，sin α)
C.P(rsin α，rcos α) D.P(rcos α，rsin α)
3.角α的终边上有一点(－a,2a)(a<0)，则sin α的值为( )
A.－55 B.255
C.55 D.－255
4.若θ是第二象限角，则( )
A.sin θ2>0 B.cos θ2<0
C.tan θ2>0 D.以上均不对
5.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
二、填空题
6.设α为第二象限角，则点P(cos α，sin α)在第________象限.
7.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________.
8.若角α终边经过点P(－3，y)，且sin α＝34y(y≠0)，则cos α＝________.
三、解答题
9.已知角α的终边经过点P(1，3)，
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)写出角α的集合S.
10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.
参考答案
一、选择题
1.【答案】C
【解析】∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0；
又270°<280°<360°，∴cos 280°>0；
又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；
又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C.
2.【答案】D
【解析】设P(x，y)，则sin α＝yr，∴y＝rsin α，又cos α＝xr，x＝rcos α，∴P(rcos α，rsin α)，
故选D.
3.【答案】D
【解析】因为a<0，所以sin α＝2a（－a）2＋（2a）2＝2a－5a＝－
25
5
.
4.【答案】C
【解析】∵θ是第二象限角，∴2kπ＋π2<θ<2kπ＋π，∴kπ＋π4<θ2
θ
2
>0.
5.【答案】A
【解析】要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二
象限角.
二、填空题
6.【答案】二
【解析】∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0.
7.【答案】－2＜a≤3
【解析】由 cos α≤0，sin α＞0，得 3a－9≤0，a＋2＞0，
解得－2＜a≤3.
8.【答案】－
3
4
【解析】∵过点P(－3，y)，∴sin α＝y3＋y2＝
3
4
y.
又y≠0，∴13＋y2＝34，
∴|OP|＝3＋y2＝43＝433＝r，
∴cos α＝xr＝－3433＝－
3
4
.
三、解答题
9.解:(1)由点P的坐标知，r＝|OP|＝2，x＝1，y＝3，
∴sin α＝32，cos α＝12，
∴sin α＋cos α＝
3＋1
2
.
(2)由(1)知，在0～2π内满足条件的角α＝
π
3
，
∴角α的集合S＝α α＝2kπ＋π3，k∈Z.
10.解:①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P(－4，3)，OP＝5，
sin α＝
35，cos α＝－45＝－45，tan α＝3－4＝－3
4
，
所以sin α－3cos α＋tan α＝35＋125－34＝
9
4
.
②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P(4，－3)，OP＝5，
sin α＝－
35，cos α＝45，tan α＝－34＝－3
4
，
所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－
15
4
.