第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明(解析版)
三角函数的导数解析与归纳
三角函数的导数解析与归纳在微积分中，研究导数是一个重要的课题。
导数给出了函数在每个点上的变化率，而对于三角函数，其导数的求解是十分常见且重要的。
本文将解析地探讨三角函数的导数，并对其进行归纳总结。
一、正弦函数的导数我们首先来看正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，则按照导数的定义：y' = lim(h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b，我们可以将上式展开得到：y' = lim(h->0) [sin x*cos h + cos x*sin h - sin x] / h= lim(h->0) [cos h*sin x + sin h*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [2*sin(h/2)*cos(h/2)*sin x + sin h*cos x - sin x] / h根据极限的性质，lim(h->0) sin(h/2)/h = 1 和 lim(h->0) sin h/h = 1，于是上式变为：y' = lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin x + sin x*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1)] / h由于lim(h->0) 2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1 = 0，所以上式化简为： y' = lim(h->0) sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1) / h= sin x * lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1] / h= sin x * 0= 0因此，我们得出结论：正弦函数的导数为零，即 d(sin(x))/dx = 0。
利用导数巧解一类常见的三角函数问题
教学实践新课程NEW CURRICULUM在三角函数的教学和练习中,师生常常会碰到一类这样的三角函数问题：问题1：（2013浙江镇海中学阶段性测试）已知3sin α+4cos α=5，求tan α。
问题2：（2014北京石景山5月）已知sin α+cos α=2√，α∈（0，π），求tan α。
师生通常是从三角方面的知识与方程方面的知识相结合出发进行求解，但有时对于像问题1、问题2师生可以将三角方面的知识与导数求极值的知识相结合来巧妙解答。
因为三角函数相关的知识学习是在必修内容中，而导数相关知识在选修内容中，在高中数学的教学过程中，很多学校老师往往是先进行必修内容的教学，再进行选修内容的教学。
选修内容的有些知识与前面必修内容知识联系密切。
比如，导数与函数会放在高三复习时连接起来，但是因为高考对三角函数的考查一般很少与导数联系起来，所以很多师生都会忽略导数与三角函数相结合起来解题。
有时对于像问题1、2这种类似的问题，将导数与三角函数结合起来能巧妙快速准确地解答题目。
作者先给出问题1目前常见的四种解法。
图1思路1图2思路2解法1：3sin α+4cos α=5，等式变形得3sin α=5-4cos α，两边平方得9sin 2α=25-40cos α+16cos 2α得到关于cos α的方程：25cos 2α-40cos α+16=0，（5cos α-4）2=0，求出：cos α=45，sin α=35，从而得到tan α=34解法2：等式两边平方得到：9sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=259sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=25（sin 2α+cos 2α）等式两边同时除以cos 2α得16tan 2α-24tan α+9=0，tan α=34图3思路3图4思路4解法3：设4sin α-3cos α=x ，两式平方相加得到x 2+25=（4sin α-3cos α）2+（3sin α+4cos α）2=25，x =0则tan α=34解法4：∵3sin α+4cos α=5sin （α+φ），其中cos φ=35，sin φ=45∴sin （α+φ）=1，则α+φ=2k π+π2（k ∈Z ）sin α=sin （2k π+π2-φ）=cos φ=35，cos α=cos （2k π+π2-φ）=sins φ=45，故tan α=34现在，重点介绍解法5：利用导数的有关知识来求解。
导数带三角函数大题
导数带三角函数大题数学中，导数是用来描述函数变化率的概念。
在具体计算导数的过程中，经常会遇到包含三角函数的大题。
这些大题涉及了三角函数的性质以及导数的计算规则。
导数带三角函数大题是考察学生对于导数计算和三角函数的理解和运用能力的重要题型之一。
对于“ 导数带三角函数大题”这个问题，我们需要根据具体的大题来进行求解。
在这类大题中，通常会给出一个函数表达式，其中包含了三角函数，如正弦函数、余弦函数或者其他的三角函数。
学生需要根据给定的函数，计算它的导数。
计算导数的过程需要运用到相关的导数公式和三角函数的导数规则。
根据不同的三角函数，我们可以有不同的导数计算公式。
例如，对于正弦函数来说，它的导数规则可以表示为"d(sin x) / dx = cos x"。
对于余弦函数来说，其导数公式可以表示为"d(cos x) / dx = -sin x"。
而其他常见的三角函数如正切函数、余切函数等也有相应的导数规则。
在解决导数带三角函数大题的过程中，学生需要熟练地应用这些导数公式和三角函数的导数规则。
对于给定的函数表达式，首先要找出其中包含的三角函数，并将其导数按照相应的规则计算出来。
然后，将计算得到的导数与其他部分的导数进行合并和计算，最终得到函数的导数表达式。
通过解决导数带三角函数大题，学生可以加深对于导数和三角函数的理解，并提高在求解相关问题时的计算能力。
同时，这类题目也可以帮助学生培养分析问题、运用规则和推导解答的能力，对于培养数学思维和解决实际问题具有重要的意义。
总而言之，导数带三角函数大题是数学中重要的题型之一，其解答需要学生熟练掌握导数计算公式和三角函数的导数规则。
通过解决这类大题，可以提高学生的数学能力和解决实际问题的能力。
努力学习和掌握这些知识，将对于进一步学习和应用数学有着积极的促进作用。
高中数学导数带有三角函数的题型
高中数学导数带有三角函数的题型高中数学中，导数是一个非常重要的概念。
在实际应用中，我们常常会遇到一些带有三角函数的导数题目。
下面，我们将为大家介绍一些常见的带有三角函数的导数题型。
1. y = sin x这是最简单的带有三角函数的导数题型。
根据导数的定义，我们可以将其求导得到：y' = cos x2. y = cos x同样地，我们可以根据导数的定义求出 y = cos x 的导数：y' = -sin x3. y = tan xy = tan x 的导数需要用到求商法则。
我们可以将其写成：y = sin x / cos x然后求导：y' = (cos x * cos x + sin x * (-sin x)) / cos^2 xy' = 1 / cos^2 x4. y = cot xy = cot x 的导数同样需要用到求商法则。
我们可以将其写成： y = cos x / sin x然后求导：y' = (-sin x * sin x + cos x * cos x) / sin^2 xy' = -1 / sin^2 x5. y = sec xy = sec x 的导数也需要用到求商法则。
我们可以将其写成： y = 1 / cos x然后求导：y' = sin x / cos^2 x6. y = csc x同样地，y = csc x 的导数也需要用到求商法则。
我们可以将其写成：y = 1 / sin x然后求导：y' = -cos x / sin^2 x以上就是常见的带有三角函数的导数题型。
当然，还有其他一些比较复杂的题型，需要用到三角函数的求导公式。
在学习数学的过程中，我们应该多加练习，掌握各种题型的求导方法，以便更好地应用于实际问题的解决。
导数与函数的三角函数解析
导数与函数的三角函数解析在微积分中，导数是一种用来描述函数局部变化率的概念。
它不仅对于研究函数的行为具有重要作用，还为我们提供了许多解析三角函数的方法。
本文将探讨导数与函数的三角函数解析之间的关系。
一、导数的定义与三角函数导数是函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它的导数f'(x)可以通过极限的概念来定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h三角函数是数学中的基本函数之一，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，及其反函数。
这些函数在分析几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
二、使用导数解析三角函数1. 正弦函数的导数根据导数的定义，我们可以求得正弦函数的导数：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)这意味着，对于任意x的值，正弦函数的导数都等于它自身的余弦函数。
2. 余弦函数的导数同样，根据导数的定义，我们可以求得余弦函数的导数：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)这意味着，对于任意x的值，余弦函数的导数等于它自身的负弦函数。
3. 正切函数的导数正切函数可以表示为两个基本三角函数的比值：f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x)将正切函数表示为其他两个函数的比值，我们可以利用导数的运算规则求解正切函数的导数：f'(x) = (sin'(x) * cos(x) - sin(x) * cos'(x)) / cos^2(x)= (cos(x) * cos(x) - sin(x) * (-sin(x))) / cos^2(x)= (cos^2(x) + sin^2(x)) / cos^2(x)= 1 / cos^2(x)= sec^2(x)通过上述推导，我们可以得到正切函数的导数等于它的余切函数的平方。
三、应用导数解析三角函数通过导数的定义和运算规则，我们可以得到三角函数的导数，进而应用于函数的解析中。
导数在解答三角函数中的重要作用
导数在解答三角函数中的重要作用导数是高中数学新增的一部分重要内容，它在研究函数的性质，求函数的有关最值方面有着极其重要作用，下面就谈谈导数在三角函数当中的重要作用。
㈠利用导数可以证明三角不等式例题1已知x 是锐角，求证sinx ＜x ＜tanx证明：设f(x)=x-sinx ，g(x)=x-tanx ，f '(x)=(x-sinx)'=1-cosx ＞0 ∴f(x) 在x ∈(0，π2 )时是单调递增函数,又∵f(x) 在x ∈(0，π2)时是连续函数∴f(x)＞f(0)=0∴sinx ＜x 。
g '(x)=(x-sinx cosx )'=1-1cos 2x＜0∴g(x) 在x ∈(0，π2)时是单调递减函数，又g(x) 在x ∈(0，π2)时是连续函数g(x)＜g(0)=0，x ＜tanx ∴sinx ＜x ＜tanx 成立。
例题2已知x ∈(0,π2 )求证:1sinx + 8cosx≥5 5 证明：设f(x)=1sinx + 8cosx则 f '(x)=-cosx sin 2x +8sinx cos 2x =8sin 3x-cos 3x sin 2xcos 2x =(2sinx-cosx)(4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x)sin 2xcos 2x ＞0，∵x ∈(0,π2)，4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x ＞0∴当2sinx ＞cosx 即x ＞arctan 12 ， x ∈[arctan 12 ，π2 ]时，函数是单调递增函数，当x ∈(0，arctan 12)时，函数是单调递减函数当tanx= 12 时，f(x)最小，此时sinx= 55 ，cosx= 255 ，1sinx + 8cosx ≥55成立例题3求证：如果x 是锐角，那幺 （1+1sinx ）(1+ 1cosx)＞5（匈牙利数学竞赛试题）证明：（1+1sinx ）(1+ 1cosx )=1+ 1sinx + 1cosx + 1sinxcosx， (1+1sinx + 1cosx + 1sinxcosx)'= -cosx sin 2x + sinx cos 2x +-cos2x (sinxcosx)2 =-cos 3x+sin 3x-cos 2x+sin 2x (sinxcosx)2 =(sinx-cosx)(1+sinx+cosx+cosxsinx)(sinxcosx)2 ∵x 是锐角，∴1+sinx+cosx+sinxcosx ＞0当sinx-cosx ＞0即x ∈(π4 ，π2)时f '(x)＞0，此时f(x)是单调递增函数，当x ∈(0，π4 )时f '(x)＜0，f(x) 是单调递减函数∴sinx=cosx=22时f(x)取最小值，最小值为3+2 2 ＞5，∴（1+1sinx ）(1+ 1cosx)＞5成立例题4：（交通大学2000年保送生数学试题）证明不等式：1≤x x cos sin +≤432,x ∈[0,2π].证明：设：f(X)=x x cos sin +,]sin )(sin )(cos ][cos )(sin )[(cos cos sin 21])(sin )[(cos )(cos )(sin 21)sin ()(cos 21cos )(sin 21)('21212121232321212121x x x x x x xx x x x x x x x x x f ++-=-=-+=---- 因为x ∈[0,2π]，所以sinx>0,cosx>0,0sin )(sin )(cos cos 2121>++x x x x ,令f '(x)=0,则有0)(sin )(cos 2121=-x x ,即sinx=cosx,所以x=4π,当x ∈(0,4π)时，f '(x)>0,函数f(x)在(0,4π)上单调递增，当x ∈(4π,2π)时，函数f(x)在(4π,2π)上单调递减。
利用导数解三角函数问题
利用导数解三角函数问题胡贵平（甘肃省白银市第九中学 ，甘肃 白银 730913）导数是研究函数性质的一种强有力工具，利用导数可解决函数单调性、极值、最值等问题，三角函数是函数的一个特例，是函数概念的下位概念，解三角函数问题时，一般思路是通过恒等变形，利用三角函数的性质求解.但是若能注意题目的特点，利用导数处理相关问题，不仅可以突破难点，开拓思路，提高解题效率，而且简单易懂，便于掌握. 一、求三角函数的单调区间 例1.函数)43sin(π+-=x y ，R x ∈在什么区间上是增函数.解：)43cos(3)43)(43cos(πππ+--='+-+-='x x x y ，有0≥'y ，得0)43cos(≤+-πx ，即0)4-3cos(≤πx ，所以2324322πππππ+≤-≤+k x k ，12732432ππππ+≤≤+k x k ，Z k ∈.因此函数)43sin(π+-=x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++12732,432ππππk k ，Z k ∈上是增函数. 点评：这是人教A 版71页的一道习题，特别容易出错，原因在于忽视了函数)43sin(π+-=x y 是复合函数.利用导数解决，题目显得很常规，过程也很简洁.二、求三角函数的最值例2.若函数m x x x f ++=2cos 22sin 3)(在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当R x ∈时的最小值，并求相应的x 取值集合.解：x x x x f sin cos 42cos 32)(-='.即x x x f 2sin 22cos 32)(-='.令0)(='x f ，得32tan =x .即6π=x ，由于m f +=2)0(，m f =)2(π，m f +=3)6(π.所以63=+m ，3=m .当R x ∈时，令0)(='x f ，得32tan =x .即ππk x +=6，Z k ∈或ππk x +=32，Z k ∈.所以函数的最小值为2)32(=+ππk f ，此时x 取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,32ππ. 点评：这是人教A 版147页的一道习题，常见的解法是化成正弦型函数，利用单调性、有界性求最值.利用导数，不但可以求化简成一个角的一个三角函数的最值，还可以求其它类型三角函数的最值.三、求三角函数的奇偶性例3.（2013年山东数学（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ） (A)43π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 解：函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ϕπ)8(2sin x y ，即)42sin(ϕπ++=x y 是偶函数.所以)42(cos 2ϕπ++='x y 为奇函数，00='=x y ，所以0)4(cos =+ϕπ，24ππϕπ+=+k ，Z k ∈.所以4ππϕ+=k ，Z k ∈.当0=k 时，4πϕ=.点评：正（余）型函数R x ∈在对称轴a x =处若取得最值，则也取得极值，于是有0='=ax y .特别地，偶函数有00='=x y .可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数.四、求三角函数的周期性例4.函数x x x f 24cos sin )(+=的最小正周期为（ ） (A)4π (B) 2π(C) π (D) π2 解：x x x x x f sin cos 2cos sin 4)(3-='.令0)(='x f 得0sin =x 或0cos =x 或21sin 2=x .当0sin =x 或0cos =x 时，1)(=x f ，当21sin 2=x 时，43)(=x f .因此函数)(x f 的最大值为1，由0sin =x ，解得πk x =，Z k ∈.由0cos =x ，解得2ππ+=k x ，Z k ∈.根据两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期，故函数)(x f 的最小正周期为2π. 点评：可导的周期函数，其导函数仍是周期函数，且原函数的周期是导函数的一个周期. 正（余）型函数两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期. 五、求三角函数的对称性例5.若函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6π=x 对称，则=a .解：x a x x f sin cos )(-='.因为函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称，所以0)6(='πf ，即06sin6cos=-ππa ，从而3=a .点评：正（余）弦型函数既是中心对称图形也是轴对称图形，所有过最高点或最低点垂直于x 轴的直线都是对称轴，利用导数研究，对称轴处取得极值，其导数值为0. 六、证明三角不等式例6.已知x 是锐角，求证x x x tan sin <<.证明：设x x x f sin )(-=，x x x g tan )(-=.x 是锐角，0cos 1)sin ()(>-='-='x x x x f . 所以)(x f 在）2,0(π∈x 时是单调递增函数,又因为)(x f 在）2,0(π∈x 时是连续函数，所以0)0()(=>f x f ，所以x x <sin ；0cos 11)cos sin ()(2<-='-='x x x x x g ，所以)(x g 在）2,0(π∈x 时是单调递减函数，又)(x g 在）2,0(π∈x 时是连续函数，所以0)0()(=<g x g ，所以x x tan <.于是x x x tan sin <<成立.点评：本题是一个三角函数中的一个性质，常见的证明方法是利用单位圆中的三角函数线，根据面积来得出大小关系，利用导数证明不等式是常见方法. 七、证明三角恒等式例7.证明2sin 22cos 12=++θθ.证明：构造函数1sin 22cos )(2-+=θθθf ，则θθθθcos sin 42sin 2)(+-='f0cos sin 4cos sin 4=+-=θθθθ.因此)(θf 必为常数函数，又0)0(=f .故有0)0()(==f f θ，所以2sin 22cos 12=++θθ.点评：这是人教A 版143页的一道习题，通过构造函数求导数的方法，根据函数的导数值为0，则此函数一定是常数函数的性质证明三角恒等式，充分体现了导数的工具性. 八、比较三角函数的大小例8.（2005年湖北数学（理））若20π<<x ，则x 2与x sin 3的大小关系是（ ）(A) x x sin 32> (B) x x sin 32< (C)x x sin 32= (D)与x 的取值有关 解：构造函数x x x f sin 32)(-=，则x x f cos 32)(-='，令0)(='x f 得32arccos =x ，当)32arccos,0(∈x 时，0)(<'x f ；当)2,32(arccos π∈x 时，0)(>'x f ；于是)(x f 的最小值为)32(arccos f ，但0)0(=f ，03)2(>-=ππf ，则0)32(arccos <f .所以x 2与xsin 3的大小与x 的取值有关.点评：本题可以取特殊值检验，结合极限的思想得出答案. 比较大小最常见的方法就是构造函数，利用函数的单调性比较.解决函数单调性最好的工具之一就是导数.。
导数与三角函数的综合的解题技巧
导数与三角函数的综合的解题技巧
1.使用导数公式：对于三角函数，有 sin'x=cosx, cos'x=-sinx, tan'x=sec^2x, cot'x=-csc^2x。
根据公式，可以快速求导数。
2.化简式子：如果要求导数的式子比较复杂，可以先把式子化简，再使用导数公式。
3.注意多项式函数：如果式子包含多项式函数，可以先对多项式函数求导，再根据导数公式求出整个式子的导数。
二、解题技巧
1.化简式子：对于一些比较复杂的题目，可以先把式子化简，减少计算难度。
2.注意特殊点：三角函数的周期性很强，要注意特殊点，如0度、90度、180度、270度、360度等，这些点的函数值会有特殊的表现。
3.使用变形公式：有些题目可以使用三角函数的变形公式，如和角公式、差角公式、倍角公式等，将原式化简成已知的函数形式，再进行计算。
4.备选法：如果在计算中出现不确定的式子，可以先把各种可能的取值列出来，再逐一验证。
综上所述，求导数和解题技巧是解决导数与三角函数综合题目的关键。
在解题过程中，要善于化简式子，注意特殊点，灵活运用三角函数的变形公式和备选法，从而提高解题的效率和准确性。
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（Ⅱ）若 在 ， 及 所在的取值范围上恒成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）试讨论函数 的零点的个数．
【解析】解：（Ⅰ） 是 上的奇函数
，
， （4分）
（Ⅱ）由 知 ， ，
又 在 ， 上单调递减，
在 ， 上恒成立．
对 ， 恒成立，
， （6分）
在 ， 上恒成立，即 （7分）
，
，
即 对 恒成立
令 ，则 （8分）
经检验， 满足题意．（5分）
（2） 函数 在 单调递增． 在 上恒成立．（7分）
即 在 上恒成立．即
， （10分） ．（11分）
检验， 时， ， ，仅在 处取得．所以满足题意．
．（12分）
第20讲导数解答题之导数解决含三角函数式的证明
1．已知函数 ．
（1）证明：函数 在 上单调递增；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【解析】解：（1）证明： ，
因为 ，所以 ， ，
于是 （等号当且仅当 时成立）．
故函数 在 上单调递增．
（2）由（1）得 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
（ⅰ）当 时， 成立．
所以在 时 ，所以 时不符合题意．
综上，实数 的取值范围为 ， ． （12分）
（Ⅱ）解法二：因为 等价于 （6分）
设 ，则
可求 ， （8分）
所以当 时， 恒成立， 在 ， 是增函数，
所以 ，即 ，即
所以 时， 对任意 恒成立． （9分）
当 时，一定存在 ，满足在 时， ，
所以 在 是减函数，此时一定有 ，
【解析】解：（1）由于 ，
所以 ，
当 ， ，即 ， ， 时， ；
当 ， ，即 ， ， 时， ．
所以 的单调递增区间为 ， ， ，
单调递减区间为 ， ， ；
（2）令 ，
要使 总成立，只需 ， 时 ，
对 求导，可得 ，
令 ，
则 ，
所以 在 ， 上为减函数，
所以 ， ；
对 分类讨论：
①当 时， 恒成立，
所以 在 ， 上为增函数，
（3） ，
设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，
从而切线方程为 ，
，
令 ， ，这两个函数的图象均关于点 对称，
则它们交点的横坐标也关于 对称，
从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列 的项也关于 成对出现，
又在 共有1008对，每对和为 ．
． （12分）
6．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）如果对于任意的 ， ， 恒成立，求实数 的取值范围．
的增区间为 ；
减区间为 ． （4分）
（2）令
要使 恒成立，只需当 时， ，
令 ，则 对 恒成立，
在 上是增函数，则 ，①当 时， 恒成立，源自在 上为增函数，， 满足题意；
②当 时， 在 上有实根 ， 在 上是增函数，
则当 ， 时， ， 不符合题意；
③当 时， 恒成立， 在 上为减函数，
不符合题意， ，即 ， ． （8分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知 时， ， ，
所以 ， （6分）
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时 ，所以 为增函数，
所以 ，所以 为增函数，所以 ，
所以 对任意的 恒成立． （8分）
又 ， 时， ，
所以 时 对任意的 恒成立． （9分）
当 时，设 ，则 ， ，
所以存在实数 ，使得任意 ，均有 ，所以 在 为减函数，
两边同除以 ，得 ，
所以 ，
令 ，得 ，
得 ．
因为 ，
所以 ，
因为 ，
又 ，易知 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，得 ．
4．设 ．
（Ⅰ）求证：当 时， ；
（Ⅱ）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）证明： ，则 ，
设 ，则 ， （2分）
当 时， ，即 为增函数，
所以 ，
即 在 时为增函数，所以 ． （4分）
【解析】解：（1）由于 ，
所以 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
所以 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ；
（2）令 ，
要使 总成立，只需 时 ，
对 求导，可得 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上为增函数，
所以 ；
对 分类讨论：
①当 时， 恒成立，
所以 在 上为增函数，
所以 ，
即 恒成立；
②当 时， 在上有实根 ，
（ⅱ）当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
故 时， ．
由 式可得 ，
令 ，则
由 式可得
令 ，得 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 使得 ，
即 时， ，
所以 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
即 时， ，与 矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ， ．
2．已知函数 为常数， 是自然对数的底数）是实数集 上的奇函数，函数 是区间 ， 上的减函数．
因为 在 上为增函数，
所以当 时， ，
所以 ，不符合题意；
③当 时， 恒成立，
所以 在 上为减函数，
则 ，不符合题意．
综上，可得实数 的取值范围是 ， ．
8．已知 ，其中 ．
（1）若 在 处取得极值，求实数 的值．
（2）若 在 ， 上单调递增，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） ，（2分）
由 可得 ， ；（4分）
所以 ，
即 ，故成立；
②当 时， 在上有实根 ，
因为 在 ， 上为减函数，
所以当 ， 时， ，
所以 ，不符合题意；
③当 时， 恒成立，
所以 在 ， 上为减函数，
则 ，
由 ，可得 ，
即有 ．
综上，可得实数 的取值范围是 ， ．
7．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）如果对于任意的 ， 总成立，求实数 的取值范围．
， ． （9分）
（Ⅲ）由 知 ，
讨论函数 的零点的个数，即讨论方程 根的个数．
令 ， ，
，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数，
当 时， （e）
而 ，
函数 、 在同一坐标系的大致图象如图所示，
①当 ，即 时，方程无解．函数 没有零点； （10分）
②当 ，即 时，方程有一个根．函数 有1个零点 （11分）
③当 ，即 时，方程有两个根．函数 有2个零点． （12分）
3．已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值，并讨论 在 上的增减性；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证： ．
（参考公式：
【解析】（Ⅰ）解：由题意知 ， 解得
故 ， ．
当 时， 为减函数，且 ，
， 为增函数．
（Ⅱ）证明：由 ，得 ，
所以 ，
即 ，即 ，不符合题意，故 不能满足题意，
综上所述， 时， 对任意 恒成立． （12分）
5．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）如果对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ， ．过点 作函数 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列 ，求数列 的所有项之和 的值．
【解析】解：（1） ，