利用导数解三角函数问题

利用导数解三角函数问题

胡贵平（甘肃省白银市第九中学 ，甘肃 白银 730913）

导数是研究函数性质的一种强有力工具，利用导数可解决函数单调性、极值、最值等问题，三角函数是函数的一个特例，是函数概念的下位概念，解三角函数问题时，一般思路是通过恒等变形，利用三角函数的性质求解.但是若能注意题目的特点，利用导数处理相关问题，不仅可以突破难点，开拓思路，提高解题效率，而且简单易懂，便于掌握. 一、求三角函数的单调区间 例1.函数)4

3sin(π

+-=x y ，R x ∈在什么区间上是增函数.

解：)4

3cos(3)4

3)(4

3cos(π

π

π

+--='+

-+-='x x x y ，有0≥'y ，得0)4

3c os(≤+

-π

x ，

即0)4

-

3cos(≤π

x ，所以2324

32

2πππ

π

π+

≤-

≤+

k x k ，12

732432π

πππ+≤≤+k x k ，

Z k ∈.因此函数)43sin(π

+

-=x y 在区间⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++12732,43

2ππππk k ，Z k ∈上是增函数. 点评：这是人教A 版71页的一道习题，特别容易出错，原因在于忽视了函数

)4

3sin(π

+

-=x y 是复合函数.利用导数解决，题目显得很常规，过程也很简洁.

二、求三角函数的最值

例2.若函数m x x x f ++=2cos 22sin 3)(在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,0π上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值，并求相应的x 取值集合.

解：x x x x f sin cos 42cos 32)(-='.即x x x f 2sin 22cos 32)(-='.令0)(='x f ，得32tan =

x .即6

π

=

x ，由于m f +=2)0(，m f =)2(π，m f +=3)6

(π

.所以63=+m ，

3=m .当R x ∈时，令0)(='x f ，得32tan =x .即ππ

k x +=6

，Z k ∈或ππ

k x +=

3

2，Z k ∈.所以函数的最小值为2)32(

=+ππk f ，此时x 取值集合为⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,32ππ. 点评：这是人教A 版147页的一道习题，常见的解法是化成正弦型函数，利用单调性、有

界性求最值.利用导数，不但可以求化简成一个角的一个三角函数的最值，还可以求其它类型三角函数的最值.

三、求三角函数的奇偶性

例3.（2013年山东数学（理）

）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8

π

个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ） (A)

43π (B) 4

π (C) 0 (D) 4π- 解：函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移

8π个单位，得到⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++=ϕπ)8(2sin x y ，

即)4

2sin(ϕπ

++

=x y 是偶函数.所以)4

2(cos 2ϕπ

++

='x y 为奇函数，00='=x y ，所以

0)4(

cos =+ϕπ

，24ππϕπ+=+k ，Z k ∈.所以4ππϕ+=k ，Z k ∈.当0=k 时，4

π

ϕ=.

点评：正（余）型函数R x ∈在对称轴a x =处若取得最值，则也取得极值，于是有0='=a

x y .

特别地，偶函数有00

='

=x y .可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数.

四、求三角函数的周期性

例4.函数x x x f 24cos sin )(+=的最小正周期为（ ） (A)

4π (B) 2

π

(C) π (D) π2 解：x x x x x f sin cos 2cos sin 4)(3

-='.令0)(='x f 得0sin =x 或0cos =x 或2

1

sin 2=x .当0sin =x 或0cos =x 时，1)(=x f ，当21sin 2

=

x 时，4

3

)(=x f .因此函数)(x f 的最大值为1，由0sin =x ，解得πk x =，Z k ∈.由0cos =x ，解得2

π

π+

=k x ，Z k ∈.根据

两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期，故函数)(x f 的最小正周期为

2

π

. 点评：可导的周期函数，其导函数仍是周期函数，且原函数的周期是导函数的一个周期. 正（余）型函数两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期. 五、求三角函数的对称性

例5.若函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6

π

=

x 对称，则=a .

解：x a x x f sin cos )(-='.因为函数)(x f 的图象关于直线6

π

=x 对称，所以0)6

(='π

f ，

即06

sin

6

cos

=-π

π

a ，从而3=a .

点评：正（余）弦型函数既是中心对称图形也是轴对称图形，所有过最高点或最低点垂直于x 轴的直线都是对称轴，利用导数研究，对称轴处取得极值，其导数值为0. 六、证明三角不等式

例6.已知x 是锐角，求证x x x tan sin <<.